طول المنحنى

[The New Mr]

نحن نعلم جيدا أن أقصر طريق بين نقطتين هو الخط المستقيم ولكن فى حالة المنحنيات المسافة بين

نقطتين يسمى بمعادلة الجيودسيك وتكون على الصورة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?s%20=%20%5Cint%20g_%7Bij% 7Ddx%5E%7Bi%7Ddx%5E%7Bj%7D

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_%7Bij%7D هى معاملات الممتد الأساسى فى الهندسة التفاضلية وهو من أهم الممتدات لأننى شخصيا

أعتبره مثل ناقل الحركة من الملازم إلى المخالف وعلى حسب نوع الإحداثيات المستخدمة

فى حالة الإحداثيات الكارتيزية http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_%7Bij%7D تكون صفر إلا عندما i = j فهى تساوى الواحد الصحيح

http://latex.codecogs.com/gif.latex?s%20=%20%5Cint%20%5Csqrt% 7Bdx%5E%7B2%7D%20+%20dy%5E%7B2%7D%7 D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?s%20=%20%5Cint%20%5Csqrt% 7B1%20+%20%28%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7 D%29%5E%7B2%7D%7D%20dx

مع مراعاة أن dx خارج الجذر وأن المعادلة لمنحنى فى بعد ثنائى

مثال : أوجد طول المنحنى بين الصفر والواحد للدالة د(س) = س^2

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D=% 202x

وبالتعويض فى القانون

http://latex.codecogs.com/gif.latex?s%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E %7B1%7D%20%5Csqrt%7B1%20+%20%282x%2 9%5E%7B2%7D%7D%20dx

http://latex.codecogs.com/gif.latex?s%20=%20%5Cint_%7B0%7D%5E %7B1%7D%20%5Csqrt%7B1%20+%204%28x%2 9%5E%7B2%7D%7D%20dx

وباستخدام التعويض x = (1/2) tan (theta)

سنجد أن حدود الزاوية تتراوح من صفر إلى k

حيث k يساوى المعكوس لظل الزاوية ل 2

وباستخدام العلاقة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?1+%20tan%5E%7B2%7D%5CThet a%20=%20sec%5E%7B2%7D%5CTheta

سيكون التكامل على الصورة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?s%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B 2%7D%20%5Cint%20sec%5E%7B3%7D%5CThe ta%20d%5CTheta
وباستخدام التكامل بالتجزئ مرتين سنحصل على الناتج وهو ما سيتم إضافته فى مشاركة قادمة إن شاء

الله فى نفس الموضوع

إن كان من توفيق فمن الله وحده وإن كان من خطأ فمنى ومن الشيطان

[The New Mr]

هذا التكامل يحل بالتجزئ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?s%20=%20%5Cfrac%7B1%7D%7B 2%7D%20%5Cint%20sec%5E%7B3%7D%5CThe ta%20d%5CTheta
http://latex.codecogs.com/gif.latex?u=sec%5CTheta%20,%20du=%2 0sec%5CTheta%20tan%5CTheta%20d%5CTh eta
http://latex.codecogs.com/gif.latex?dv=sec%5E%7B2%7D%5CTheta% 20d%5CTheta%20,%20v=tan%5CTheta
http://latex.codecogs.com/gif.latex?s=sec%5CTheta%20tan%5CThe ta%20-%5Cint%20sec%5CTheta%20tan%5E%7B2%7 D%5CTheta%20d%5CTheta
tan^(2) = sec^(2) + 1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?s=sec%5CTheta%20tan%5CThe ta%20-%5Cint%20sec%5E%7B3%7D%5CTheta%20d% 5CTheta%20-%5Cint%20sec%5CTheta%20d%5CTheta
والحد الثانى من التكامل هو s
http://latex.codecogs.com/gif.latex?2s=sec%5CTheta%20tan%5CTh eta%20-log%28sec%5CTheta%20+tan%5CTheta%20 %29
وبالقسمة على 2 مع مراعاة حدود التكامل ينتج طول المنحنى