الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (1) !!! [الأرشيف]

مشاهدة النسخة كاملة : الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (1) !!!

رجب مصطفى

07-22-2010, 01:50 AM

بسم الله الرحمن الرحيم

الحمد لله الذي صدق وعده، ونصر عبده، وأعز جنده، وهزم الأحزاب وحده، والصلاة السلام على من لا نبي بعده، رسولٍه الذي هدى به الأنام، وكشف به شبهات الأوهام، وعلى آله الطيبين الأطهار، وأصحابه المجاهدين الأبرار، الذين أغاظ الله بهم الكفار، وبسط بهم رحمته في جميع الأقطار

أما بعد:

فهذا موضوع كنتُ قد وعدت بإدراجه منذ فترة طويلة، ولكن لم أستطع إلا الآن، وقدّر الله وما شاء فعل !

*** ملحوظة هامة جداً ... هذا الموضوع حصري لـ "منتدى الفيزياء التعليمي" فقط، غير هذا سيكون واضعه سارقاً له !!!

وحتى لا أطُيل عليكم ... مع

الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي !

Specific Heat and the Models of Einstein and Debye !

تُعرف الحرارة النوعية لكل مول بالعلاقة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C=%5Cfrac%7B%5CDelta&space;Q%7D %7B%5CDelta&space;T%7D

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta&space;Q هي الحرارة اللازمة لرفع درجة حرارة 1 مول من المادة بمقدار http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta&space;T .

أما لو أُجريت العملية (process) عند حجم ثابت، فإن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta&space;Q=%5CDelta&space;E حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5CDelta&space;E هي التغير (الزيادة) في الطاقة الداخلية للنظام.

الحرارة النوعية عند حجم ثابت http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D ، بالتالي، ستُعطى من

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D&space;=&space;%5Cleft&space;%28%5 Cfrac%7B%5Cpartial&space;E%7D%7B%5Cpartia l&space;T%7D&space;%5Cright&space;%29_%7BV%7D%5Cright arrow&space;%281%29

تتغير الحرارة النوعية مع درجة الحرارة تبعاً للشكل التالي:

http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=1050

فعند درجات الحرارة العالية، تقترب قيمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D من القيمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?3R ، حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%20R هي الثابت العام للغازات (universal gas constant).

وحيث أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?R%5Csimeq&space;2 (كالوري / درجة كلفينية . مول)، إذاً عند درجات الحرارة العالية فإن http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D%5Csimeq&space;6 (كالوري / درجة كلفينية . مول). وهذا المدى من درجات الحرارة غالباً ما يشتمل حرارة الغرفة.

وحقيقة أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D تساوي تقريباً http://latex.codecogs.com/gif.latex?3R عند درجات الحرارة العالية بغض النظر عن نوع المادة تحت الإختبار يُعرف بقانون "دلونج - بيتيت" (Dulong-Petit law).

Law of Dulong and Petit (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/HBASE/thermo/dulong.html#c1)

الحيود عن هذا القانون في المناطق ذات درجات الحرارة المنخفضة يظهر بوضوح في الشكل السابق. فبإنخفاض درجات الحرارة، تنخفض كذلك الحرارة النوعية وتتلاشى تماماً عند الصفر المطلق !

ومن الملاحظات العملية، وجدَ أنه بالقُرب من الصفر المطلق تتناسب الحرارة النوعية http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D مع الأس الثالث لدرجة الحرارة المطلقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5E%7B3%7D .

والآن دعونا نحسب قيمة http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D ثم نقارنها بتلك المُقاسة عملياً !

*** يُتبع ...

رجب مصطفى

07-22-2010, 01:55 AM

والبداية مع ما يُسمى بـ "النظرية الكلاسيكية (classical theory)"، والتي يُنظر فيها للمادة الصلبة (solid) على أنها تتكون من ذرات وكل ذرة تُقيد في مكانها بقوة توافقية (harmonic force).

فعندما ترتفع درجة حرارة الجسم، تهتز الذرات حول مواقع إتزانها مثل مجموعة من المتذبذبات التوافقية، والطاقة المصاحبة لهذه الحركة هي الطاقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?E والتي تظهر في المعادلة (1).

وحيث أنه كما هو معروف أن متوسط الطاقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon%7D لمتذبذب أُحادي البُعد يساوي http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT ، حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?k هو ثابت بولتزمان. أي أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon%7D =kT%5Crightarrow&space;%282%29

وبالتالي، يكون متوسط هذه الطاقة لكل ذرة في ثلاثة أبعاد هو http://latex.codecogs.com/gif.latex?3kT ، ولكل مول ستصبح:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?E=3N_%7BA%7DkT=3RT

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?N_%7BA%7D هو عدد أفوجادرو، و:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?R=N_%7BA%7Dk

وبالتعويض في المعادلة (1)، وإجراء التفاضل نحصل على:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=3R%5Crightarrow &space;%283%29

وهذه النتيجة تتفق، بكل تأكيد، مع التجربة عند درجات الحرارة المرتفعة ولكنها تفشل، كليةً، عند الدرجات المنخفضة.

وعلى الرغم من أن هذه النتيجة تتنبأ بقيمة ثابتة للحرارة النوعية، إلا أن القيمة الفعلية، كما رأينا، تقل بإنخفاض درجة الحرارة وتتلاشي تماماً بإقتراب درجة الحرارة من الصفر المطلق !

هذا التناقض بين النظرية والتجربة كان واحداً من المفارقات التي لم تُحسم في الفيزياء حتى عام 1905، عندما حُلَ هذا التناقض بواسطة أينشتاين بإستخدامه نظرية الكم الجديدة (حينها) !

*** يُتبع ...

رجب مصطفى

07-22-2010, 02:02 AM

***

نموذج "أينشتاين" (The Einstein Model) !

وفي هذا النموذج، تُعامل الذرات كمتذبذبات مستقلة، وطاقة كل ذرة (متذبذب أو مهتز) تُعطى بـ ميكانيكا الكم بدلاً من الميكانيكا الكلاسيكية والمُشار إليها بالمعادلة (2).

وعليه، طبقاً لميكانيكا الكم، طاقة المتبذبذب ((المعزول (isolated oscillator))) مقيدة، فقط، بالقيم

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarepsilon&space;_%7Bn%7D=n% 5Chbar&space;%5Comega%5Crightarrow&space;%284%2 9

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?n عدد صحيح موجب أو صفر !، و http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega هي تردد المهتز التوافقي.

إذاً ... طاقة المتذبذب أصبحت ((مكماه)) (quantized).

فالحالة الأرضية (ground state)، المقابلة لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?n=0 ، لها الطاقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarepsilon_%7B0%7D=0 ، أما الحالات المُثارة (excited states) فتُكَوِن الطيف المتقطع ذو الفواصل المتساوية المُبَين بالشكل التالي:

http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=1051

حيث المسافة الفاصلة بين كل مستويين تساوي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chbar&space;%5Comega .

والمعادلة (4) تخص نظام معزول، كما بينّا، ولكن الذرات المكونة للجسم الصلب ليست معزولة عن بعضها البعض، بل تتبادل الطاقة باستمرار مع الوسط الحراري المحيط بالنظام (وهو الجسم الصلب).

وعلى الرغم من أن طاقة المهتز التوافقي (الذرة) تتغير باستمرار، إلا أن قيمتها المتوسطة عند الإتزان الحراري تُعطى من

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon%7D =%5Cfrac%7B%5Csum_%7B0%7D%5E%7B%5Ci nfty&space;%7D%5Cvarepsilon_%7Bn%7De%5E%7 B-%5Cvarepsilon_%7Bn%7D/kT%7D%7D%7B%5Csum_%7B0%7D%5E%7B%5Ci nfty&space;%7De%5E%7B-%5Cvarepsilon_%7Bn%7D/kT%7D%7D

حيث العامل الأُسي http://latex.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B-%5Cvarepsilon_%7Bn%7D/kT%7D هو معامل بولتزمان (Boltzmann factor) المعروف، والذي يُحدد إلى أي مدى يتم إسكان مستوى الطاقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cvarepsilon_%7Bn%7D .

والآن بالتعويض بالمعادلة رقم (4) في المعادلة السابقة، نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon%7D =%5Cfrac%7B%5Csum_%7B0%7D%5E%7B%5Ci nfty&space;%7Dn%5Chbar&space;%5Comega&space;e%5E%7B-n%5Chbar&space;%5Comega/kT%7D%7D%7B%5Csum_%7B0%7D%5E%7B%5Ci nfty&space;%7De%5E%7B-n%5Chbar&space;%5Comega/kT%7D%7D

وبفرض أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Calpha&space;=%5Cfrac%7B%5Chb ar&space;%5Comega%7D%7BkT%7D%5CRightarrow &space;%5Chbar&space;%5Comega&space;=&space;kT&space;%5Calph a

إذاً ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon%7D =kT%5Cfrac%7B%5Csum_%7B0%7D%5E%7B%5 Cinfty%7Dn&space;%5Calpha&space;e%5E%7B-n&space;%5Calpha%7D%7D%7B%5Csum_%7B0%7D%5 E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-n&space;%5Calpha%7D%7D

ولكن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?-%5Calpha%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D&space; %7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D&space;%5Calpha%7D&space; %5Cln&space;%5Cleft&space;%28&space;%5Csum_%7B0%7D%5E %7B%5Cinfty%7D&space;e%5E%7B-n&space;%5Calpha%7D&space;%5Cright&space;%29=-%5Calpha&space;%5Ctimes&space;%5Cfrac%7B1%7D%7B &space;%5Csum_%7B0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D&space;e% 5E%7B-n&space;%5Calpha%7D%7D%5Csum_%7B0%7D%5E%7 B%5Cinfty%7D%28-n%29e%5E%7B-n&space;%5Calpha%7D=%5Cfrac%7B%5Csum_%7B0 %7D%5E%7B%5Cinfty%7Dn&space;%5Calpha&space;e%5E %7B-n&space;%5Calpha%7D%7D%7B%5Csum_%7B0%7D%5 E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-n&space;%5Calpha%7D%7D

إذاً ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon%7D =kT%5Cfrac%7B%5Csum_%7B0%7D%5E%7B%5 Cinfty%7Dn&space;%5Calpha&space;e%5E%7B-n&space;%5Calpha%7D%7D%7B%5Csum_%7B0%7D%5 E%7B%5Cinfty%7De%5E%7B-n&space;%5Calpha%7D%7D=-kT%5Calpha%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7 D&space;%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D&space;%5Calpha%7 D&space;%5Cln&space;%5Cleft&space;%28&space;%5Csum_%7B0%7D% 5E%7B%5Cinfty%7D&space;e%5E%7B-n&space;%5Calpha%7D&space;%5Cright&space;%29

ولكن أيضاً ... المتسلسلة الهندسية السابقة يمكن كتابتها على الصورة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Csum_%7B0%7D%5E%7B%5Cin fty%7D&space;e%5E%7B-n&space;%5Calpha%7D=1+e%5E%7B-%5Calpha%7D+e%5E%7B-2%5Calpha%7D+&space;...&space;=&space;%281-e%5E%7B-%5Calpha%7D%29%5E%7B-1%7D

وعليه:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon%7D =-kT%5Calpha%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7 D%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%5Calpha%7D% 5Cln%28%281-e%5E%7B-%5Calpha%7D%29%5E%7B-1%7D%29=kT%5Calpha%5Cfrac%7B%281-e%5E%7B-%5Calpha%7D%29%5E%7B-2%7De%5E%7B-%5Calpha%7D%7D%7B%281-e%5E%7B-%5Calpha%7D%29%5E%7B-1%7D%7D

وبعد الإختصار، وإعادة التعويض، نحصل على العلاقة البسيطة:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%7B%5Ccolor%7Bre d%7D&space;%5Cbar%7B%5Cvarepsilon%7D=&space;%5C frac%7B%5Chbar&space;%5Comega%7D%7Be%5E%7 B%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%7D-1%7D%7D%5Crightarrow&space;%285%29

ففي الشكل التالي، والذي يُبين متوسط الطاقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon&space;%7 D مقابل درجة الحرارة http://latex.codecogs.com/gif.latex?T ،

http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=1057

نُلاحظ أنه عند درجات الحرارة العالية http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon&space;%7 D%5Crightarrow&space;kT ، والتي هي نفسها القيمة المحسوبة كلاسيكياً، ولكن بانخفاض درجات الحرارة، تنخفض الطاقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon&space;%7 D أيضاً، ويستمر الإنخفاض حتى تصل درجة الحرارة للصفر المطلق، وكما بينا سابقاً مراراً، عندها تتلاشى الطاقة تماماً.

هذا السلوك عند درجات الحرارة المنخفضة هو نتيجة للطبيعة الكمّية للحركة، كما أنه المسؤول عن الإنخفاض الغير متوقع كلاسيكياً للحرارة النوعية بإنخفاض درجات الحرارة !

يُتبع ...

رجب مصطفى

07-22-2010, 02:11 AM

***

السلوك السابق يمكن فهمه من خلال المناقشة التالية:

عند درجات الحرارة المرتفعة، نجد أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT%5Cgg&space;%5Chbar&space;%5Comega ، والتي تعني أن المهتز التوافقي في أعلى الحالات الكمّية المُثارة. وحيث أن الطاقة الحرارية http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT أكبر بكثير من الطاقة الكمّية http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chbar&space;%5Comega ، وعليه فإن الطبيعة الكمّية للطيف الناتج لن تكون ذات أهمية، وبالتالي نتوقع النتيجة الكلاسيكية السابقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon&space;%7 D=kT .

ورياضياً ...

عند درجات الحرارة العالية، سيكون http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT%5Cgg&space;%5Chbar&space;%5Comega ، وعليه سيُصبح مقدار الأُس http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT من الصغر بمكان، الأمر الذي يُمكننا من إستخدام مفكوك الدالة الأُسية على النحو التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%7D%5Csimeq&space;1+%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT+...

إذاً ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon&space;%7 D=%5Cfrac%7B%5Chbar&space;%5Comega%7D%7Be %5E%7B%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%7D-1%7D%5Csimeq%5Cfrac%7B%5Chbar&space;%5Com ega%7D%7B1+%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT-1%7D

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon&space;%7 D%5Csimeq&space;kT&space;%5Crightarrow&space;%286%29

وهي النتيجة الكلاسيكية المعروفة !

وفي الجهة المقابلة، عند درجات الحرارة المنخفضة، نجد أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT&space;%5Cll&space;%5Chbar&space;%5Comega ، وعليه تصبح طاقة التبادل الحراري مع الوسط المحيط http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT غير كافية لنقل المهتز لأول مستويات الطاقة المُثارة.

وفي هذه الحالة تكون طاقة المهتز التوافقي أقل بكثير من الطاقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT ، وهي، في الحقيقة، قريبة جداً من الصفر، كما وُجدَ سابقاً، وهنا تلعب الطبيعة الكمّية للحركة الدور الرئيس !

ورياضياً ...

عند درجات الحرارة المنخفضة، سيكون http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT%5Cll&space;%5Chbar&space;%5Comega ، وعليه سيُصبح مقدار الأُس http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT تقريباً مالا نهاية حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5Csimeq&space;0 ، وعليه:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon&space;%7 D=%5Cfrac%7B%5Chbar&space;%5Comega%7D%7Be %5E%7B%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%7D-1%7D%5Csimeq%5Cfrac%7B%5Chbar&space;%5Com ega%7D%7Be%5E%7B%5Chbar&space;%5Comega&space;/kT%7D%7D%5Csimeq%5Cfrac%7B%5Chbar&space;% 5Comega%7D%7B%5Cinfty&space;%7D

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Cbar%7B%5Cvarepsilon&space;%7 D%5Csimeq0%5Crightarrow&space;%287%29

وهي النتيجة الكمّية الحاصلة أيضاً !

والصيغة (5) هي نفسها التي استخدمها بلانك في نظريته لإشعاع الجسم الأسود، وحينها تم إفتراض مبدأ تكميم الطاقة لأول مرة ! وفي الواقع معالجة أينشتاين للحرارة النوعية كانت متزامنه تقريباً مع نظرية بلانك لإشعاع الجسم الأسود.

والآن يمكن أن نجد طاقة الجسم الصلب بملاحظة أن كل ذرة تُكافئ ثلاث متذبذبات توافقية ! وبالتالي سيكون هناك http://latex.codecogs.com/gif.latex?3N_%7BA%7Dمن مثل هذه المتذبذات.

إذاً ... ستكون الطاقة الكلية هي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?E=3N_%7BA%7D%5Clarge&space;&space;%5C bar%7B%5Cvarepsilon%7D=&space;%5Cfrac%7B3 N_%7BA%7D%5Chbar&space;%5Comega_%7BE%7D%7 D%7Be%5E%7B%5Chbar&space;%5Comega_%7BE%7D &space;/kT%7D-1%7D

حيث تم إستخدام التردد الزاوي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Comega_%7BE%7D ، والمعروف بـ "تردد أينشتاين (the Einstein frequency)"، للإشارة للتردد الشائع للمذبذبات التوافقية !

يُتبع ...

رجب مصطفى

07-22-2010, 02:21 AM

***

والآن ... بتفاضل المعادلة السابقة بالنسبة لدرجة الحرارة والتعويض في المعادلة (1)، على النحو التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=%5Cleft&space;%28%5Cf rac%7B%5Cpartial&space;E%7D%7B%5Cpartial&space; T%7D&space;%5Cright&space;%29_%7BV%7D=3N_%7BA%7 D%5Chbar&space;%5Comega_%7BE%7D&space;%5Cfrac%7 B%5Cleft&space;%28-e%5E%7B%5Chbar&space;%5Comega_%7BE%7D&space;/kT%7D&space;%5Cright&space;%29%5Cleft&space;%28&space;%5Chb ar&space;%5Comega_%7BE%7D&space;/kT%5E%7B2%7D&space;%5Cright&space;%29%7D%7B%5Cl eft&space;%28e%5E%7B%5Chbar&space;%5Comega_%7BE %7D&space;/kT%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D%5Ctimes %5Cfrac%7Bk%7D%7Bk%7D

وبإختصار بسيط وإعادة الترتيب:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=3N_%7BA%7Dk%5Cl eft&space;%28&space;%5Cfrac%7B%5Chbar&space;%5Comega_ %7BE%7D&space;%7D%7BkT%7D&space;%5Cright&space;%29%5E %7B2%7D&space;%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Chbar&space;%5 Comega_%7BE%7D&space;/kT%7D%7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7B%5Chba r&space;%5Comega_%7BE%7D&space;/kT%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D

وباستخدام إختصار آخر بوضع:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Chbar&space;%5Comega_%7BE%7D= k&space;%5Ctheta&space;_%7BE%7D

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta&space;_%7BE%7D=%5Chbar &space;%5Comega_%7BE%7D/k

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Ctheta&space;_%7BE%7D تُعرف بـ "حرارة أينشتاين (the Einstein temperature)"، إذاً نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%7B%5Ccolor%7Bre d%7D&space;C_%7BV%7D=3R%5Cleft&space;%28&space;%5Cfra c%7B%5Ctheta&space;_%7BE%7D&space;%7D%7BT%7D&space;%5 Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cfrac%7Be%5E %7B%5Ctheta&space;_%7BE%7D/T%7D%7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7B%5Cthet a&space;_%7BE%7D/T%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D%7D%5Cri ghtarrow&space;%288%29

فلو رسمنا العلاقة بين الحرارة النوعية ودرجة الحرارة سنحصل على الشكل رقم (1) السابق، والذي يدل على أن النظرية الآن تتفق والنتائج العملية، على الأقل كيفياً، خلال المدى الكامل لدرجات الحرارة !

ونُلاحظ خصوصاً أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D%5Crightarrow&space;0 عندما http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5Crightarrow&space;0%5E%7B%5C circ&space;%7DK ، وهذه خاصية هامة للمعادلة (8) كانت مفقودة في الحالة الكلاسيكية !

دعونا الآن نختبر سلوك الحرارة النوعية كما هو مُعطى بالمعادلة (8) عند الحدود القصوى لدرجات الحرارة.
عند درجات الحرارة العالية، ، حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5Cgg&space;%5Ctheta_%7BE%7D ، نستطيع أن نستخدم مفكوك الدالة الأُسية http://latex.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B%5Ctheta&space;_%7BE%7D/T%7D والإحتفاظ فقط بالحدود الكبيرة من السلسلة، لنجد أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D%5Csimeq3R وهي النتيجة التي كررناها كثيراً.

أما عند درجات الحرارة المنخفضة، حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5Cll&space;%5Ctheta_%7BE%7D ، ستصبح الدالة الأسية http://latex.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B%5Ctheta&space;_%7BE%7D/T%7D أكبر بكثير من الوحدة وبالتالي نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=3R%5Cleft&space;%28&space;% 5Cfrac%7B%5Ctheta&space;_%7BE%7D&space;%7D%7BT% 7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;%5Cfrac%7 Be%5E%7B%5Ctheta&space;_%7BE%7D/T%7D%7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7B%5Cthet a&space;_%7BE%7D/T%7D-1&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D%5Csimeq &space;3R%5Cleft&space;%28&space;%5Cfrac%7B%5Ctheta&space;_ %7BE%7D&space;%7D%7BT%7D&space;%5Cright&space;%29%5E% 7B2%7D&space;%5Cfrac%7Be%5E%7B%5Ctheta&space;_% 7BE%7D/T%7D%7D%7B%5Cleft&space;%28e%5E%7B%5Cthet a&space;_%7BE%7D/T%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D%7D

أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge&space;%7B%5Ccolor%7Bre d%7D&space;C_%7BV%7D%5Csimeq&space;3R%5Cleft&space;%2 8&space;%5Cfrac%7B%5Ctheta&space;_%7BE%7D&space;%7D%7 BT%7D&space;%5Cright&space;%29%5E%7B2%7D&space;e%5E%7 B-%5Ctheta&space;_%7BE%7D/T%7D%5Csimeq&space;B%28T%29e%5E%7B-%5Ctheta&space;_%7BE%7D/T%7D%7D%5Crightarrow&space;%289%29

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?B%28T%29 هي دالة حساسة نسبياً لدرجة الحرارة. وبسبب الإعتماد الأُسي http://latex.codecogs.com/gif.latex?e%5E%7B-%5Ctheta&space;_%7BE%7D/T%7D ، نجد أن الحرارة النوعية تقترب من الصفر سريعاً جداً وتتلاشى عن الصفر المطلق !

وعلى الرغم من حقيقة أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D%5Crightarrow&space;0 عندما http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5Crightarrow&space;0%5E%7B%5C circ%7DK تتفق مع التجربة، إلا أن طابع هذا السلوك ليس كذلك !

فالمعادلة السابقة (9) تدل على أن الحرارة النوعية http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D تقترب من الصفر أُسياً، بينما تدل التجربة على أنها بالإقتراب من الصفر تناسباً مع الأس الثالث لدرجة الحرارة المطلقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?T%5E%7B3%7D !

فالتناقص المُشتق بواسطة المعادلة (9) يُعد أسرع بكثير من الحاصل أثناء التجربة، وهذه هي نقطة الضعف الأساسية في نموذج أينشتاين !

والآن يمكن تلخيص نموذج أينشتاين على النحو التالي:

1 – عند درجات الحرارة العالية، يكون المتذبذب التوافقي مُثار تماماً، فيكتسب طاقة متوسطة مساوية لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?kT ، والتي تؤدي لحرارة نوعية مولية مساوية، تقريباً، للمقدار http://latex.codecogs.com/gif.latex?3R .

2 – عند درجات الحرارة المنخفضة، يكون المتذبذب غير مُثار بالمرة، وبالتالي تتلاشى حرارته النوعية ( http://latex.codecogs.com/gif.latex?C_%7BV%7D=0 )، وبمعنى آخر، "يتجمد" المتذبذب في حالته الأرضية ! هذا "التجمد" هو أيضاً المسؤول عن عدم مساهمة الأنماط الإهتزازية للجزيئات ثنائية الذرية في الحرارة النوعية، إلا عند درجات الحرارة المرتفعة !

وعموماً، حقق نموذج أينشتاين نجاحاً رائعاً، حيث أن نتائجه تتفق تماماً مع التجربة في مدى كبير من درجات الحرارة، ومع ذلك فشل هذا النموذج عند درجات الحرارة المنخفضة، فعندها يتنبأ للحرارة النوعية بقيمة أصغر بكثير من تلك المُقاسة عملياً !

أُزيل هذا التعارض بواسطة نموذج "ديباي"، الذي سندرجه لاحقاً إن شاء الله ...

فإلى ذلك الحين ... أترككم في حفظ الله ورعايته

http://www.monsterup.com/upload/1222637946.gif

الجزء الثاني

الحرارة النوعية ونموذجي أينشتاين وديباي ... ج (2) !!!

على الرابط التالي

قبل الدخول ... صلِّ على حبيبك المصطفى (صلى الله عليه وسلم) وعلى آله وصحبه أجمعين (http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?25704-%282%29-%21%21%21)

http://www.monsterup.com/upload/1222637946.gif

وآخر دعوانا أن الحمد لله رب العالمين
وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً
لا تنسونا من صالح دعائكم

شعاع الفيزيا

07-22-2010, 08:13 AM

السلام عليكم شكرا لك اخي الفاضل على المعلومات الاكثر من مهمه
وبعضها بمثابة استذكار للمعلومات التي على وشك ان تكون في سلة المهملات لدي
لكن االاغلب من هذه المعلومات جديده عليه فجزاك الله كل خير وجعل ماتكتبه اناملك ذخرا لك يوم القيامه
وصلي على حبيبك محمد ابو القاسم

محمد عريف

07-22-2010, 09:47 AM

ايه يا عم رجب الحلاوة دي

بجد موضوع رائع ... وتحليلات ممتازة اخي

ولكن أري أنه كان من الأفضل أن تضع هذا الموضوع علي حلقات

حيث أن به الكثير من المعادلات المعقدة بعض الشئ .... والتي جعلت الموضوع يهرب مني قرب نهايته

مع وافر احترامي وتقديري

murad abuamr

07-22-2010, 09:49 AM

جزاك الله تعالى كل خير حبيبنا الغالي رجب على هذا هذا المقال الرائع المفيد جداً جداً .

توضيح مبسط وشامل وطريقة عرض ممتعة ومتقنة ، فأحسنت أخي غاية الإحسان .

رجب مصطفى

07-22-2010, 02:54 PM

شكراً للأخوة والأخوات على مروركم العطر ... وهذا شرفٌ لي ووسام على صدري

وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً

محمد ابوزيد

07-22-2010, 03:33 PM

رجب مصطفى

07-22-2010, 05:43 PM

اخى الكريم رجب بعيدا عن الحديث عن السرقة وهو موضوع لا نرضاه لك او لاى احد
اين المصدر الذى اخذت منه الموضوع حتى وان كنت فهمت ونسقت فانت قد اخذت بتصرف
فارجو كتابة المصدر سواء كان ورقيا ام الكترونيا
اخوكم / محمد ابوزيد

لاحظ أستاذي الفاضل / أبو آية ... أنني لم أنتهي من الموضوع بعد

أُزيل هذا التعارض بواسطة نموذج "ديباي"، الذي سندرجه لاحقاً إن شاء الله ...فالمصدر أو المصادر غالباً ما توضع في نهاية المقالات، كما فعلت في الموضوع التالي:

http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?t=25538

Introductory Quantum Mechanics - Liboff
Quantum Mechanics Concepts and Applications - 1st Ed. - Nouredine Zettili
Quantum Mechanics - (UCSD Physics 130)
Elementary Solid State Physics - M. Ali Omar
Perturbation theory (quantum mechanics) - From Wikipedia, the free encyclopedia

ملحوظة ... المصدر الأول هو الأساس في الشرح، أما ما يليه فهو لتجميع أكبر قدر من المعلومات عن التعريف الفيزيائي لنظرية الإضطراب كما إقترح د / رشوان، وطبعاً ... بالإضافة لبعضٍ من أفكاري الخاصة !!!
فما رأيك أستاذنا الغالي ؟!!

وكما لو كنت حاسس إن هذا سيحدث، وكنت سأدرج المصدر ولكني نسيت وقدر الله وما شاء فعل !!!

وها هو المصدر

Elementary Solid State Physics - M. Ali Omar

http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=1061

وهو أحد الكتب عندي وهذه بياناته

Elementary Solid State Physics - M. Ali Omar (http://www.amazon.com/Elementary-Solid-State-Physics-Applications/dp/0201607336)

طبعة 1975، وليس الطبعة المنقحة المُبينة في الرابط أعلاه !

والأروع في هذا الكتاب أن مؤلفه مسلم وهو الدكتور / علي عمر، ويُفتتح الكتاب بزخرفه جميله لـ (بسم الله الرحمن الرحيم)، والكتاب من أفضل الكتب في فيزياء الحالة الصلبة التي اطلعت عليها، ولقد اشتريته بثمن بخس من أحد الباعة كان أمام كليتي وذلك منذ سنوات، ولم أدرك أهميته إلا مؤخراً.

في أمان الله

محمد ابوزيد

07-22-2010, 05:49 PM

اشكرك اخى رجب
انا ايضا بحثت اول ما بحثت عن نهاية الموضوع وربما قرات ما يوحى بذلك

عموما بارك الله فيك وفيما تقدمه من علم نافع للامه الاسلامية

وهى فى نظرى تحتاج الى طرق عرض اكثر وافضل من مجرد كتابتها بمنتدى

وهو ليس تقليل من المنتدى ولكن اقتراح للدكتور حازم سكيك

ان تكون اعمالك واعمال اخى الصادق تدرس بالاكاديمية التى انشأها

حتى وان كانت مجانية فانها ستكون افضل وسيكون المشاركين بها من المهتمين

الذين يعرفون قيمتها

وفقك الله ورعاك

اخوكم / محمد ابوزيد

محمد ابوزيد

07-22-2010, 05:51 PM

وبالطبع كل من يحب ان يشارك باعماله من المتخصصين

مثل اخى مراد او اخى رشوان

و-----------------------------------------------------------------------------------------

----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ولا اريد ان اكتب اسما وانسى اخر
اخوكم / محمد ابوزيد

محبة الرسول

07-22-2010, 06:45 PM

محمد عريف

07-22-2010, 09:48 PM

رجب مصطفى

07-23-2010, 02:20 AM

جزاك الله كل خير وبارك الله فيك....

شرح اكثر من رائع.....الله يعطيك الف عافية....

أسال الله ان ينفع بك امة الاسلام....وان يجعل جهودك حجة لك يوم القيامة...

في ميزان حسناتك...

صل على حبيبك المصطفى...

بارك الله فيك أختنا الفاضلة ... وشكراً جزيلاً على كلامتك الجميلة ...

ولكِ المثل ...

وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً

رجب مصطفى

07-23-2010, 02:22 AM

اتذكر هذا الكتاب جيداً يارجب

فعلاً رأيته معك في الكلية ذات يوم ..... وكثيراً ما كنت تري مثل تلك الكتب

وصراحة أقولها لك ... يمكن لم أقولها لك من ذي قبل ... رزقك واسع جداً بالنسبة لكتب الفيزياء

بسم الله ماشاء الله ولا حول ولا قوة إلا بالله ....

فكم من مرات كنت ابحث ... وأبحث ... وأجول القاهرة بحثاً عن كتب .... فلا أجد ما يروي عطشي لها.

ولكن جربت مرة أن أسير معك ... هل تتذكر ... بعد انتهاء امتحانات البكالوريوس

هل تتذكر أين ... سور الأزبكية ... وقد كانت المفاجأة ....!!!!!!

عثرت علي مجموعة قيمة من الكتب الفيزيائية والرياضية ... ليدلل ذلك علي مقولتي السابقة

مع وافر احترامي وتقديري

يا أخي بارك الله فيك ...

ودلوقتي مش محتاج تمشي وتدوخ نفسك ...

أصبحت المكتبة كلها عند أطراف أصابعك ...

مع وافر ...

وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً

الموحدة لله

07-23-2010, 02:39 AM

رجب مصطفى

07-23-2010, 02:45 AM

ما شاء الله طرح لا اقول رائع بل اكثر من رائع واكثر من ممتاز ولم اري مثله قط ...

وهذا الموضوع كان ضمن مقرر الجوامد الذي درسته هذا العام ولو تقدم هذا الموضوع قليلا اكيد كان حيرفق معايا كتير ...ولكن قدر الله وما شاء فعل ...
جزاك الله خيرا علي ما تقدمه لنا وجعله الله في ميزان حسناتك يوم القيامة ...

أعلم هذا والله ... لذا قلت ...

فهذا موضوع كنتُ قد وعدت بإدراجه منذ فترة طويلة، ولكن لم أستطع إلا الآن، وقدّر الله وما شاء فعل !

والله ولي التوفيق ...

الصادق

07-23-2010, 10:14 PM

اشكرك اخي العزيز الغالي رجب على طرحك الرائع جداً واسلوبك الممتع
بارك الله فيك وجزاك كل خير وزادك علماً و حكمة

رجب مصطفى

07-24-2010, 02:47 AM

اشكرك اخي العزيز الغالي رجب على طرحك الرائع جداً واسلوبك الممتع
بارك الله فيك وجزاك كل خير وزادك علماً و حكمة

أخي وأستاذي الفاضل الغالي / الصادق ...

بارك الله فيك وجزاك كل خير وزادك علماً وحكمة

فنحن نتعلم منكم ...

والله وليُ التوفيق ...

bbbb99

07-25-2010, 01:19 PM

بصراحه موضوووووع اكثر من رائع

افوجادرو

09-01-2010, 10:49 PM

مشكور علي الموضوع الجميل يا أخ رجب ولكن لو تبين او تشرح المعادلات اكثر ولك كل احترامي وتقديري

رجب مصطفى

09-02-2010, 06:33 AM

بصراحه موضوووووع اكثر من رائع

مشكور علي الموضوع الجميل يا أخ رجب ولكن لو تبين او تشرح المعادلات اكثر ولك كل احترامي وتقديري

بارك الله في الأخوة الأفاضل ...

وصلِّ اللهم وبارك على نبي الرحمة سيد ولد أدم أبى القاسم "محمد بن عبد الله" وعلى آله الطيبين الطاهرين وعلى أصحابه الغر الميامين أجمعين وسلم تسليماً كثيراً

khaled 442

12-15-2010, 07:30 PM

شكرا لك دكتور

وجزاك الله خيرا

هدير القيسي

12-25-2010, 01:17 AM

شكرااااا عالموضوع الجمل وكولش استفاديت منه

زوينة الناشرى

04-29-2011, 10:12 AM

الى الاستاذ الفاضل /رجب مصطفى لكم منى جزيل الشكر والدعاء لك بالتوفيق الدائم وسهل الله لك كل امورك فى الدنيا والاخرة .
حيث ان لى منكم استفادة اخرى فى فيزياء الموائع التى عرضتها بشكل مكتمل فكل اشكر لسيادتكم .

nour khelef

03-03-2012, 10:03 AM

مشكوووووووووور اخي بارك الله فيك

عبدالله الشرعبي

06-02-2014, 07:13 PM

عبدالله الشرعبي

06-02-2014, 07:15 PM

شكرا جزيلا لك على هذا الموضوع الجيد