الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!! [الأرشيف]

مشاهدة النسخة كاملة : الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!

رجب مصطفى

07-26-2010, 02:35 AM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

نضع الآن بعون الله الجزء الثاني من موضوع

الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي !

Specific Heat and the Models of Einstein and Debye !

http://www.monsterup.com/upload/1222637946.gif

الجزء الأول

الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (1) !!!

على الرابط التالي

قبل الدخول ... صلِّ على حبيبك المصطفى (صلى الله عليه وسلم) وعلى آله وصحبه أجمعين (http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?25657-%281%29-%21%21%21)

http://www.monsterup.com/upload/1222637946.gif

*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير هذا سيكون واضعه سارقاً له !!!

وحتى لا أطُيل عليكم ... مع

نموذج "ديباي" (The Debye Model) !

أُفترض في نموذج أينشتاين أن كل ذرة تتذبذب أو تهتز بمعزل (أو مستقلة) عن الذرات الأخرى المجاورة ! ولكن، في الحقيقة، فكرة الإستقلالية هذه ليست صائبة، وذلك لأن الذرات تتفاعل مع بعضها البعض وبالتالي حركة ذرة واحدة ستؤثر بالتأكيد في جيرانها ! وحركة هؤلاء ستؤثر أيضاً في جيرانهم وهكذا ...

وعليه فإن حركة ذرة واحدة في أي مكان من الجسم الصلب سيكون لها تأثير على كل الذرات الموجودة، وبالتالي علينا أن نأخذ حركة البللورة الشبيكة (lattice) ككل في الإعتبار، وليس ذرة واحدة منفردة ! أي أن نعتبر الأنماط الجماعية للبللورة (collective lattice modes) !

والمثال الأكثر شيوعاً لمثل هذه الأنماط هو "موجات الصوت في الجوامد (sound waves in solids)". فعندما تنتشر موجات الصوت في الجوامد، فإن الذرات لا تهتز منفردة ومستقلة عن بعضها البعض، بل تنسجم حركتها في نظام معين يجعلها جميعاً تتحرك بنفس السعة وبنفس الطور !

وحساب الحرارة النوعية تبعاً لنموذج ديباي يتم على النحو التالي:

لإيجاد طاقة الإهتزاز، يجب أن نُلاحظ أن كل نمط من الأنماط المذكورة قبل قليل يُكافئ متذبذب توافقي واحد فقط متوسط طاقته تُعطى من المعادلة (5) وهي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%7B%5Ccolor%7Bre d%7D&space;%5Cbar%7B%5Cvarepsilon%7D=&space;%5C frac%7B%5Chbar&space;%5Comega%7D%7Be%5E%7 B%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%7D-1%7D%7D%5Crightarrow&space;%285%29

وعليه ستكون الطاقة الكلية للإهتزازة للبللورة ككل هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?E=%5Cint&space;%5Cbar%7B%5Cvare psilon&space;%7D%28%5Comega%29g%28%5Comeg a%29d%5Comega%5Crightarrow&space;%2810%29

وهنا سيكون التكامل على كل الترددات الممكنة ! وأيضاً، http://latex.codecogs.com/gif.latex?g%28%5Comega%29 هي دالة "كثافة الحالات (density-of-states)" الكلية التي تُعطى من العلاقة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?g%28%5Comega%29=%5Cfrac%7 B3V%7D%7B2%5Cpi%5E%7B2%7D%7D%5Cfrac %7B%5Comega%5E%7B2%7D%7D%7Bv_%7Bs%7 D%5E%7B3%7D%7D%5Crightarrow&space;%2811%2 9

(وهذه العلاقة تُشتق بطريقة مشابهه لأختها في موضوع إشعاع الجسم الأسود، في مقدمة المشاركة الثانية هنــــا (http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?22362-%21&p=131944&viewfull=1#post131944) والمُمثلة بالرمز http://latex.codecogs.com/gif.latex?N%28%5Comega%29 ).

وفيها http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_%7Bs%7Dهي سرعة الصوت، و http://latex.codecogs.com/gif.latex?V هو حجم العينة تحت الدراسة.

ملحوظة ... تم التعويض بهذه القيمة لدالة الكثافة، لأنه في نموذج ديباي تتذبذب أو تهتز البللورة كوسط مستمر أو متصل (continuous medium) !

والمعادلة (10) جائت من خلال ملاحظة أن المقدار http://latex.codecogs.com/gif.latex?g%28%5Comega%29d%5Comega هو عبارة عن عدد الأنماط في الحيز الترددي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega و http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega+d%5Comega ، طاقة أيُها مساوية لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon&space;%7 D%28%5Comega%29 .

وبمعنى آخر ... سنُعامل هذه البللورة المهتزة كمجموعة من الأنماط الجماعية (a set of collective modes) التي تهتز (أي المجموعة) بصورة مستقلة عن المجموعات الأُخرى !

ولتوضيح الجملة الأخيرة ... نقول أننا سنعالج هذه الأنماط مستقلة عن بعضها البعض (أي مجموعات الأنماط)، ولكن الذرات نفسها يجب أن تتفاعل مع بعضها ! وهكذا موجتان من موجات الصوت ربما تنتشران في الجسم الصلب بصورة منفردة ! ولكن الذرات تتفاعل فيما بينها لكل موجة وذلك حتى تنتشر هذه الموجة !

يُتبع ...

رجب مصطفى

07-26-2010, 02:38 AM

***

والآن ... لحساب التكامل (10)، نعوض بالقيمة المقابلة للدوال الموجودة بالتكامل، أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?E=%5Cfrac%7B3V%7D%7B2%5Cp i%5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7B3%7D%7D%5 Cint&space;%5Comega%5E%7B2%7D%5Cfrac%7B%5 Chbar&space;%5Comega%7D%7Be%5E%7B%5Chbar&space; %5Comega&space;/kT%7D-1%7Dd%5Comega%5Crightarrow&space;%2812%29

وقبل عملية حساب هذه التكامل، ييجب أولاً أن نُعين حدود هذا االتكامل، أي أقل وأكبر قيمة للتردد ! فأقل قيمة ممكنه للتردد هي، بكل وضوح، الصفر، أما أعلى قيمة فتحددت بواسطة ديباي وذلك بفرضه أن العدد الكلي (total number) للأنماط الموجودة يجب أن تساوي عدد درجات الحرية (degrees of freedom) للجسم الصلب ككل !

وحيث أن هذا العدد يساوي http://latex.codecogs.com/gif.latex?3N_%7BA%7D ، لأن كل ذرة لها ثلاث درجات من الحرية، لذا فإن الفرض السابق يمكن كتابته بدلالة كثافة الحالات على النحو التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint_%7B0%7D%5E%7B%5Com ega&space;_%7BD%7D%7Dg%28%5Comega%29d%5Co mega=3N_%7BA%7D

وحل هذا التكامل بسيط وهو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cfrac%7B3V%7D%7B2%5Cpi% 5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7B3%7D%7D%5Ci nt_%7B0%7D%5E%7B%5Comega&space;_%7BD%7D%7 D%5Comega%5E%7B2%7Dd%5Comega=%5Cfra c%7B3V%7D%7B6%5Cpi%5E%7B2%7Dv_%7Bs% 7D%5E%7B3%7D%7D%5Comega%5E%7B3%7D_% 7BD%7D=3N_%7BA%7D

ومنها:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega%5E%7B3%7D_%7BD%7 D=6%5Cpi%5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7B3% 7D%5Cfrac%7BN_%7BA%7D%7D%7BV%7D=6%5 Cpi%5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7B3%7Dn

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega_%7BD%7D=v_%7Bs%7 D%5Cleft&space;%286%5Cpi%5E%7B2%7Dn&space;%5Cri ght&space;%29%5E%7B1/3%7D%5Crightarrow&space;%2813%29

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?n=N_%7BA%7D/V هي تركيز الذرات في العينة (الجسم الصلب) !

وفي سلسلة العلاقات السابقة، يُعرف تردد القطع (cutoff frequency) http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega_%7BD%7D بـ "تردد ديباي (Debye frequency)".

والشكل التالي يُوضح بيانياً السلوك الذي من خلاله يُنجز هذا الإنقطاع في التردد، والمنطقة المظللة تساوي عدد الأنماط والتي هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?3N_%7BA%7D !

http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=1075

يُتبع ...

رجب مصطفى

07-26-2010, 02:42 AM

***

وبالعودة لمعادلتنا الأساسية، وهي معادلة الطاقة الكلية رقم (12)، ووضع حدود التكامل، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?E=%5Cfrac%7B3V%7D%7B2%5Cp i%5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7B3%7D%7D%5 Chbar%5Cint%5E%7B%5Comega_%7BD%7D%7 D_%7B0%7D&space;%5Cfrac%7B&space;%5Comega%5E%7B 3%7D%7D%7Be%5E%7B%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%7D-1%7Dd%5Comega%5Crightarrow&space;%2812-2%29

وبتفاضلها بالنسبة لدرجة الحرارة (لاحظ درجة الحرارة وليس التردد) نحصل على معادلة الحرارة النوعية التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=%5Cfrac%7B3V%7D %7B2%5Cpi%5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7B3 %7D%7D%5Chbar%5Cint%5E%7B%5Comega_% 7BD%7D%7D_%7B0%7D&space;%5Cfrac%7B&space;%5Come ga%5E%7B3%7De%5E%7B%5Chbar&space;%5Comega &space;/kT%7D%5Cleft&space;%28&space;%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%7D%7B%5Cl eft&space;%28e%5E%7B%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Dd%5Comeg a

وبإعادة الترتيب ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=%5Cfrac%7B3V%7D %7B2%5Cpi%5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7B3 %7D%7D%5Cfrac%7B%5Chbar%5E%7B2%7D%7 D%7BkT%5E%7B2%7D%7D%5Ctimes%5Cfrac% 7Bk%7D%7Bk%7D%5Ctimes%5Cint%5E%7B%5 Comega_%7BD%7D%7D_%7B0%7D&space;%5Cfrac%7 B&space;%5Comega%5E%7B4%7De%5E%7B%5Chbar&space; %5Comega&space;/kT%7D%7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7B%5Chba r&space;%5Comega&space;/kT%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Dd%5Comeg a

ولإيجاد حل للتكامل السابق، سنضع:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%5CRightarrow&space;%5Comega=%5Cleft&space;%2 8kT/%5Chbar&space;%5Cright&space;%29x%5CRightarrow&space; %5Comega%5E%7B4%7D=%5Cleft&space;%28kT/%5Chbar&space;%5Cright&space;%29%5E%7B4%7Dx%5E% 7B4%7D%5CRightarrow&space;d%5Comega=%5Cle ft&space;%28kT/%5Chbar&space;%5Cright&space;%29dx

إذاً ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=%5Cfrac%7B3Vk%7 D%7B2%5Cpi%5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7B 3%7D%7D%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7B%5Chbar %7D%7BkT%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D% 5Cleft&space;%28%5Cfrac%7BkT%7D%7B%5Chbar %7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B5%7D%5Cint%5E %7B%5Comega_%7BD%7D%7D_%7B0%7D&space;%5Cf rac%7B&space;x%5E%7B4%7De%5E%7Bx%7D%7D%7B %5Cleft&space;%28e%5E%7Bx%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Ddx

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=%5Cfrac%7B3Vk%7 D%7B2%5Cpi%5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7B 3%7D%7D%5Cleft&space;%28%5Cfrac%7BkT%7D%7 B%5Chbar%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B3%7D% 5Cint%5E%7B%5Comega_%7BD%7D%7D_%7B0 %7D&space;%5Cfrac%7B&space;x%5E%7B4%7De%5E%7Bx% 7D%7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7Bx%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Ddx

لكن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega%5E%7B3%7D_%7BD%7 D=%5Cfrac%7B6%5Cpi%5E%7B2%7Dv_%7Bs% 7D%5E%7B3%7DN_%7BA%7D%7D%7BV%7D%5CR ightarrow&space;%5Cfrac%7B%5Comega%5E%7B3 %7D_%7BD%7D%7D%7BN_%7BA%7D%7D=%5Cfr ac%7B6%5Cpi%5E%7B2%7Dv_%7Bs%7D%5E%7 B3%7D%7D%7BV%7D

وبالتعويض وإجراء مجموعة من الإختصارات البسيطة (تمرين)، نحصل على ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=9R%5Cleft&space;%28%5 Cfrac%7BkT%7D%7B%5Chbar%5Comega_%7B D%7D%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B3%7D%5Cin t%5E%7B%5Comega_%7BD%7D%7D_%7B0%7D&space; %5Cfrac%7B&space;x%5E%7B4%7De%5E%7Bx%7D%7 D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7Bx%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Ddx

والآن ... دعونا نقدم الإختصار التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?k%5Ctheta_%7BD%7D=%5Chbar %5Comega_%7BD%7D%5CRightarrow&space;%5Cth eta_%7BD%7D=%5Chbar%5Comega_%7BD%7D/k

إذاً ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=9R%5Cleft&space;%28%5 Cfrac%7BT%7D%7B%5Ctheta_%7BD%7D%7D&space; %5Cright&space;%29%5E%7B3%7D%5Cint%5E%7B% 5Comega_%7BD%7D%7D_%7B0%7D&space;%5Cfrac% 7B&space;x%5E%7B4%7De%5E%7Bx%7D%7D%7B%5Cl eft&space;%28e%5E%7Bx%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Ddx

ولكن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?x=%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%5CRightarrow&space;x_%7BD%7D=%5Chbar&space;% 5Comega_%7BD%7D&space;/kT&space;%5CRightarrow&space;x_%7BD%7D=%5Cfrac% 7B%5Chbar&space;%7D%7Bk&space;T%7D&space;%5Cleft&space;%28&space; %5Cfrac%7Bk&space;%5Ctheta_%7BD%7D%7D%7B% 5Chbar%7D&space;%5Cright&space;%29%5CRightarrow &space;x_%7BD%7D=%5Cfrac%7B%5Ctheta_%7BD% 7D%7D%7BT%7D

إذاً ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%7B%5Ccolor%7Bre d%7D&space;C_%7BV%7D=9R%5Cleft&space;%28%5Cfrac %7BT%7D%7B%5Ctheta_%7BD%7D%7D&space;%5Cri ght&space;%29%5E%7B3%7D%5Cint%5E%7B%5Cthe ta_%7BD%7D&space;/&space;T%7D_%7B0%7D&space;%5Cfrac%7B&space;x%5E%7B4%7 De%5E%7Bx%7D%7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7 Bx%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Ddx%7D%5C rightarrow&space;%2814%29

وهذه هي الحرارة النوعية كما تُعطى من نموذج ديباي ! ...

يُتبع ...

رجب مصطفى

07-26-2010, 02:47 AM

***

والآن سندرس سلوك هذه المعادلة عند الحدود المفروضة لدرجات الحرارة (المرتفعة والمنخفضة)، وذلك على النحو التالي:

1 – عند درجات الحرارة المرتفعة، http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5Cgg&space;%5Ctheta_%7BD%7D ، وبالتالي تكون النهاية العليا صغيرة جداً، وعليه تكون قيمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?x في التكامل صغيرة خلال المدى الكامل، الأمر الذي يُمكننا من إستخدام المفكوك أو التقريب التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7Bx%7D%5Csimeq&space;1+x+. ..

وعليه سيصبح التكامل على الصورة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%5E%7B%5Ctheta_%7BD %7D&space;/&space;T%7D_%7B0%7D&space;%5Cfrac%7B&space;x%5E%7B4%7 De%5E%7Bx%7D%7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7 Bx%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Ddx&space;%5Csi meq&space;%5Cint%5E%7B%5Ctheta_%7BD%7D&space;/&space;T%7D_%7B0%7D&space;%5Cfrac%7B&space;x%5E%7B4%7 De%5E%7Bx%7D%7D%7B%5Cleft&space;%281+x-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Ddx&space;%5Csi meq&space;%5Cint%5E%7B%5Ctheta_%7BD%7D&space;/&space;T%7D_%7B0%7Dx%5E%7B2%7Ddx=&space;%5Cfrac %7B1%7D%7B3%7D%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7 B%5Ctheta_%7BD%7D%7D%7BT%7D&space;%5Crigh t&space;%29%5E%7B3%7D

وبالتالي ستكون الحرارة النوعية هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D%5Csimeq&space;9R%5Cle ft&space;%28%5Cfrac%7BT%7D%7B%5Ctheta_%7B D%7D%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B3%7D%5Cle ft&space;%28&space;%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D&space;%5Clef t&space;%28%5Cfrac%7B%5Ctheta_%7BD%7D%7D% 7BT%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B3%7D&space;%5Cri ght&space;%29

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D%5Csimeq&space;3R

وهذه هي النتيجة الكلاسيكية المعتادة التي تتفق وقانون "بيتيت ودلونج" !

2 – عند درجات الحرارة المنخفضة، فالأمر أكثر إثارة ! فهنا http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5Cll&space;%5Ctheta_%7BD%7D ، وعليه سيقترب الحد العلوي للتكامل من اللانهاية، وعليه نحصل على تكامل يمكن حسابه رياضياً، أي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cint%5E%7B%5Ctheta_%7BD %7D&space;/&space;T%7D_%7B0%7D&space;%5Cfrac%7B&space;x%5E%7B4%7 De%5E%7Bx%7D%7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7 Bx%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Ddx&space;%5Csi meq&space;%5Cint%5E%7B%5Cinfty&space;%7D_%7B0%7 D&space;%5Cfrac%7B&space;x%5E%7B4%7De%5E%7Bx%7D %7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7Bx%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7Ddx=%5Cfr ac%7B4%5Cpi%5E%7B4%7D%7D%7B15%7D

وبالتالي ستأخذ الحرارة النوعية الصورة التالية:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=9R%5Cleft&space;%28%5 Cfrac%7BT%7D%7B%5Ctheta_%7BD%7D%7D&space; %5Cright&space;%29%5E%7B3%7D%5Cleft&space;%28&space;% 5Cfrac%7B4%5Cpi%5E%7B4%7D%7D%7B15%7 D&space;%5Cright&space;%29

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%7B%5Ccolor%7Bre d%7D&space;C_%7BV%7D=%5Cfrac%7B12%5Cpi%5E %7B4%7D%7D%7B5%7DR%5Cleft&space;%28%5Cfra c%7BT%7D%7B%5Ctheta_%7BD%7D%7D&space;%5Cr ight&space;%29%5E%7B3%7D%7D%5Crightarrow&space; %2815%29

وهذا ما يُبين الإعتماد على الأس الثالث لدرجة الحرارة المطلقة، الذي أشرنا إليه سابقاً ! مما يعني أنه عند درجات الحرارة المنخفضة يوجد، فقط، عدد قليل من الأنماط هو المُثار (excited).

هذه الأنماط هي التي طاقتها الكمية http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chbar&space;%5Comega أقل من الطاقة الحرارية http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT !

سبب فشل نموذج أينشتاين عند درجات الحرارة المنخفضة أصبح واضحاً الآن ! فهذا النموذج تجاهل وجود الأنماط ذات التردد الضعيف جداً (طويل الطول الموجي) التي تستطيع أن تمتص الحرارة حتى عند درجات الحرارة المنخفضة، لأن الطاقة المكممة لمثل هذه الأنماط صغيرة جداً !

والشكل التالي يُبين نموذج ديباي مقابل نموذج أينشتاين، والذي يوضح الحرارة النوعية كدالة في درجة الحرارة !

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/54/DebyeVSEinstein.jpg/300px-DebyeVSEinstein.jpg

وختاماً ... على الرغم من النجاح الكبير الذي حققه نموذج ديباي، إلا أنه أيضاً يبقى في النهاية كتقريب !

تم بحمد الله وتوفيقه تعالى

المصادر:

Elementary Solid State Physics - M. Ali Omar
Debye model - From Wikipedia, the free encyclopedia

وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

الصادق

07-26-2010, 03:56 AM

اشكرك اخي العزيز الغالي رجب على طرحك الرائع جداً واسلوبك الممتع
بارك الله فيك وجزاك كل خير وزادك علماً و حكمة

رجب مصطفى

07-26-2010, 04:05 AM

اشكرك اخي العزيز الغالي رجب على طرحك الرائع جداً واسلوبك الممتع
بارك الله فيك وجزاك كل خير وزادك علماً و حكمة

سأكرر ما أقوله دائماً ... جزاك الله خير الجزاء أخي وأستاذي الغالي / الصادق ... فمهما فعلنا أو قدمنا لن نساويك يا أستاذي ...

فـ بارك الله فيك وجزاك كل خير وزادك علماً وحكمة

ونحن نتعلم منكم ... ومروركم على أيٍ من مواضيعنا المتواضعة يزيدنا شرفاً !

في أمان الله ...

محبة الرسول

07-26-2010, 10:38 AM

رجب مصطفى

07-26-2010, 02:31 PM

جزاك الله كل خير استاذنا الفاضل.....

بارك الله فيك ونفع بك الامة الاسلامية, وزادك علما ونورا وحكمة....

جعل كل ذلك في ميزان حسناتك يوم القيامة, وحشرك مع الانبياء والشهداء والصديقين...

صل على حبيبك المصطفى....

وجزاكِ مثله ... وفيكِ بارك ... ولكِ المثل ...

وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً

مروة إبراهيم

07-26-2010, 04:21 PM

رجب مصطفى

07-27-2010, 03:22 AM

شكرا لك أخي رجب على جزأين مميزين من موضوعاتك
ولو أني لم أفهم كل الجزأين فهناك مقاطع طويلة لم أفهما مع الأسف
لكن في حدود ما فهمته كان الموضوع رائعا ولا شك أن الباقي أروع
جزاك الله خير ونفع بك

بارك الله فيكِ أختنا الفاضلة / مروة ... وأسعدني مروركم الكريم على موضوعي ...

كما يُسعدني الإستفسار عن الأمور غير المفهومة !

في أمان الله ...

s.alghamdi

07-27-2010, 04:55 AM

موضوع رائع

و جهد تشكر عليه استاذ رجب

استفد كثيرا

بارك الله فيك

رجب مصطفى

07-27-2010, 05:27 AM

موضوع رائع

و جهد تشكر عليه استاذ رجب

استفد كثيرا

بارك الله فيك

حمداً لله على سلامتك ... أختنا الغالية / سعاد ... أسأل الله أن تكونِ في تمام الصحة والعافية ...

وإنه لشرفٌ لي أن تكون أول مشاركاتك الجديدة في موضوعي المتواضع ...

في أمان الله ...

murad abuamr

07-27-2010, 05:30 PM

شكراً لك اخي رجب ، وآسف لتأخري على المرور ، وقد كنت أذكر أني مررت بهذه الصفحة ، ولكن يبدو أنّ شيئاً ما حدث وأعاقني .

على كل حال أشكرك مرّة اخرى على هذه الحلقة الجديدة من هذا الموضوع الذي أعشقه كثيراً ، وأنا من عشاق الميكانيك الإحصائي لدرجة كبيرة جداً .

نلاحظ هنا كيف أنّ نموذجَ هذا العالِم حقق ما عجز عنه نموذج آينشتاين ، وهنا يكمن الجمال في الفيزياء ، أن تتمكن المبادئ الأساسية فيها من الوصول للنتيجة التجريبية بدقة كما لاحظنا من هذا النموذج .

تحياتي لك وبالتوفيق .

رجب مصطفى

07-27-2010, 07:04 PM

عبدالله الشرعبي

06-02-2014, 07:16 PM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسوله الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

نضع الآن بعون الله الجزء الثاني من موضوع

الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي !

Specific Heat and the Models of Einstein and Debye !

http://www.monsterup.com/upload/1222637946.gif

الجزء الأول

الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (1) !!!

على الرابط التالي

قبل الدخول ... صلِّ على حبيبك المصطفى (صلى الله عليه وسلم) وعلى آله وصحبه أجمعين (http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?25657-(1)-!!!)

http://www.monsterup.com/upload/1222637946.gif

*** ملحوظة هامة جداً كالعادة ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير هذا سيكون واضعه سارقاً له !!!

وحتى لا أطُيل عليكم ... مع

نموذج "ديباي" (The Debye Model) !

أُفترض في نموذج أينشتاين أن كل ذرة تتذبذب أو تهتز بمعزل (أو مستقلة) عن الذرات الأخرى المجاورة ! ولكن، في الحقيقة، فكرة الإستقلالية هذه ليست صائبة، وذلك لأن الذرات تتفاعل مع بعضها البعض وبالتالي حركة ذرة واحدة ستؤثر بالتأكيد في جيرانها ! وحركة هؤلاء ستؤثر أيضاً في جيرانهم وهكذا ...

وعليه فإن حركة ذرة واحدة في أي مكان من الجسم الصلب سيكون لها تأثير على كل الذرات الموجودة، وبالتالي علينا أن نأخذ حركة البللورة الشبيكة (lattice) ككل في الإعتبار، وليس ذرة واحدة منفردة ! أي أن نعتبر الأنماط الجماعية للبللورة (collective lattice modes) !

والمثال الأكثر شيوعاً لمثل هذه الأنماط هو "موجات الصوت في الجوامد (sound waves in solids)". فعندما تنتشر موجات الصوت في الجوامد، فإن الذرات لا تهتز منفردة ومستقلة عن بعضها البعض، بل تنسجم حركتها في نظام معين يجعلها جميعاً تتحرك بنفس السعة وبنفس الطور !

وحساب الحرارة النوعية تبعاً لنموذج ديباي يتم على النحو التالي:

لإيجاد طاقة الإهتزاز، يجب أن نُلاحظ أن كل نمط من الأنماط المذكورة قبل قليل يُكافئ متذبذب توافقي واحد فقط متوسط طاقته تُعطى من المعادلة (5) وهي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{red}&space;\bar{ \varepsilon}=&space;\frac{\hbar&space;\omega}{e ^{\hbar&space;\omega&space;/kT}-1}}\rightarrow&space;(5)

وعليه ستكون الطاقة الكلية للإهتزازة للبللورة ككل هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?E=\int&space;\bar{\varepsilon&space;} (\omega)g(\omega)d\omega\rightarrow &space;(10)

وهنا سيكون التكامل على كل الترددات الممكنة ! وأيضاً، http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(\omega) هي دالة "كثافة الحالات (density-of-states)" الكلية التي تُعطى من العلاقة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(\omega)=\frac{3V}{2\pi^ {2}}\frac{\omega^{2}}{v_{s}^{3}}\ri ghtarrow&space;(11)

(وهذه العلاقة تُشتق بطريقة مشابهه لأختها في موضوع إشعاع الجسم الأسود، في مقدمة المشاركة الثانية هنــــا (http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?22362-!&p=131944&viewfull=1#post131944) والمُمثلة بالرمز http://latex.codecogs.com/gif.latex?N(\omega) ).

وفيها http://latex.codecogs.com/gif.latex?v_{s}هي سرعة الصوت، و http://latex.codecogs.com/gif.latex?V هو حجم العينة تحت الدراسة.

ملحوظة ... تم التعويض بهذه القيمة لدالة الكثافة، لأنه في نموذج ديباي تتذبذب أو تهتز البللورة كوسط مستمر أو متصل (continuous medium) !

والمعادلة (10) جائت من خلال ملاحظة أن المقدار http://latex.codecogs.com/gif.latex?g(\omega)d\omega هو عبارة عن عدد الأنماط في الحيز الترددي http://latex.codecogs.com/gif.latex?\omega و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\omega+d\omega ، طاقة أيُها مساوية لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?\bar{\varepsilon&space;}(\omega ) .

وبمعنى آخر ... سنُعامل هذه البللورة المهتزة كمجموعة من الأنماط الجماعية (a set of collective modes) التي تهتز (أي المجموعة) بصورة مستقلة عن المجموعات الأُخرى !

ولتوضيح الجملة الأخيرة ... نقول أننا سنعالج هذه الأنماط مستقلة عن بعضها البعض (أي مجموعات الأنماط)، ولكن الذرات نفسها يجب أن تتفاعل مع بعضها ! وهكذا موجتان من موجات الصوت ربما تنتشران في الجسم الصلب بصورة منفردة ! ولكن الذرات تتفاعل فيما بينها لكل موجة وذلك حتى تنتشر هذه الموجة !

يُتبع ...

شكرا جزيلا لك على هذا الموضوع الجيد