ميكانيكا كلاسكية تمارين

[قماري الغربيه]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاتة

لـو سمحتم عندي اختبار بكرة السبت وقابلتني 3 تمارين لم استطيع حلها

ممكن مساعدتي

برهن قانون الجيوب في المثلثات بااستخدام جبر المتجهات&
س2_ اذا كان المتجهات A,b,cتمثل ثلاثة اضلاع متلاقية لمتوازي المستطيلات برهن على ان حجم متوازي المستطيلات يساوي {A.(bc} بين b,c كروس

س3/برهن على ان مقدار المتجه لايتغير بالدوران استخدم المصفوف
الصف الاول فيها من اليسار cos sin 0

_sin cos 0
0 0 1

[رجب مصطفى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاتة
برهن قانون الجيوب في المثلثات بااستخدام جبر المتجهات&



http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c8/Vectorcosine.svg/344px-Vectorcosine.svg.png


من الشكل السابق، نجد أن:


http://upload.wikimedia.org/math/d/4/0/d4089f193c6dd842740a3671a21b4305.pn g


ولكن أيضاً ...


http://upload.wikimedia.org/math/b/6/5/b6566ccd8ba7bfaffc3c9a4ca84464e5.pn g


وبضرب هذه المعادلة في نفسها، نحصل على:


http://upload.wikimedia.org/math/f/2/a/f2a7ef39e42584d3a359014287c2c874.pn g


وبالتعويض بالمعادلة الأولى نحصل على قانون جيب التمام بالصورة المتجهة !


http://upload.wikimedia.org/math/b/0/d/b0def37566881ad21e7f885722136b0f.pn g


والله أعلى وأعلم

[رجب مصطفى]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاتة

س2_ اذا كان المتجهات A,b,cتمثل ثلاثة اضلاع متلاقية لمتوازي المستطيلات برهن على ان حجم متوازي المستطيلات يساوي {A.(bc} بين b,c كروس


من المعلوم أن حجم متوازي المستطيلات = مساحة القاعدة × الإرتفاع


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/3/3e/Parallelepiped_volume.svg/240px-Parallelepiped_volume.svg.png



ولكن هذه المساحة، كما يتضح من الشكل السابق، تُعطى من:


A = |b| |c| sin θ = |b × c|,


أما الإرتفاع فهو:


h = |a| cos α


حيث α هي الزاوية بين a و h، وهذه الزاوية محصورة بين:


0° ≤ α < 90°


((ملحوظة: الزاوية α أكبر من أو تساوي 0 وأصغر من 90، ولكنه خلل أثناء عرض المشاركة))

وفي المقابل، نجد أن المتجه b × c ربما يُكون مع المتجه a زاوية β أكبر من 90° (0° ≤ β ≤ 180°).

ولكن المتجه b × c يوازي h ، وعليه تكون قيمة β هي:


β = α أو β = 180° − α


إذن:


cos α = ±cos β = |cos β|



h = |a| |cos β|


وعليه فإن الحجم سيكون:


V = Ah = |a| |b × c| |cos β|


وهذه الصيغة تُكافي القيمة المطلقة:


V = |a . (b × c)|


والله أعلى وأعلم