رجب مصطفى
09-11-2010, 09:20 AM
بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار
أما بعد:
فهذا إشتقاق لمبدأ عدم التأكد المعمم على أي زوج من المؤثرات !
*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!
وحتى لا أطُيل عليكم ... مع
علاقة عدم التأكد المعممة
The Generalized Uncertainty Principle
تعرض كل دارس لميكانيكا الكم لـ "مبدأ عدم التأكد Uncertainty Principle" الشهير لـ "هايزنبرج Heisenberg" والذي يربط مقدار الشك الحاصل في كمية التحرك momentum بذاك الخاص بالموضع position من خلال العلاقة:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta&space;x&space;%5C;&space;%5CDelta&space; p&space;%5Cgeq&space;%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7B2%7 D
والآن ... سنعمل على تعميم هذه العلاقة لأي زوج من المؤثرات operators، وليكن المؤثران http://latex.codecogs.com/gif.latex?A,B !
وقبل أن نبدأ، نُذكِر بأن القيمة المتوقعة expectation value أو المتوسط mean لمؤثرٍ ما، وليكن المؤثر http://latex.codecogs.com/gif.latex?O ، يأخذ بإستخدام ’’أقواس ديراك Dirac‘‘ الصورة التالية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;O&space;%5Cri ght&space;%5Crangle&space;=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;% 5CPsi&space;%7CO%7C%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Cran gle
ومن دراسة الإحصاء، نجد أن الإنحراف المعياري standard deviation أو عدم التاكد أو الشك للمؤثر يُعطى من العلاقة:
مقدار الشك = الجذر التربيعي لمتوسط مربع الفرق بين القيمة ومتوسطها
وللمؤثران المعنيان، يكون مربع الشك هو:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;A%29%5E%7B2%7 D=%5Cleft&space;%5Clangle&space;%7B%5Ccolor%7Br ed%7D&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D&space;%5Cri ght&space;%5Crangle
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;B%29%5E%7B2%7 D=%5Cleft&space;%5Clangle&space;%7B%5Ccolor%7Br ed%7D&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D&space;%5Cri ght&space;%5Crangle
لاحظ أن الطرف الأيمن عبارة عن "القيمة المتوقعة" لما في داخله ! الأمر الذي يُمكننا من كتابته على الصورة:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;A%29%5E%7B2%7 D=%5Cleft&space;%5Clangle&space;%7B%5Ccolor%7Br ed%7D&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D&space;%5Cri ght&space;%5Crangle=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5 Cpsi&space;%7C%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7C&space;%5Cps i&space;%5Cright&space;%5Crangle
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;B%29%5E%7B2%7 D=%5Cleft&space;%5Clangle&space;%7B%5Ccolor%7Br ed%7D&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D&space;%5Cri ght&space;%5Crangle=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5 Cpsi&space;%7C%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7C&space;%5Cps i&space;%5Cright&space;%5Crangle
لاحظ مرة ثانية "التربيع" الموجود، لذا يمكن كتابتها مرة أخرى بالصورة:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;A%29%5E%7B2%7 D=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C%5Cl eft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7C&space;%5Cps i&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%5Cleft&space;%5Cla ngle&space;%7B%5Ccolor%7Bred%7D&space;%5Cpsi&space;%7 C%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7D%7B%5Ccolor%7Bbl ue%7D&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7C&space;%5Cpsi&space;%5Cright &space;%5Crangle%7D
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;B%29%5E%7B2%7 D=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C%5Cl eft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7C&space;%5Cps i&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%5Cleft&space;%5Cla ngle&space;%7B%5Ccolor%7Bred%7D&space;%5Cpsi&space;%7 C%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7D%7B%5Ccolor%7Bbl ue%7D&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7C&space;%5Cpsi&space;%5Cright &space;%5Crangle%7D
والآن ... نستطيع بكل سهولة أن نفرض الدالة الموجية الـ ket في الصورة:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7Bblue%7D&space;%5C left&space;%7C&space;%5Cchi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space; =&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7C&space;%5Cpsi&space;%5Cright &space;%5Crangle%7D
ومنها نجد أنّ مقابلها المزدوج الـ bra هو:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7Bred%7D&space;%5Cl eft&space;%5Clangle&space;%5Cchi&space;%7C&space;%5Cright&space;= &space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C&space;%5Cri ght&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29&space;%7D
أي أن:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;A%29%5E%7B2%7 D=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C&space;%5C right&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cleft&space; %7C%5Cpsi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%5Cle ft&space;%5Clangle&space;%5Cchi&space;%7C%5Cchi&space;%5Cri ght&space;%5Crangle&space;%5Cquad&space;%5Cquad&space;%5Cto &space;%281%29
بالمثل مع المؤثر الآخر ... لنجد أن:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7Bblue%7D&space;%5C left&space;%7C&space;%5Cphi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space; =&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7C&space;%5Cpsi&space;%5Cright &space;%5Crangle%7D
ومنها نجد أنّ مقابلها المزدوج الـ bra هو:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7Bred%7D&space;%5Cl eft&space;%5Clangle&space;%5Cphi&space;%7C&space;%5Cright&space;= &space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C&space;%5Cri ght&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29&space;%7D
أي أن:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;B%29%5E%7B2%7 D=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C&space;%5C right&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cleft&space; %7C%5Cpsi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%5Cle ft&space;%5Clangle&space;%5Cphi&space;%7C%5Cphi&space;%5Cri ght&space;%5Crangle&space;%5Cquad&space;%5Cquad&space;%5Cto &space;%282%29
يُتبع ...
الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار
أما بعد:
فهذا إشتقاق لمبدأ عدم التأكد المعمم على أي زوج من المؤثرات !
*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!
وحتى لا أطُيل عليكم ... مع
علاقة عدم التأكد المعممة
The Generalized Uncertainty Principle
تعرض كل دارس لميكانيكا الكم لـ "مبدأ عدم التأكد Uncertainty Principle" الشهير لـ "هايزنبرج Heisenberg" والذي يربط مقدار الشك الحاصل في كمية التحرك momentum بذاك الخاص بالموضع position من خلال العلاقة:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta&space;x&space;%5C;&space;%5CDelta&space; p&space;%5Cgeq&space;%5Cfrac%7B%5Chbar%7D%7B2%7 D
والآن ... سنعمل على تعميم هذه العلاقة لأي زوج من المؤثرات operators، وليكن المؤثران http://latex.codecogs.com/gif.latex?A,B !
وقبل أن نبدأ، نُذكِر بأن القيمة المتوقعة expectation value أو المتوسط mean لمؤثرٍ ما، وليكن المؤثر http://latex.codecogs.com/gif.latex?O ، يأخذ بإستخدام ’’أقواس ديراك Dirac‘‘ الصورة التالية:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;O&space;%5Cri ght&space;%5Crangle&space;=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;% 5CPsi&space;%7CO%7C%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Cran gle
ومن دراسة الإحصاء، نجد أن الإنحراف المعياري standard deviation أو عدم التاكد أو الشك للمؤثر يُعطى من العلاقة:
مقدار الشك = الجذر التربيعي لمتوسط مربع الفرق بين القيمة ومتوسطها
وللمؤثران المعنيان، يكون مربع الشك هو:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;A%29%5E%7B2%7 D=%5Cleft&space;%5Clangle&space;%7B%5Ccolor%7Br ed%7D&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D&space;%5Cri ght&space;%5Crangle
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;B%29%5E%7B2%7 D=%5Cleft&space;%5Clangle&space;%7B%5Ccolor%7Br ed%7D&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D&space;%5Cri ght&space;%5Crangle
لاحظ أن الطرف الأيمن عبارة عن "القيمة المتوقعة" لما في داخله ! الأمر الذي يُمكننا من كتابته على الصورة:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;A%29%5E%7B2%7 D=%5Cleft&space;%5Clangle&space;%7B%5Ccolor%7Br ed%7D&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D&space;%5Cri ght&space;%5Crangle=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5 Cpsi&space;%7C%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7C&space;%5Cps i&space;%5Cright&space;%5Crangle
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;B%29%5E%7B2%7 D=%5Cleft&space;%5Clangle&space;%7B%5Ccolor%7Br ed%7D&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D&space;%5Cri ght&space;%5Crangle=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5 Cpsi&space;%7C%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7C&space;%5Cps i&space;%5Cright&space;%5Crangle
لاحظ مرة ثانية "التربيع" الموجود، لذا يمكن كتابتها مرة أخرى بالصورة:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;A%29%5E%7B2%7 D=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C%5Cl eft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7C&space;%5Cps i&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%5Cleft&space;%5Cla ngle&space;%7B%5Ccolor%7Bred%7D&space;%5Cpsi&space;%7 C%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7D%7B%5Ccolor%7Bbl ue%7D&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7C&space;%5Cpsi&space;%5Cright &space;%5Crangle%7D
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;B%29%5E%7B2%7 D=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C%5Cl eft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7C&space;%5Cps i&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%5Cleft&space;%5Cla ngle&space;%7B%5Ccolor%7Bred%7D&space;%5Cpsi&space;%7 C%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7D%7B%5Ccolor%7Bbl ue%7D&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7C&space;%5Cpsi&space;%5Cright &space;%5Crangle%7D
والآن ... نستطيع بكل سهولة أن نفرض الدالة الموجية الـ ket في الصورة:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7Bblue%7D&space;%5C left&space;%7C&space;%5Cchi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space; =&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7C&space;%5Cpsi&space;%5Cright &space;%5Crangle%7D
ومنها نجد أنّ مقابلها المزدوج الـ bra هو:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7Bred%7D&space;%5Cl eft&space;%5Clangle&space;%5Cchi&space;%7C&space;%5Cright&space;= &space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C&space;%5Cri ght&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29&space;%7D
أي أن:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;A%29%5E%7B2%7 D=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C&space;%5C right&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28A-%5Cleft&space;%5Clangle&space;A&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cleft&space; %7C%5Cpsi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%5Cle ft&space;%5Clangle&space;%5Cchi&space;%7C%5Cchi&space;%5Cri ght&space;%5Crangle&space;%5Cquad&space;%5Cquad&space;%5Cto &space;%281%29
بالمثل مع المؤثر الآخر ... لنجد أن:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7Bblue%7D&space;%5C left&space;%7C&space;%5Cphi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space; =&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%7C&space;%5Cpsi&space;%5Cright &space;%5Crangle%7D
ومنها نجد أنّ مقابلها المزدوج الـ bra هو:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%7B%5Ccolor%7Bred%7D&space;%5Cl eft&space;%5Clangle&space;%5Cphi&space;%7C&space;%5Cright&space;= &space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C&space;%5Cri ght&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29&space;%7D
أي أن:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%28%5CDelta&space;B%29%5E%7B2%7 D=&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Cpsi&space;%7C&space;%5C right&space;%5Cleft&space;%5Cleft&space;%28B-%5Cleft&space;%5Clangle&space;B&space;%5Cright&space;%5Cran gle&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cleft&space; %7C%5Cpsi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%5Cle ft&space;%5Clangle&space;%5Cphi&space;%7C%5Cphi&space;%5Cri ght&space;%5Crangle&space;%5Cquad&space;%5Cquad&space;%5Cto &space;%282%29
يُتبع ...