للأذكيااااااااااااااااااااااااااااا ااااااااااااء فقط

[محب الخيرين]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته ........... أعضاء هذا المنتدى الغالي
لدي بعض المسائل في نظرية المحاور الدورانية أرجو حلها بأسرع وقت ممكن مع العلم اني مبتدئ في الميكانيكا الكلاسيكية لذا أرجو أن يكون الحل في صورة مبسطة
س1 : أنبوبة أسطوانية جوفاءAOB طولها 2a تدور بسرعة زاوية ثابتة w حول محور رأسي يمر بالمركز o . وضع جسيم داخل الأنبوبة وكان بعد b من الموضع o في بداية الحركة .بفرض عدم وجود قوى احتكاكية أوجد الزمن الذي يستغرقه الجسيم حتى يصل إلى نهاية الأنبوبة وأوجد كذلك سرعته بمجرد تركه للأنبوبة .
س2: أنبوبة اسطوانية جوفاء رقيقة OA تميل بزاوية d على الأفقي وتدور حول الرأسي بسرعة زاوية ثابتة w . إذا أجبر جسيم على الحركة في الأنبوبة وبدأ من السكون عند نقطة تبعد مسافة s من نقطة التقاطع O بين الأنبوبة والمحور الرأسي للدوران أثبت أن بعده r عن O في لحظة زمنية هو :
r = a cosh(wt cosd)
س3: مجموعة محاور متحركة تدور حول المحور z بسرعة زاوية : w = cost I + sint j
بالنسبة لمجموعة المحاور XYZ المثبتة , حيث t هو الزمن . متجه موضع لنقطة أصل المجموعة xyz بالنسبة للمجموعة XYZ المثبتة هو : . إذا كان متجه موضع جسيم بالنسبة للمجموعة المتحركة هو : r = ( 3t+1)i-2t j +5 k . أوجد عند أي لحظة زمنية t كلا من : السرعة الظاهرية / السرعة الحقيقية / السرعة الحقيقية الابتدائية / العجلة الظاهرية / العجلة الحقيقية ؟

[The New Mr]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته :
بالنسبة للمسألة الأولى الحل يستخدم بالإحداثيات القطبية والتى تكون مركبات السرعة فيها http://latex.codecogs.com/gif.latex?(r^{.},r\Theta ^{.})
ومركبات العجلة هى http://latex.codecogs.com/gif.latex?(r^{..}-r\Theta^{.2} ,\frac{1}{r}\frac{d}{dt}(r2\Theta ^{.2}))

الأنبوبة تدور بسرعة زاوية ثابتة w ومنها نجد أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Theta ^{.}=w , http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Theta ^{..}=0

وزن الجسيم دائما لأسفل وحركة الأنبوبة أفقية مما يجعل الوزن خارج المعادلات وأثناء الحركة يكون همناك مركبة لرد الفعل أفقية لتصبح المعادلات على الصورة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{..}-r\Theta ^{.2}=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{m}{r}\frac{d}{dt}(r ^{2}\Theta ^{.2})=R

ومن المعادلة الأولى نحصل http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{..}=r\Theta ^{.2}=w^{2}r

ومن المعادلة الثانية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{mw^{2}}{r}\frac{d}{ dt}(r^{2})=R

وبعد التفاضل والتخلص من المقام نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{.}=\frac{dr}{dt}= \frac{R}{2mw^{2}}

وبفصل المتغيرات والتكامل

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int dr= \frac{R}{2mw^{2}}\int dt

http://latex.codecogs.com/gif.latex?r= \frac{R}{2mw^{2}}t + c

لإيجاد الثابت من الشروط الإبتدائية نجد فى بداية الحركة r=b ومنها نجد أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?b= c

http://latex.codecogs.com/gif.latex?r-b=\frac{R}{2mw^{2}}t

وعندما يصل الجسيم إلى نهاية الأنبوبة فإن r=a وعندها الزمن يساوى

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{2mw^{2}}{R}(a-b)=t

وهو المطلوب أولا

[The New Mr]

من العلاقة التى حصلنا عليها http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{..}=rw ^{2}

بالنسبة للطرف الأيمن يمكن جعله كالآتى

http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{..}=\frac{d}{dt}(r^{.} )

ومن قاعدة السلسة http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{..}=\frac{dr}{dt}\frac {d}{dr}(r^{.})

http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{..}=r^{.}\frac{d}{dr}( r^{.})

ثم نقوم بفصل المتغيرات والتكامل بعد تعديل الطرف الأيمن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int r^{.}{d}(r^{.})=w^{2}\int rdr +c

http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{.2}=w^{2}r^{2}+c_{1}

حيث بعد التكامل يوجد 1/2 فتم الضرب فى 2 واستبدال الثابت بآخر، ولتعيين قيمة الثابت من الشروط الإبتدائية فإن السرعة الإبتدائية تساوى الصفر على حسب فهمى، r=b

http://latex.codecogs.com/gif.latex?-w^{2}b^{2}=c_{1}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{.2}=w^{2}r^{2}-w^{2}b^{2}

عند نهاية الأنبوبة r=a ومنها تصبح سرعة الجسيم عند الخروج من الأنبوبة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?r^{.}=\sqrt{w^{2}a^{2}-w^{2}b^{2}}

وهو المطلوب الثانى وهناك جزئية أخيرة مهمة يجب توضحها عند أخذ الجذر التربيعى فى الخطوة الأخيرة هذه كانت المفروض قبل ذلك أى قبل التعويض بa وينتج عنها موجب أو سالب القيمة ونحن نختار الإشارة الموجبة لأن السرعة نجد أن قيمتها تزداد كلما ازدادت r

وفى النهاية إن كان من توفيق فمن الله وحده وإن كان من خطأ فمنى ومن الشيطان