رمـــــوز ديـــــراك Dirac Notations ... نبذة سريعة !!!

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار


أما بعد:

فهذه مقدمة ونبذة سريعة جداً على إستخدام رموز ديراك في التعامل مع ميكانيكا الكم وذلك لأني سأستخدمها في بعض المواضيع القادمة إن شاء الله !

*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير ذلك سيكون واضعه سارقاً له !!!

وحتى لا أطُيل عليكم ... مع


رمـــــوز ديـــــراك
Dirac Notations

تعاملنا في الفيزياء الكلاسيكية مع المتجهات ووجدنا أن المتجهات يمكن تمثيلها بحرف يدل على الكمية الفيزيائية المعنّية وفوقها سهم صغير أي على الصورة التالية:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec%7BA%7D,%5Cquad&space;%5C vec%7BB%7D,%5Cquad&space;%5Cvec%7BC%7D,%5 Cquad&space;...


أما في ميكانيكا الكم والجبر الخطي فتُمثل المتجهات على الصورة التالية:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%7C&space;%5CPhi&space;%5Crig ht&space;%5Crangle,&space;%5Cquad&space;%5Cleft&space;%7C&space;% 5CPsi&space;%5Cright&space;%5Crangle,&space;%5Cquad&space;% 5Cleft&space;%7C&space;A&space;%5Cright&space;%5Crangle,&space;%5 Cquad&space;...


والتي تُعرف بالـ "سان" أو "kets". هذا النوع من الترميز يُعرف بـ "رموز ديراك Dirac Notations"، مثل هذه المتجهات تُوضع في صورة مصفوفة عمودcolumn vector !

المتجه المزدوج Dual vector :

باستخدام رموز ديراك، يُعرف المتجه المزدوج بالـ "قو" أو "bras" والذي يأخذ الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPhi&space; %7C&space;,&space;%5Cquad&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5C Psi&space;%7C,&space;%5Cquad&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space; A&space;%7C,&space;%5Cquad&space;...


وحيث أنه في ميكانيكا الكم تكون الدوال الموجية مركبة complex، وأن المتجه الـ "ket" يكون في صورة مصفوفة عمود عناصرها أعداد مركبة، فإن متجه الـ "bra" هو عبارة عن مصفوفة صف row vector وعناصره عبارة عن مرافق conjugate عناصر المتجه العمود ! أي أنه إذا كان:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%7C&space;%5CPsi&space;%5Crig ht&space;%5Crangle=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space; z_%7B1%7D%5C%5C&space;z_%7B2%7D%5C%5C&space;%5C vdots%5C%5C&space;z_%7Bn%7D&space;%5Cend%7Bpmat rix%7D


فإن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPsi&space; %7C=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;%7Bz_%7B1 %7D%7D%5E%5Cast&space;&&space;%7Bz_%7B2%7D%7D%5E%7B%5Cast%7 D&space;&&space;%5Ccdots&space;&&space;%7Bz_%7Bn%7D%7D%5E%7B%5Cast%7D&space;%5C end%7Bpmatrix%7D


يُتبع ...

[رجب مصطفى]

***


وكما في الفيزياء الكلاسيكة، عندما تعاملنا مع المتجهات يكون هناك نوعين أساسيين من عمليات الضرب. أولها الضرب القياسي dot product والثاني الضرب الإتجاهي cross product، فناتج العملية الأولى عبارة عن عدد أما ناتج العملية الثانية فمتجه !

ونفس الشيء نجده هنا، حيث نجد نوعين من عمليات الضرب، أولها ما يُعرف بالضرب الداخلي inner product، والذي يُقابل الضرب القياسي، والذي يُنتِج عدد مركب complex number، فمثلاً إذا كان لدينا المتجهين http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%7C&space;%5CPsi&space;%5Crig ht&space;%5Crangle,&space;%5Cleft&space;%7C&space;%5CPhi&space;%5 Cright&space;%5Crangle ، فإن حاصل الضرب الداخلي لهما يأخذ الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPhi&space; %7C&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Crangle


وهذه يُطلق عليها الـ "قوسان" أو "bracket" ! فإذا كان:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%7C&space;%5CPsi&space;%5Crig ht&space;%5Crangle=%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space; z_%7B1%7D%5C%5C&space;z_%7B2%7D%5C%5C&space;%5C vdots%5C%5C&space;z_%7Bn%7D&space;%5Cend%7Bpmat rix%7D,&space;%5Cquad&space;%5Cleft&space;%7C&space;%5CPhi&space; %5Cright&space;%5Crangle=%5Cbegin%7Bpmatr ix%7D&space;w_%7B1%7D%5C%5C&space;w_%7B2%7D%5C% 5C&space;%5Cvdots%5C%5C&space;w_%7Bn%7D&space;%5Cend% 7Bpmatrix%7D


فإن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPhi% 7C&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=&space;%5Cb egin%7Bpmatrix%7D%7Bw_%7B1%7D%7D%5E %5Cast&w_%7B2%7D%5E%5Cast&%5Chdots&w_%7Bn%7D%5E%5Cast&space;%5Cend%7Bpmatrix %7D%5Cbegin%7Bpmatrix%7D&space;z_%7B1%7D% 5C%5C&space;z_%7B2%7D%5C%5C&space;%5Cvdots%5C%5 C&space;z_%7Bn%7D&space;%5Cend%7Bpmatrix%7D


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPhi&space; %7C&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;=%7Bw _%7B1%7D%7D%5E%5Cast&space;z_%7B1%7D+%7Bw _%7B2%7D%7D%5E%5Cast&space;z_%7B2%7D+...+ %7Bw_%7Bn%7D%7D%5E%5Cast&space;z_%7Bn%7D= %5Csum_%7Bi=1%7D%5E%7Bn%7D%7Bw_%7Bi %7D%7D%5E%5Cast&space;z_%7Bi%7D


يُتبع ...

[رجب مصطفى]

***


وبخلاف الضرب القياسي العادي، والذي فيه عملية الضرب إبدالية commutative أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvec&space;%7BA%7D&space;%5Ccdot&space;%5 Cvec&space;%7BB%7D=%5Cvec&space;%7BB%7D&space;%5Ccdot &space;%5Cvec&space;%7BA%7D


نجد أن هذا لا يحدث في الضرب الداخلي inner product، حيث يكون:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPhi&space; %7C&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5Cle ft&space;%5Clangle&space;%5CPsi&space;%7C&space;%5CPhi&space;%5Cr ight&space;%5Crangle%5E%7B%5Cast%7D


والآن يمكن أن نحدد بعض الخواص لهذا النوع من عمليات الضرب، وهي:


(1)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPhi&space; %7C&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Crangle=%5Cle ft&space;%5Clangle&space;%5CPsi&space;%7C&space;%5CPhi&space;%5Cr ight&space;%5Crangle%5E%7B%5Cast%7D


(2)


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPhi&space; %7C&space;&space;%5Calpha&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Cra ngle=%5Calpha&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5C Phi&space;%7C&space;&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Crangl e


(3)


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5Calph a&space;%5CPhi&space;%7C&space;&space;&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Cr angle=%5Calpha%5E%7B%5Cast%7D&space;%5Cle ft&space;%5Clangle&space;%5CPhi&space;%7C&space;&space;%5CPsi&space;%5C right&space;%5Crangle


حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha عدد مركب.


(4)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPsi&space; %7C&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Crangle%5Cgeq &space;0,&space;%5Cquad&space;%5Crm&space;for&space;%5C;&space;any%5C;v ector


تُقابل هذه الخاصية مربع طول المتجه، أي أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5C%7C&space;%5CPsi&space;%5C right&space;%5C%7C%5Cleft&space;%5E%7B2%7D=&space;%5C langle&space;%5CPsi&space;%7C&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;% 5Crangle


وهذا الطول إما أن يكون أكبر من أو يساوي صفر ! والجزر التربيعي لهذه القيمة يُعرف بالـ "norm"، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5C%7C&space;%5CPsi&space;%5C right&space;%5C%7C%5Cleft&space;=%5Csqrt%7B%5Cl eft&space;%5Clangle&space;%5CPsi&space;%7C&space;%5CPsi&space;%5C right&space;%5Crangle%7D


وهنا تُقابلنا خاصية أخرى شبيه بواحدة في الضرب القياسي العادي، وهي إذا كان المقدار السابق يساوي الوحدة، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5C%7C&space;%5CPsi&space;%5C right&space;%5C%7C%5Cleft&space;=%5Csqrt%7B%5Cl eft&space;%5Clangle&space;%5CPsi&space;%7C&space;%5CPsi&space;%5C right&space;%5Crangle%7D=1


فإنه يُقال عن المتجه http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;%5Cleft&space;%7C&space;%5CPsi&space;%5Cri ght&space;%5Crangle أنه "normalized" !

يُتبع ...

[رجب مصطفى]

***


لإيجاد المرافق لتعبيرٍ ما، يُتبع عدد من الخطوات:

1 – إبدال أي ثابت بمرافقه المركب، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha&space;%5Cquad&space;%5Cto&space;%5 Cquad&space;%5Calpha%5E%7B%5Cast%7D


2 – إبدال المتجهات الـ ket إلى ما يُقابله من متجهات الـ bra، أو العكس، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%7C&space;%5CPsi&space;%5Crig ht&space;%5Crangle&space;%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space; %5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPsi&space;%7C,&space;%5Cqu ad&space;%5Crm&space;or&space;%5Cquad&space;%5Cleft&space;%5Clang le&space;%5CPsi&space;%7C&space;%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad &space;%5Cleft&space;%7C&space;%5CPsi&space;%5Cright&space;%5Cran gle


3 – إبدال كل مؤثر operator بمرافقه، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?T&space;%5Cquad&space;%5Cto&space;%5Cquad&space;T %5E%7B%5Cdagger%7D


ملحوظة: يُمثل المؤثر بمصفوفة مربعة، وعندها يتم الحصول على المرافق عن طريق عمليتين متتاليتين، هما :

أ – إبدال الصفوف إلى أعمدة http://hazemsakeek.com/vb/%28transpose%29%20http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5E%7BT%7D !
ب – أخذ المرافق لكل عنصر !

وبالتالي نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5E%7B%5Cdagger%7D=%5Cle ft&space;%28T%5E%7BT%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7 B%5Cast%7D


4 – عكس ترتيب كل الكميات الموجودة في التعبير !



***


فمثال على ذلك، إيجاد المرافق للتعبير التالي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda&space;%5Cleft&space;%5Clang le&space;u%7C%5Chat%7BA%7D&space;%5Chat%7BB%7D% 7Cv&space;%5Cright&space;%5Crangle


على النحو التالي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clambda&space;%5Cto&space;%5Clambda %5E%7B%5Cast%7D,&space;%5Cquad&space;%5Cleft&space;%5 Clangle&space;u%7C&space;%5Cto&space;%7Cu&space;%5Cright&space;%5 Crangle&space;,&space;%5Cquad&space;%5Chat%7BA%7D&space;%5C hat%7BB%7D&space;%5Cto&space;A%5E%7B%5Cdagger%7 D&space;B%5E%7B%5Cdagger%7D&space;,&space;%5Cquad&space;%7C v&space;%5Crangle&space;%5Cright&space;%5Crangle%5Cri ght&space;%5Crangle&space;%5Cto&space;%5Cleft&space;%5Clang le&space;v%7C


وبعد عكس الترتيب، نحصل على التعبير المطلوب:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%28%5Clambda&space;%5Cl eft&space;%5Clangle&space;u%7C%5Chat%7BA%7D&space;%5C hat%7BB%7D%7Cv&space;%5Cright&space;%5Crangle&space;% 5Cright&space;%29%5E%7B%5Cast%7D&space;%5Cquad&space; %5Cquad&space;%5CRightarrow&space;%5Cquad&space;%5Cqu ad&space;%5Clambda%5E%7B%5Cast%7D&space;%5Cleft &space;%5Clangle&space;v%7C%5Chat%7BB%7D%5E%7B% 5Cdagger%7D&space;%5Chat%7BA%7D%5E%7B%5Cd agger%7D%7Cu&space;%5Cright&space;%5Crangle


هذا ... والله أعلى وأعلم


وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

[Phs.energy]

بارك الله فيك
موضوع جدا مهم
مستمرة بالمتابعة باذن الله ^_^

[تغريد]

هذا رائع جدا أخي الكريم رجب
جهد مشكور حقيقة
أسأل الله أن يبارك جهودك و يسدد خطاك
بانتظار جديدك أخي الكريم
وفقك الله لما يحب و يرضى

وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين
وسلم تسليماً كثيراً

[رجب مصطفى]

بارك الله فيكِ أختنا الفاضلة الدكتورة / تغريد ...

فنحن نتعلم منكم ...

وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً

[محمد عريف]

مجهود أكثر من رائع أخي ... ومعلومات جيدة وجديدة كنت في طريق البحث عنها

وأشكرك لقد وفرت علي عناء البحث ... زادك الله علماً أخي

مع وافر احترامي وتقديري

[مروة إبراهيم]

شكرا جزيلا أخي رجب مصطفى
حقيقة الموضوع رائع ومفيد جدا
جزاك الله كل خير

[رجب مصطفى]

مجهود أكثر من رائع أخي ... ومعلومات جيدة وجديدة كنت في طريق البحث عنها

وأشكرك لقد وفرت علي عناء البحث ... زادك الله علماً أخي

مع وافر احترامي وتقديري



شكرا جزيلا أخي رجب مصطفى
حقيقة الموضوع رائع ومفيد جدا
جزاك الله كل خير


بارك الله في الأخوة الأفاضل والأخوات الفُضليات ...

وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً

[einstein.ami]

مشكووور على الشرح الرائع والبسيط

[محمد مصطفى]

موضوع مميز ولقد درست هذه الرموز التابعه ل Dirac Notation وكانت فى بدايتها صعبه

شكرا اخى رجب على وضع هذه المقدمه المبسطه

تحياتى

[hlilima]

baraka alllahou fiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiikkkkkkkkkkk kkkkkkkk

[رجب مصطفى]

موضوع مميز ولقد درست هذه الرموز التابعه ل Dirac Notation وكانت فى بدايتها صعبه

شكرا اخى رجب على وضع هذه المقدمه المبسطه

تحياتى


baraka alllahou fiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiikkkkkkkkkkk kkkkkkkk

بارك الله فيكم إخواني ...

في أمان الله

[فيزياءة]

مشكور جدا على هذا الايجاز والتبسيط لكن هل كل المؤثرات في ميكانيك الكم تكون عبارة عن مصفوفة

[PHISY]

شكراً جزيلاً على الموضوع الجميل والهام

[قبس من نور]

السلام عليكم ورحمة الله وبركآته


أسمحوا لي بإضآفة بسيطة ..
كمآ اخبرنآ دكتورنآ في الجآمعة ,,

في تسمية bra , ket

فقد تم اشتقآقها -والله أعلم-
من كلمة :
bracket
وهي الأقوآس..
واستخدمآ ket وهي الشق الأيمن للدلآله على المتجه الأيمن
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%7C&space;%5CPhi&space;%5Crig ht&space;%5Crangle,&space;%5Cquad&space;%5Cleft&space;%7C&space;% 5CPsi&space;%5Cright&space;%5Crangle,&space;%5Cquad&space;% 5Cleft&space;%7C&space;A&space;%5Cright&space;%5Crangle,&space;%5 Cquad&space;...
وbra وهي الشق الأيسر للدلآله على المتجه الأيسر ..

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5CPhi&space; %7C&space;,&space;%5Cquad&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space;%5C Psi&space;%7C,&space;%5Cquad&space;%5Cleft&space;%5Clangle&space; A&space;%7C,&space;%5Cquad&space;...
شكرآ لكم

أختكم /قبس من نور
مستوى أول ماستر..

[محمد نصار]

شكرًا جزيلاً وبارك الله فيك

[محمد نصار]

جزاك الله كل خير وبارك لك في علمك وزادك من علمه

[Quantum Physics]

موضوع رائع بكل ما تحمله الكلمه من معنى
ملاحظه
توجد صوره غير ظاهره في المشاركه رقم 4

[وسيم22]

موضوع غاية في الروعة... بارك الله فيك