3 أسئلة تحتاج الى حل ..ضروري !!

[قبس من نور]

السلآم عليكم ورحمة الله وبركآته


أسعد الله صباحكم/مسآؤكم ..


أخواني وآخواتي ..اعضاء هذا المنتدى الغالي ..


أولا أبارك لكم بمناسبة مرور خمسة أعوام على افتتاح المنتدى ..
وأسأل الله تعالى ان يكرمنا باستمرآر العطاء والنمآء ..
وأبارك لكم بمناسبة قدوم العيد ..(وكل عآم وأنتم بخير)



..
ثآنيا :/


لكل من لديه خبرة ومعرفة ومن يستطيع أن يفيد ..
لدي 3 اسئلة في مكيآنيكآ الكم
أرجوا أن تساعدوني في ايجاد الحل لها
فأنا في أمس الحآجة للحصول على الحل..!!


أشكركم مقدمآ :


السؤال الأول:



http://filaty.com/ithumb/1011/11080/1.PNG (http://filaty.com/img/1011/11080/1.PNG.html)
http://filaty.com/i/1011/11080/1.PNG


السؤال الثاني:


http://filaty.com/ithumb/1011/95038/2.PNG (http://filaty.com/img/1011/95038/2.PNG.html)



http://filaty.com/i/1011/57149/2.jpg


السؤال الثالث:


http://filaty.com/ithumb/1011/94195/3.PNG (http://filaty.com/img/1011/94195/3.PNG.html)


http://filaty.com/i/1011/66564/3.PNG
وجزآكم الله كل خير ..
وفرج عنكم كل هم..
"آسفة حآولت بأكثر من طريقة أن أرفع الصور أكبر من هذآ الحجم لكن لا أعلم أين تكمن المشكلة "!!


أختكم/قبس من نور..

[قبس من نور]

الله يجزآكم الجنة

انا في أمس الحاجة لحل هذه الأسئلة

فمن لديه علم يخبرني عن طريقة الحل

وأنا سأحاول

بآرك الله فيكم

[رجب مصطفى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

أنا أسف جداً ... لأن كتابة حل بعضها يحتاج للكثير للوقت من الوقت، وهذا ما لا أملكه حالياً ((لظروفي الخاصة))،

المهم، بالنسبة للسؤال الثاني، الفقرة الأولى من المطلوب الأول هي ببساطة إثبات أن المصفوفة متماثلة hermitian حيث يجب أن يكون:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Csigma_%7By%7D =%28%5Csigma_%7By%7D%29%5E%7B%5Cdag ger%7D


وهذا يتم بتبديل الصفوف أعمدة ثم أخذ المرافق للأعداد المركبة، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%28%5Csigma_%7By %7D%29%5E%7B%5Cdagger%7D=%5Cbegin%7 Bpmatrix%7D&space;0&space;&&space;-i%5C%5C&space;i&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D


وللجزء الثاني من نفس المطلوب لإيجاد الآيجن فايلو فتتطبق العلاقة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;det%28%5Csigma_% 7By%7D-%5Clambda&space;I%29=0


أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;det%28%5Clarge&space;% 5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;0&space;&&space;-i%5C%5C&space;i&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D-%5Clarge&space;%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;%5Cl ambda&space;&&space;0%5C%5C&space;0&space;&&space;%5Clambda&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D%29=d et%28%5Clarge&space;%5Cbegin%7Bpmatrix%7D &space;-%5Clambda&space;&&space;-i%5C%5C&space;i&space;&&space;-%5Clambda&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D%29=%2 8%5Clambda%5E%7B2%7D-1%29=0


إذن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Clambda_%7B1,2 %7D=%5Cpm&space;1


وهذه هي الآيجن فاليوز للمصفوفة !

والآن نفرض أن لدينا الآيجن فيكتور التالي وسندرس تأثير المصفوفة عليه:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cleft&space;%7CA&space;%5C right&space;%5Crangle=%5Cbegin%7Bpmatrix% 7D&space;a%5C%5C&space;b&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D


إذن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Csigma_%7By%7D %5Cleft&space;%7CA&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5C lambda_%7B1%7D&space;%5Cleft&space;%7CA&space;%5Crigh t&space;%5Crangle&space;%5Cqquad&space;%5CLeftrightar row&space;%5Cqquad%5Csigma_%7By%7D%5Cbegi n%7Bpmatrix%7D&space;a%5C%5C&space;b&space;%5Cend%7Bp matrix%7D=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;a%5 C%5C&space;b&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D


أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Cbegin%7Bpmatr ix%7D&space;0&space;&&space;-i%5C%5C&space;i&space;&&space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D%5Cbegin%7Bpm atrix%7D&space;a%5C%5C&space;b&space;%5Cend%7Bpmatrix %7D=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;a%5C%5C&space;b &space;%5Cend%7Bpmatrix%7D


وبإيجاد ناتج عملية الضرب، نحصل على:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;-ib=a&space;%5Cquad&space;,&space;%5Cquad&space;ia=b


وباستخدام النتيجة الثانية، يمكن كتابة المصفوفة على الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Clarge&space;%5Cleft &space;%7CA&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5Cbegin%7 Bpmatrix%7D&space;a%5C%5C&space;ia&space;%5Cend%7Bpma trix%7D


ولإيجاد قيمة الثابت، يلزم إستخدام شرط التسوية، لنحصل على:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Clarge&space;%5Cleft &space;%7CA&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5Cfrac%7B 1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%5Cbegin%7B pmatrix%7D&space;1%5C%5C&space;i&space;%5Cend%7Bpmatr ix%7D


والتي يمكن كتابتها على الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Clarge&space;%5Cleft &space;%7CA&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5Cfrac%7B 1%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%5Cbegin%7B pmatrix%7D&space;1%5C%5C&space;i&space;%5Cend%7Bpmatr ix%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B%5Csqrt%7B2% 7D%7D&space;%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;1%5C%5C &space;0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D&space;%5Cright&space;+%5 Cfrac%7Bi%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D%5C begin%7Bpmatrix%7D&space;0%5C%5C&space;1&space;%5Cend &space;%7Bpmatrix%7D=%5Cfrac%7B%5Clarge&space;% 5Cleft&space;%7C1&space;%5Cright&space;%5Crangle+i%5C large&space;%5Cleft&space;%7C2&space;%5Cright&space;%5Crang le&space;%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D


وبنفس الطريقة يمكن الحصول على المصفوفة الثانية المقابلة للقيمة المميزة الأخرى، والتي ستكون:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%5Clarge&space;%5Cleft &space;%7CB&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5Cfrac%7B %5Clarge&space;%5Cleft&space;%7C1&space;%5Cright&space;%5Cr angle-i%5Clarge&space;%5Cleft&space;%7C2&space;%5Cright&space;%5C rangle&space;%7D%7B%5Csqrt%7B2%7D%7D


وللمطلوب الثاني، نفرض أن البروجكشن أوبيراتور هو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;P_%7B1%7D=%5Clef t&space;%7C&space;1&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;%5Cleft&space; %5Clangle&space;1&space;%5Cright&space;%7C%5Cquad&space;and &space;%5Cquad&space;P_%7B2%7D=%5Cleft&space;%7C&space;2&space;%5 Cright&space;%5Crangle&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space; 2&space;%5Cright&space;%7C


وباستخدام matrix representation of an operator for such basis

سنجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;P_%7B1%7D=%5Cbeg in%7Bpmatrix%7D&space;1&space;&0&space;%5C%5C&space;0&0&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D&space;%5Cquad&space;and&space;% 5Cquad&space;P_%7B2%7D=%5Cbegin%7Bpmatrix %7D&space;0&space;&0&space;%5C%5C&space;0&1&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D


هذا ما لدي الآن !

في أمان الله

[الصادق]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5C%5C%5Crm%2 0%5Cunderline%7BQuestion1%7D%5C%5C% 5C%5CU%28m,n%29=%7C%5Cvarphi_m%5Cra ngle%5Clangle%20%5Cvarphi_n%7C%5C%5 C%5C%5C%20a-%5C;%20U%5E%7B%5Cdagger%7D%28m,n%29 =%28%7C%5Cvarphi_m%5Crangle%5Clangl e%20%5Cvarphi_n%7C%29%5E%7B%5Cdagge r%7D=%7C%5Cvarphi_n%5Crangle%5Clang le%20%5Cvarphi_m%7C=U%28n,m%29%5C%5 C%5C%5C%20%5Ctherefore%20%5Cboxed%7 BU%5E%7B%5Cdagger%7D%28m,n%29=U%28n ,nm%29%7D%5C%5C%20................. ................................... ...................%5C%5C%20b-%20[H,U%28m,n%29]=HU%28m,n%29-U%28m,n%29H%20=H%7C%5Cvarphi_m%5Cra ngle%5Clangle%20%5Cvarphi_n%7C-%7C%5Cvarphi_m%5Crangle%5Clangle%20 %5Cvarphi_n%7CH%5C%5C%5C%5C%20=E_m% 7C%5Cvarphi_m%5Crangle%5Clangle%20% 5Cvarphi_n%7C-%7C%5Cvarphi_m%5Crangle%5Clangle%20 %5Cvarphi_n%7CE_n=%28E_m-E_n%29%7C%5Cvarphi_m%5Crangle%5Clan gle%20%5Cvarphi_n%7C%5C%5C%5C%5C%20 %5Ctherefore%20%5Cboxed%7B[H,U%28m,n%29]=%28E_m-E_n%29U%28m,n%29%7D

[الصادق]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5C%5C%5Crm%5 Cunderline%7BQuestion1%7D%5C%5Cc-%20U%28m,n%29U%5E%7B%5Cdagger%7D%28 p,q%29=U%28m,n%29U%28q,p%29=%7C%5Cv arphi_m%5Crangle%5Clangle%5Cvarphi_ n%7C%5Cvarphi_q%5Crangle%5Clangle%5 Cvarphi_p%7C=%7C%5Cvarphi_m%5Crangl e%5Cdelta_%7Bnq%7D%5Clangle%5Cvarph i_p%7C%5C%5C%5C%5C%20%5Ctherefore%2 0%5Cboxed%7BU%28m,n%29U%5E%7B%5Cdag ger%7D%28p,q%29=%5Cdelta_%7Bnq%7DU% 28m,p%29%7D%5C%5C%5C%5C%20......... ................................... ................................... ......%5C%5C%20d-%20%5Crm%20Since%5C;%20the%20%5C;%2 0states%20%5C;%20%5C%7B%7C%5Cvarphi _i%5Crangle%5C%7D%20%5C;form%5C;%20 a%5C;%20complete%20%5C;%20orthonorm al%5C;%20basis,%20%5C;%5C%5C%20then %5C;%20the%20%5C;%20trace%20%5C;%20 of%20%5C;%20any%20%5C;%20operator%2 0%5C;%20A%20%5C;%20can%5C;%20be%20% 5C;%20written%5C;%20as%20%5C%5C%20T r%28A%29=%5Csum_%7Bi%7D%5Clangle%20 %5Cvarphi_i%7CA%7C%5Cvarphi_i%5Cran gle%5C%5C%20%5Crm%20Now%5C;%20let%2 0%5C;%20A=U%28m,n%29%5C%5C%20%5Cthe refore%20Tr%5C%7BU%28m,n%29%5C%7D=% 5Csum_%7Bi%7D%5Clangle%20%5Cvarphi_ i%7C%7C%5Cvarphi_m%5Crangle%5Clangl e%5Cvarphi_n%7C%7C%5Cvarphi_i%5Cran gle=%5Csum_%7Bi%7D%5Cdelta_%7Bim%7D %5Cdelta_%7Bni%7D=%5Cdelta_%7Bmn%7D %5C%5C%20%5Ctherefore%20%5Cboxed%7B Tr%5C%7BU%28m,n%29%5C%7D=%5Cdelta_% 7Bmn%7D%7D

[الصادق]

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5C%5C%5Crm%5 Cunderline%7BQuestion1%7D%5C%5Ce-%20%5Crm%20using%20%5C;%20the%5C;%2 0fact%20%5C;%20that%5C;%20the%5C;%2 0complete%20%5C;%20orthonormal%5C;% 20basis%20%5C;satisfy%20%5C;%20the% 5C;%20completeness%5C;%20relation%2 0%5C%5C%20%5Csum_%7Bm%7D%7C%5Cvarph i_m%5Crangle%5Clangle%5Cvarphi_m%7C =I%5C%5C%20%5Crm%20where%5C;%20I%20 %5C;%20is%20%5C;%20the%20%5C;%20uni t%20%5C;%20matrix%5C%5C%20A=IAI=%5C left[%5Csum_%7Bm%7D%7C%5Cvarphi_m%5Crang le%5Clangle%5Cvarphi_m%7C%20%5Crigh t%20]A%5Cleft[%5Csum_%7Bn%7D%7C%5Cvarphi_n%5Crang le%5Clangle%5Cvarphi_n%7C%20%5Crigh t%20]%5C%5C%20A=%5Csum_%7Bm,n%7D%7C%5Cva rphi_m%5Crangle%5Clangle%5Cvarphi_m %7CA%7C%5Cvarphi_n%5Crangle%5Clangl e%5Cvarphi_n%7C=%5Csum_%7Bm,n%7D%7C %5Cvarphi_m%5Crangle%20A_%7Bmn%7D%5 Clangle%5Cvarphi_n%7C=%5Csum_%7Bm,n %7DA_%7Bmn%7D%7C%5Cvarphi_m%5Crangl e%5Clangle%5Cvarphi_n%7C%5C%5C%20%5 Ctherefore%20%5Cboxed%7BA=%5Csum_%7 Bm,n%7DA_%7Bmn%7DU%28m,n%29%7D



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Crm%20%5C%5 C.................................. ................................... ................%5C%5C%20f-%20Tr%5C%7BAU%5E%7B%5Cdagger%7D%28p ,q%29%5C%7D=%5Csum_%7Bi%7D%5Clangle %5Cvarphi_i%7C%5Cleft[%20AU%5E%7B%5Cdagger%7D%28p,q%29%5C right%20]%7C%5Cvarphi_i%5Crangle%5C%5C%20Tr% 5C%7BAU%5E%7B%5Cdagger%7D%28p,q%29% 5C%7D=%5Csum_%7Bi%7D%5Clangle%5Cvar phi_i%7C%20AU%28q,p%29%7C%5Cvarphi_ i%5Crangle=%5Csum_%7Bi%7D%5Clangle% 5Cvarphi_i%7C%20A%7C%5Cvarphi_q%5Cr angle%5Clangle%5Cvarphi_p%7C%5Cvarp hi_i%5Crangle=%5Csum_%7Bi%7DA_%7Biq %7D%5Cdelta_%7Bpi%7D%5C%5C%20Tr%5C% 7BAU%5E%7B%5Cdagger%7D%28p,q%29%5C% 7D=A_%7Bpq%7D%5C%5C%20%5Ctherefore% 5C;%20%5Cboxed%7BA_%7Bpq%7D=Tr%5C%7 BAU%5E%7B%5Cdagger%7D%28p,q%29%5C%7 D%7D

[قبس من نور]

لا اعرف كلمة اوفى من "جزاكم الله خيرا" لأشكركم بها

بارك الله فيكم
وفرج عنكم كل هم


اختكم/قبس من نور