murad abuamr
07-07-2010, 02:20 AM
بسم الله الرحمن الرحيم
الحمد لله تعالى وحده لا شريك له ولا ندَّ له ، والصلاة والسلام على من بحبِّه لله لا مثيل له ولا نظير له .
إنّ الهدف الأساسي الذي أنشده من خلال هذه السلسلة هو أن أبيِّن بعض المعالم الأساسية في ميكانيكا الكم ، والتي يصعب أن نجد شرحاً لها بهذه الطريقة .
وليس الهدف أن نعيد شرح هذه المواد كما في المناهج والكتب التي تركز على الجانب الرياضي من هذا العلم ، فيخرج الطالب المتميز في الفيزياء بعدها خبيراً في الرياضيات ، ولكن لا علم له من قريب أو بعيد بالمعاني الفيزيائية المتضمنة لها ، والتي هي أهم من الجانب الرياضي .
وفي هذه الحلقة سنسلط الضوء على معادلة شرودنغر الموجية دون تفاصيل رياضية طويلة أو قصيرة ، ولكن لنتعلم ماهيتها ومن أين جاءت ، والمعاني الرياضية والفيزيائية المرافقة لها ، ولنعرف ما هي التناقضات الفلسفية بينها وبين نتائجها من جهة ، وبين الفيزياء الكلاسيكية والمبادئ الحتمية من جهة أخرى ، ومن هنا نبدأ بحول الله :
تعريف عام بمعادلة شرودنغر الموجية
إنّ معادلة شرودنغر الموجية هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، وهذه المعادلة هي المكافئ الموجي الكوانتي لمبدأ حفظ الطاقة في الفيزياء الكلاسيكية ، وتكتب هذه المعادلة على الصورة التالية :
ĤΨ = EΨ
حيثّ أنّ Ĥ يسمى بالهاملتونيان من الناحية الفيزيائية ، وهو المؤثر التفاضلي للطاقة ، ويطلق عليه رياضياً اسم Eigen vector .
أما E فهي طاقة النظام من الناحية الفيزيائية وهي مقدار ثابت ، وتسمى رياضياً بالقيمة المميزة Eigen value .
بالنسبة للمصطلح Eigen value فهو مركب من كلمتين ، الأولى Eigen وهي كلمة ألمانية معناها مميز أو صحيح ، والكلمة الثانية وهي value ، ومعناها قيمة .
والهاملتونيان مكون من مجموع حدين : الأول هو حد تفاضلي من الدرجة الثانية والذي يمثل الطاقة الحركية ، أما الحد الثاني فهو طاقة الوضع ، وليس حداً تفاضلياً ، وهو الذي باختلافه يختلف حل معادلة شرودنغر ، وهو الذي يحدد مدى تعقيد الحل أو بساطته .
إنّ حل معادلة شرودنغر يعطي دالّة أو اقتراناً يمثِّل معادلة الموجة ويرمز له بالرمز Ψ ، والمعلومة التي يقدمها هذا الاقتران الناتج عن حل هذه المعادلة هي سعة الموجة .
ومع أنّ البعض يرى أنّه لا يوجدٌ معنى فيزيائياً وراء Ψ بحد ذاتها ، إلا أنّ هذا الكلام قد لا يكون صحيحاً ، فلو قالوا أنه لا توجد أهمية مباشرة ل Ψ لكان قولُهم أصح ، وهي أيضاً غيرُ قابلة للقياس ، أي أنها كمية نظرية بحتة ، وهذا على خلاف الدالة الموجية الكلاسيكية ، والتي يمكن قياسها مباشرةً .
وقد جاءت معادلة شرودنغر من خلال تفاضل معادلة الموجة الجيبية الكلاسيكية المعلومة سلفاً وهي :
Ψ = A Sin (κ x - φ) , Equation of Sine wave
حيثُ أنّ κ هو العدد الموجي ، وهو عبارة عن عدد الأمواج في مسافة مقدارها وحدة واحدة ، لكن يبدو من خلال تعريفه الرياضي أنّ مقدار هذه الوحدة يساوي 2π ، وبالمعادلات :
κ = 2 π/λ
و φ هو ثابت الطور ، وهو ثابت تفاضلي اختياري لا يظهر في معادلة شرودنغر .
أما A فهو ثابت اختياري أيضاً لا يظهر في المعادلة التفاضلية ، ويمثل أقصى سعة للموجة .
والحالة الموجية الثابتة التي على هذه الصورة ، والتي هي الموجة الجيبية ، هي حالة خاصة ، حيثُ تكون طاقة الحركة وطاقة الوضع للموجة ثابتتين كل منهما على حدىً ، لذلك فإنّ العدد الموجي لهذه الموجة سيكون ثابتاً ، وسيعطي هذا طولاً موجياً ثابتا دائماً .
وهذه الموجة تمثل حالة موجيةً ثابتة كما أسلفنا ، وتعميم المعادلة التفاضلية الناتجة عنها ، لتشمل جميع الحالات الموجية – وليس فقط الموجات الجيبية – أنتج لنا ما يُعرف بمعادلة شرودنغر .
وللمعلومة فإنّ أيّ اقتران رياضي يعطي معادلة تفاضلية واحدة له ، والأمر ليس عشوائياً أو اختيارياً .
المعنى الرياضي لمعادلة شرودنغر
يعلم أيُّ شخص يعرف مبادئ التفاضل وخواص الاقترانات الرياضية أنّ المشتقة الثانية لأيِّ اقترانٍ رياضي تكشف عن تقعر ذلك الاقتران ، فإذا كانت المشتقة الثانية موجبة ، فإنّ الاقتران سيكون مقعراً لأعلى ، أما إن كانت سالبة ، فإنّ الاقتران سيكون مقعراً لأسفل .
لكن عند النقطة التي تكون المشتقة الثانية تساوي الصفر ، فإنّ هذه النقطة تكون نقطة انعطاف ، وهي النقطة التي يتحول بعدها الاقتران مباشرةً من مقعر لأعلى إلى مقعر لأسفل ، ولكن في تلك النقطة بالتحديد فإنّ الاقتران يكون في حالة حيادية من ناحية التقعر ، لذلك فإنّ المماس عند تلك النقطة سيكون قاطعاً بلا شك .
ننوه إلى أنّه يمكن كتابة معادلة شرودنغر على هذه الصورة :
Ψ" = - 2m/ħ^2 TΨ
حيثّ أنّ T هي الطاقة الحركية ، والتي هي (E – V) .
ومن خلال هذه الصورة الأخيرة ، فإنّ المشتقّة الثانية ل Ψ تتناسب مع سالب الطاقة الحركية ومع Ψ أيضاً .
إنّ هذا يعني أنّ التقعُّر يجب أن يكون دائماً باتجاه محور السينات ، ولكن لماذا ؟
ذلك أنّ الطاقة الحركية موجبة ، وبوجود إشارة السالب ، إن كانت Ψ موجبة (أي أنها فوق محور السينات) فإنّها يجب أن تكون مقعرة للأسفل ، أي باتجاه المحور ، لأنّ المشتقّة الثانية ل Ψ ستكون سالبة .
أما إن كانت Ψ سالبة (تقع تحت محور السينات) فإنّ المشتقّة الثانية ل Ψ ستكون موجبة ، و سيكون الاقتران مقعراً للأعلى (أي باتجاه محور السينات أيضاً) .
لذلك نجد دائماً أنّ التقعر في الموجات يكون باتجاه المحور كما يبين الشكل :
http://www.rofof.com/img5/7lothc6.gif (http://www.rofof.com)
يظهر من هذا أن Ψ لا يمكن أن تدير ظهرها لمحور السينات ضمن هذه الفترة والتي هي فترة كلاسيكية .
لكن متى تساوي المشتقّة الثانية ل Ψ الصفر ؟
بالطبع فإنّ "Ψ ستساوي الصفر لأيّ نقطة انعطاف كما ذكرنا سابقاً ، ولا يحدثُ هذا إلا أن تكون Ψ ذاتها مساوية للصفر ، أو أنّ الطاقة الحركية تساوي الصفر ، ويبدو هذا واضحاّ من خلال المعادلة الأخيرة .
أما Ψ فتساوي الصفر عندما تتقاطع هذه الدالة مع محور السينات ، والشكل الأخير يوضح هذه الفكرة جيداً ، ويمكن الملاحظة أنه عند أي نقطة التقاء بين Ψ ومحور السينات فإنّ هذه النقطة دائماً هي نقطة انعطاف ، ويتضمن هذا أنّ سعة الموجة تساوي الصفر في تلك المنطقة .
أبرز المشكلات الفلسفية في معادلة شرودنغر من وجهة النظر الحتمية
من الوهلة الأولى فوجود معادلة حفظ الطاقة على هيئة معادلة تفاضلية ، بدلاً من دالة رياضية متصلة رياضياً ، سيسبب مشاكل نظرية كبيرة .
وذلك أنّ حل هذه المعادلة التفاضلية سيحتمُ وضع شروط محددة ليكون الحل صحيحاً ، لذلك كان علينا أن نشترط أنّ الطاقة لا بدّ أن تأخذ قيماً منفصلة (مكماة) .
بينما في الميكانيكا الكلاسيكية ، فإنّ الطاقة كمية متصلة ، ولا يجوز أن تأخذ قيماً محددة ، ولا وجود لقيم للطاقة غير مسموح بها .
هذه المشكلة بدت معالمها من الوهلة الأولى كما ذكرت ، وقبل حل المعادلة ، لكن هنالك مشاكل ستظهر بعد حلها أيضاً .
والمشكلة الثانية أنّ الدالة الموجية تتقاطع مع محور السينات أحياناُ عند نقاط الانعطاف كما ذكرنا ، وهذا التقاطع سيجعل سعة الموجة عند تلك النقاط مساويةُ للصفر ، مما يعني عدم وجود الجسيم الذي تمثله تلك الدالة في تلكم الأمكنة ، بينما يتواجد حولها ، بل ويعبر من تلك المنطقة التي يمكن وجوده فيها إلى المنطقة الأخرى التي يمكن أن يوجد فيها أيضاً ، مارّاً في المنطقة التي بينهما دون أن يتواجد فيها .
والمشكلة الثالثة هي وجود الدّالة في أما كن مختلفة في ذات الوقت ، ولأنّ وجود الدالة يعني وجود الموجة ، وهذه الموجة قد تكون إلكتروناً مثلاً أو غيره ، فهذا يعني أنّ الإلكترون يجب أن يكون موجوداً في عدة أماكن في وقت واحد ، وهذا ما يتناقض مع الفطرة السليمة ، وبالتالي مع الفيزياء الكلاسيكية ، ومع الفلسفة الحتمية أيضاً .
لكن هذه المشاكل يمكن قبولها من الناحية الكلاسيكية ، وذلك بأخذ التفسير الموجي للمادة ، فلو قلنا من البداية أنّ الإلكترونات مثلاً هي أمواج ، لما سببت لنا هذه النتائج قلقاً كبيراً .
لكنّ مصيبةً كوانتيةً ما زالت مخبأةً بعد ، ولم تكشف عن نفسها للآن ، وهذه المصيبة الكوانتية تكمن في أنّ الدالة الموجية تعطي قيماً في منطقة محرمة كلاسيكياً ، فتتنبّأ بوجود الجسيمات الموجية في الفترة التي لا يمكن كلاسيكياً أن توجد فيها ، وذلك لأنّ طاقتها الحركية تكون قد استنزفت بفعل طاقة الوضع قبل وصولها لها ، أي أنها منطقة ذات طاقة حركية سالبة ، وهذا ما يتناقض بالفعل مع الفطرة السليمة ، ولا يمكن أن تقبل به الفيزياء الكلاسيكية تحت أي ظرف .
ويحدث هذا بسبب اختراق الدالة كما ذكرنا الحاجز الكلاسيكي عند النقطة التي تسمى نقطة الانقلاب الكلاسيكية ، وهي إحدى نقاط الانعطاف ، لأنّ الطاقة الحركية عندها تساوي الصفر ، وقد أوضحنا أنّ نقاط الانعطاف توجد عندما تكون الدالة صفراً أو أنّ الطاقة الحركية تساوي الصفر .
وبعد نقطة الانعطاف هذه يتحول الاقتران من مقعر لأسفل باتجاه المحور الأفقي ، إلى مقعر لأعلى ، وهذه هي الحالة الوحيدة التي فيها تدير الدالة ظهرها لمحور السينات كما يبين الشكل :
http://www.rofof.com/img5/7qiean6.gif (http://www.rofof.com)
في الشكل الأخير يمثل المستقيم الأخضر طاقة الوضع ، بينما يمثل محور السينات الطاقة الكلية ، وهي مقدار ثابت كما هو ملاحظ .
وعند الخط العمودي الذي يظهر في الشكل فإنّ الطاقة الحركية تساوي الصفر ، وتساوي طاقة الوضع الطاقة الكلية ، والفترة الداخلية تسمى بالفترة الكلاسيكية كما في الشكل :
http://www.rofof.com/img5/7tfnjy6.gif (http://www.rofof.com)
ويلاحظ كيف أنّ الدالة تنهار تماماً بعد هذا الخرق السافر للأعراف والقوانين التقليدية ، لكي تصل الصفر بعد فترة ضئيلة نسبياً ، حيثُ أنّ هذا الخرق لا يستمر طويلاً ، فعلى الرغم من أنّ الميكانيكا الكوانتية اعتادت على مخالفة الفيزياء الكلاسيكية ، إلا أنها أيضاً لا تفضل أن تتمادى كثيراً بذلك .
أود أن أطرح مثالاً لكي يتوضّح الأمر أكثر :
لو أنّنا قذفنا جسماً إلى أعلى بسرعة 10 م/ث ، فإنّ هذا الجسم سيصل إلى أقصى ارتفاع وهو 5 م على اعتبار تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ث^2 .
حسناً ، لو قذفنا 1000 جسم بنفس تلك السرعة من نفس المكان ، فلن تتغير النتيجة (أي أنّ النتيجة لن تتخلّف) .
ولو قذفنا 10^10 من الأجسام فلن تتغير النتيجة ، ولن يتمكن أي من هذه الأجسام أن يتعدى حاجز الخمسة أمتار ، ولن تكون هنالك فرصة لبعض هذه الأجسام من تعديها أو حتى عدم الوصول إليها ، فالنتيجة معلومة محددة سلفاً .
هذه النقطة التي لا يمكن للأجسام أن تتعداها تسمى بنقطة الانقلاب الكلاسيكية ، وهي النقطة التي تكون الطاقة عندها بالكامل على شكل طاقة وضع ، والطاقة الحركية عندها تساوي الصفر .
بطبيعة الحال يختلف تعريف هذه النقطة من نظام لآخر ، فقد لا تختفي الطاقة الحركية مطلقاً ، فمثلاً في نظام كالمجموعة الشمسية ، فإنّه توجد لكل كوكب نقطتي انعطاف هما الأوج والحضيض ، وعند هاتين النقطتين تكون السرعة القطرية مساوية للصفر ، أي أنّ الطاقة الحركية القطرية هي المساوية للصفر بينما الطاقة الحركية الزاوية ليست كذلك ، وتبقى موجودة .
لنرجع لمثالنا ، فحسب الميكانيكا الكوانتية هنالك احتمال واحد من ألف مثلاً أن تتجاوز بعض الأجسام المقذوفة بتلك السرعة حاجز الخمسة أمتار ، لذلك سيكون لدينا جسم واحد من الألف سيجتاز ذلك الحاجز .
وسيكون لدينا 10^7 من 10^10 سيجتاز ذلك الحاجز ، وهذا كما ذكرت لكم لا يمكن أبداً قبوله ولا بأي تفسير كلاسيكي .
الأهمية الفيزيائية لحل معادلة شرودنغر
ذكرنا أنّ حل معادلة شرودنغر لأي نظام موجي يعطي صورة معادلة الموجة Ψ ، وأنّ هذه الدالة تمثل سعة الموجة عند موضع معين .
لكنّ الأهمية الفيزيائية من وراء Ψ لا تظهر إلا إذا وجدت Ψ مع مُرافقها الرياضي – ويرمز له بالرمز*Ψ – لكي نوجد العناصر الاحتمالية للموجة صاحبة هذه الدالة .
إنّ أهمية الدالة الموجية الكوانتية في أنّ مربعها المطلق يعطي كثافة الاحتمال (وليس الاحتمال) لوجود الجسيم عند أي نقطة .
فيُعطى الاحتمال من خلال العلاقة التالية :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Clarge&space;dP%28x %29=%5Cleft&space;%7C&space;%5CPsi&space;%28x%29&space;%5Cr ight&space;%7C%5E%7B2%7Ddx
حيث أنّ dP هو احتمال وجود الجسيم في فترة مقدارها dx ، ويمكن الحصول على احتمال وجود الجسيم ضمن أي فترة بإجراء التكامل على طرفي المعادلة الأخير بدلالة dx ، حيث أنّ احتمال وجود الجسيم ضمن الفترة المعرفة عليها الدالة كاملة يساوي واحد .
ويمكن الحصول على توقع أي كمية فيزيائية بوضعها بين الدالتين في المعادلة الأخيرة وإجراء التكامل على الفترة الصحيحة .
وهنا تبرز مشكلةٌ فلسفيةٌ عميقة أيضاً ، وهي أنّ هذه الدالة لا تعطي معلومات محددة لوجود للمادة ، ولكنها تعطي معلومات ذات طابع احتماليٍّ لوجودها ، وقد نوهنا أنّ الموجة تفترض وجود الجسيم الموجي على طول الفترة التي تتعرف عليها تلك الدالة ، ولا تقوم فلسفتها على تحديد موقع الجسيم في موضع ما ، وهذا كما سبق يمكن تعليله كلاسيكياً بوجود الخصائص الموجية للمادة .
لكن في الموجات الكلاسيكية فإنّ الاحتمالية تتمثل في Ψ فقط وليس في مربعها المطلق ، وهذا من الاختلاف بين الموجة الكلاسيكية والموجة الكوانتية .
الدالة الموجية لموجتين متراكبتين
أخيراً فإنّ الدوال الموجية قابلة للجمع ، فإنه يمكن جمع دالتين موجيتين مختلفتين لينتج لدينا دالة جديدة ناتجة عن مجموعهما ، وهذا يمكن عند تراكب موجتين معلومتي الدالتين ، والتراكب يعني اختلاط الموجات وتداخلها .
ولكن لا يجوز أن نجمع الاحتماليات معاً ، أي لا يجوز جمع مربعيهما مباشرة للحصول على الاحتمالية الناشئة عن تراكبهما ، ولكن نربع الدالة الجديدة تربيعاً مطلقاً .
وهنا ننتهي بفضل الله من الجزء الرابع من هذه السلسلة التي أسأل الله تعالى أن ينفع بها ، وانتظروا الجزء الخامس منها إن شاء الله.
هذا والله أعلم ، ولا تنسونا من صالح دعائكم .
الحمد لله تعالى وحده لا شريك له ولا ندَّ له ، والصلاة والسلام على من بحبِّه لله لا مثيل له ولا نظير له .
إنّ الهدف الأساسي الذي أنشده من خلال هذه السلسلة هو أن أبيِّن بعض المعالم الأساسية في ميكانيكا الكم ، والتي يصعب أن نجد شرحاً لها بهذه الطريقة .
وليس الهدف أن نعيد شرح هذه المواد كما في المناهج والكتب التي تركز على الجانب الرياضي من هذا العلم ، فيخرج الطالب المتميز في الفيزياء بعدها خبيراً في الرياضيات ، ولكن لا علم له من قريب أو بعيد بالمعاني الفيزيائية المتضمنة لها ، والتي هي أهم من الجانب الرياضي .
وفي هذه الحلقة سنسلط الضوء على معادلة شرودنغر الموجية دون تفاصيل رياضية طويلة أو قصيرة ، ولكن لنتعلم ماهيتها ومن أين جاءت ، والمعاني الرياضية والفيزيائية المرافقة لها ، ولنعرف ما هي التناقضات الفلسفية بينها وبين نتائجها من جهة ، وبين الفيزياء الكلاسيكية والمبادئ الحتمية من جهة أخرى ، ومن هنا نبدأ بحول الله :
تعريف عام بمعادلة شرودنغر الموجية
إنّ معادلة شرودنغر الموجية هي معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية ، وهذه المعادلة هي المكافئ الموجي الكوانتي لمبدأ حفظ الطاقة في الفيزياء الكلاسيكية ، وتكتب هذه المعادلة على الصورة التالية :
ĤΨ = EΨ
حيثّ أنّ Ĥ يسمى بالهاملتونيان من الناحية الفيزيائية ، وهو المؤثر التفاضلي للطاقة ، ويطلق عليه رياضياً اسم Eigen vector .
أما E فهي طاقة النظام من الناحية الفيزيائية وهي مقدار ثابت ، وتسمى رياضياً بالقيمة المميزة Eigen value .
بالنسبة للمصطلح Eigen value فهو مركب من كلمتين ، الأولى Eigen وهي كلمة ألمانية معناها مميز أو صحيح ، والكلمة الثانية وهي value ، ومعناها قيمة .
والهاملتونيان مكون من مجموع حدين : الأول هو حد تفاضلي من الدرجة الثانية والذي يمثل الطاقة الحركية ، أما الحد الثاني فهو طاقة الوضع ، وليس حداً تفاضلياً ، وهو الذي باختلافه يختلف حل معادلة شرودنغر ، وهو الذي يحدد مدى تعقيد الحل أو بساطته .
إنّ حل معادلة شرودنغر يعطي دالّة أو اقتراناً يمثِّل معادلة الموجة ويرمز له بالرمز Ψ ، والمعلومة التي يقدمها هذا الاقتران الناتج عن حل هذه المعادلة هي سعة الموجة .
ومع أنّ البعض يرى أنّه لا يوجدٌ معنى فيزيائياً وراء Ψ بحد ذاتها ، إلا أنّ هذا الكلام قد لا يكون صحيحاً ، فلو قالوا أنه لا توجد أهمية مباشرة ل Ψ لكان قولُهم أصح ، وهي أيضاً غيرُ قابلة للقياس ، أي أنها كمية نظرية بحتة ، وهذا على خلاف الدالة الموجية الكلاسيكية ، والتي يمكن قياسها مباشرةً .
وقد جاءت معادلة شرودنغر من خلال تفاضل معادلة الموجة الجيبية الكلاسيكية المعلومة سلفاً وهي :
Ψ = A Sin (κ x - φ) , Equation of Sine wave
حيثُ أنّ κ هو العدد الموجي ، وهو عبارة عن عدد الأمواج في مسافة مقدارها وحدة واحدة ، لكن يبدو من خلال تعريفه الرياضي أنّ مقدار هذه الوحدة يساوي 2π ، وبالمعادلات :
κ = 2 π/λ
و φ هو ثابت الطور ، وهو ثابت تفاضلي اختياري لا يظهر في معادلة شرودنغر .
أما A فهو ثابت اختياري أيضاً لا يظهر في المعادلة التفاضلية ، ويمثل أقصى سعة للموجة .
والحالة الموجية الثابتة التي على هذه الصورة ، والتي هي الموجة الجيبية ، هي حالة خاصة ، حيثُ تكون طاقة الحركة وطاقة الوضع للموجة ثابتتين كل منهما على حدىً ، لذلك فإنّ العدد الموجي لهذه الموجة سيكون ثابتاً ، وسيعطي هذا طولاً موجياً ثابتا دائماً .
وهذه الموجة تمثل حالة موجيةً ثابتة كما أسلفنا ، وتعميم المعادلة التفاضلية الناتجة عنها ، لتشمل جميع الحالات الموجية – وليس فقط الموجات الجيبية – أنتج لنا ما يُعرف بمعادلة شرودنغر .
وللمعلومة فإنّ أيّ اقتران رياضي يعطي معادلة تفاضلية واحدة له ، والأمر ليس عشوائياً أو اختيارياً .
المعنى الرياضي لمعادلة شرودنغر
يعلم أيُّ شخص يعرف مبادئ التفاضل وخواص الاقترانات الرياضية أنّ المشتقة الثانية لأيِّ اقترانٍ رياضي تكشف عن تقعر ذلك الاقتران ، فإذا كانت المشتقة الثانية موجبة ، فإنّ الاقتران سيكون مقعراً لأعلى ، أما إن كانت سالبة ، فإنّ الاقتران سيكون مقعراً لأسفل .
لكن عند النقطة التي تكون المشتقة الثانية تساوي الصفر ، فإنّ هذه النقطة تكون نقطة انعطاف ، وهي النقطة التي يتحول بعدها الاقتران مباشرةً من مقعر لأعلى إلى مقعر لأسفل ، ولكن في تلك النقطة بالتحديد فإنّ الاقتران يكون في حالة حيادية من ناحية التقعر ، لذلك فإنّ المماس عند تلك النقطة سيكون قاطعاً بلا شك .
ننوه إلى أنّه يمكن كتابة معادلة شرودنغر على هذه الصورة :
Ψ" = - 2m/ħ^2 TΨ
حيثّ أنّ T هي الطاقة الحركية ، والتي هي (E – V) .
ومن خلال هذه الصورة الأخيرة ، فإنّ المشتقّة الثانية ل Ψ تتناسب مع سالب الطاقة الحركية ومع Ψ أيضاً .
إنّ هذا يعني أنّ التقعُّر يجب أن يكون دائماً باتجاه محور السينات ، ولكن لماذا ؟
ذلك أنّ الطاقة الحركية موجبة ، وبوجود إشارة السالب ، إن كانت Ψ موجبة (أي أنها فوق محور السينات) فإنّها يجب أن تكون مقعرة للأسفل ، أي باتجاه المحور ، لأنّ المشتقّة الثانية ل Ψ ستكون سالبة .
أما إن كانت Ψ سالبة (تقع تحت محور السينات) فإنّ المشتقّة الثانية ل Ψ ستكون موجبة ، و سيكون الاقتران مقعراً للأعلى (أي باتجاه محور السينات أيضاً) .
لذلك نجد دائماً أنّ التقعر في الموجات يكون باتجاه المحور كما يبين الشكل :
http://www.rofof.com/img5/7lothc6.gif (http://www.rofof.com)
يظهر من هذا أن Ψ لا يمكن أن تدير ظهرها لمحور السينات ضمن هذه الفترة والتي هي فترة كلاسيكية .
لكن متى تساوي المشتقّة الثانية ل Ψ الصفر ؟
بالطبع فإنّ "Ψ ستساوي الصفر لأيّ نقطة انعطاف كما ذكرنا سابقاً ، ولا يحدثُ هذا إلا أن تكون Ψ ذاتها مساوية للصفر ، أو أنّ الطاقة الحركية تساوي الصفر ، ويبدو هذا واضحاّ من خلال المعادلة الأخيرة .
أما Ψ فتساوي الصفر عندما تتقاطع هذه الدالة مع محور السينات ، والشكل الأخير يوضح هذه الفكرة جيداً ، ويمكن الملاحظة أنه عند أي نقطة التقاء بين Ψ ومحور السينات فإنّ هذه النقطة دائماً هي نقطة انعطاف ، ويتضمن هذا أنّ سعة الموجة تساوي الصفر في تلك المنطقة .
أبرز المشكلات الفلسفية في معادلة شرودنغر من وجهة النظر الحتمية
من الوهلة الأولى فوجود معادلة حفظ الطاقة على هيئة معادلة تفاضلية ، بدلاً من دالة رياضية متصلة رياضياً ، سيسبب مشاكل نظرية كبيرة .
وذلك أنّ حل هذه المعادلة التفاضلية سيحتمُ وضع شروط محددة ليكون الحل صحيحاً ، لذلك كان علينا أن نشترط أنّ الطاقة لا بدّ أن تأخذ قيماً منفصلة (مكماة) .
بينما في الميكانيكا الكلاسيكية ، فإنّ الطاقة كمية متصلة ، ولا يجوز أن تأخذ قيماً محددة ، ولا وجود لقيم للطاقة غير مسموح بها .
هذه المشكلة بدت معالمها من الوهلة الأولى كما ذكرت ، وقبل حل المعادلة ، لكن هنالك مشاكل ستظهر بعد حلها أيضاً .
والمشكلة الثانية أنّ الدالة الموجية تتقاطع مع محور السينات أحياناُ عند نقاط الانعطاف كما ذكرنا ، وهذا التقاطع سيجعل سعة الموجة عند تلك النقاط مساويةُ للصفر ، مما يعني عدم وجود الجسيم الذي تمثله تلك الدالة في تلكم الأمكنة ، بينما يتواجد حولها ، بل ويعبر من تلك المنطقة التي يمكن وجوده فيها إلى المنطقة الأخرى التي يمكن أن يوجد فيها أيضاً ، مارّاً في المنطقة التي بينهما دون أن يتواجد فيها .
والمشكلة الثالثة هي وجود الدّالة في أما كن مختلفة في ذات الوقت ، ولأنّ وجود الدالة يعني وجود الموجة ، وهذه الموجة قد تكون إلكتروناً مثلاً أو غيره ، فهذا يعني أنّ الإلكترون يجب أن يكون موجوداً في عدة أماكن في وقت واحد ، وهذا ما يتناقض مع الفطرة السليمة ، وبالتالي مع الفيزياء الكلاسيكية ، ومع الفلسفة الحتمية أيضاً .
لكن هذه المشاكل يمكن قبولها من الناحية الكلاسيكية ، وذلك بأخذ التفسير الموجي للمادة ، فلو قلنا من البداية أنّ الإلكترونات مثلاً هي أمواج ، لما سببت لنا هذه النتائج قلقاً كبيراً .
لكنّ مصيبةً كوانتيةً ما زالت مخبأةً بعد ، ولم تكشف عن نفسها للآن ، وهذه المصيبة الكوانتية تكمن في أنّ الدالة الموجية تعطي قيماً في منطقة محرمة كلاسيكياً ، فتتنبّأ بوجود الجسيمات الموجية في الفترة التي لا يمكن كلاسيكياً أن توجد فيها ، وذلك لأنّ طاقتها الحركية تكون قد استنزفت بفعل طاقة الوضع قبل وصولها لها ، أي أنها منطقة ذات طاقة حركية سالبة ، وهذا ما يتناقض بالفعل مع الفطرة السليمة ، ولا يمكن أن تقبل به الفيزياء الكلاسيكية تحت أي ظرف .
ويحدث هذا بسبب اختراق الدالة كما ذكرنا الحاجز الكلاسيكي عند النقطة التي تسمى نقطة الانقلاب الكلاسيكية ، وهي إحدى نقاط الانعطاف ، لأنّ الطاقة الحركية عندها تساوي الصفر ، وقد أوضحنا أنّ نقاط الانعطاف توجد عندما تكون الدالة صفراً أو أنّ الطاقة الحركية تساوي الصفر .
وبعد نقطة الانعطاف هذه يتحول الاقتران من مقعر لأسفل باتجاه المحور الأفقي ، إلى مقعر لأعلى ، وهذه هي الحالة الوحيدة التي فيها تدير الدالة ظهرها لمحور السينات كما يبين الشكل :
http://www.rofof.com/img5/7qiean6.gif (http://www.rofof.com)
في الشكل الأخير يمثل المستقيم الأخضر طاقة الوضع ، بينما يمثل محور السينات الطاقة الكلية ، وهي مقدار ثابت كما هو ملاحظ .
وعند الخط العمودي الذي يظهر في الشكل فإنّ الطاقة الحركية تساوي الصفر ، وتساوي طاقة الوضع الطاقة الكلية ، والفترة الداخلية تسمى بالفترة الكلاسيكية كما في الشكل :
http://www.rofof.com/img5/7tfnjy6.gif (http://www.rofof.com)
ويلاحظ كيف أنّ الدالة تنهار تماماً بعد هذا الخرق السافر للأعراف والقوانين التقليدية ، لكي تصل الصفر بعد فترة ضئيلة نسبياً ، حيثُ أنّ هذا الخرق لا يستمر طويلاً ، فعلى الرغم من أنّ الميكانيكا الكوانتية اعتادت على مخالفة الفيزياء الكلاسيكية ، إلا أنها أيضاً لا تفضل أن تتمادى كثيراً بذلك .
أود أن أطرح مثالاً لكي يتوضّح الأمر أكثر :
لو أنّنا قذفنا جسماً إلى أعلى بسرعة 10 م/ث ، فإنّ هذا الجسم سيصل إلى أقصى ارتفاع وهو 5 م على اعتبار تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ث^2 .
حسناً ، لو قذفنا 1000 جسم بنفس تلك السرعة من نفس المكان ، فلن تتغير النتيجة (أي أنّ النتيجة لن تتخلّف) .
ولو قذفنا 10^10 من الأجسام فلن تتغير النتيجة ، ولن يتمكن أي من هذه الأجسام أن يتعدى حاجز الخمسة أمتار ، ولن تكون هنالك فرصة لبعض هذه الأجسام من تعديها أو حتى عدم الوصول إليها ، فالنتيجة معلومة محددة سلفاً .
هذه النقطة التي لا يمكن للأجسام أن تتعداها تسمى بنقطة الانقلاب الكلاسيكية ، وهي النقطة التي تكون الطاقة عندها بالكامل على شكل طاقة وضع ، والطاقة الحركية عندها تساوي الصفر .
بطبيعة الحال يختلف تعريف هذه النقطة من نظام لآخر ، فقد لا تختفي الطاقة الحركية مطلقاً ، فمثلاً في نظام كالمجموعة الشمسية ، فإنّه توجد لكل كوكب نقطتي انعطاف هما الأوج والحضيض ، وعند هاتين النقطتين تكون السرعة القطرية مساوية للصفر ، أي أنّ الطاقة الحركية القطرية هي المساوية للصفر بينما الطاقة الحركية الزاوية ليست كذلك ، وتبقى موجودة .
لنرجع لمثالنا ، فحسب الميكانيكا الكوانتية هنالك احتمال واحد من ألف مثلاً أن تتجاوز بعض الأجسام المقذوفة بتلك السرعة حاجز الخمسة أمتار ، لذلك سيكون لدينا جسم واحد من الألف سيجتاز ذلك الحاجز .
وسيكون لدينا 10^7 من 10^10 سيجتاز ذلك الحاجز ، وهذا كما ذكرت لكم لا يمكن أبداً قبوله ولا بأي تفسير كلاسيكي .
الأهمية الفيزيائية لحل معادلة شرودنغر
ذكرنا أنّ حل معادلة شرودنغر لأي نظام موجي يعطي صورة معادلة الموجة Ψ ، وأنّ هذه الدالة تمثل سعة الموجة عند موضع معين .
لكنّ الأهمية الفيزيائية من وراء Ψ لا تظهر إلا إذا وجدت Ψ مع مُرافقها الرياضي – ويرمز له بالرمز*Ψ – لكي نوجد العناصر الاحتمالية للموجة صاحبة هذه الدالة .
إنّ أهمية الدالة الموجية الكوانتية في أنّ مربعها المطلق يعطي كثافة الاحتمال (وليس الاحتمال) لوجود الجسيم عند أي نقطة .
فيُعطى الاحتمال من خلال العلاقة التالية :
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi&space;%5Clarge&space;dP%28x %29=%5Cleft&space;%7C&space;%5CPsi&space;%28x%29&space;%5Cr ight&space;%7C%5E%7B2%7Ddx
حيث أنّ dP هو احتمال وجود الجسيم في فترة مقدارها dx ، ويمكن الحصول على احتمال وجود الجسيم ضمن أي فترة بإجراء التكامل على طرفي المعادلة الأخير بدلالة dx ، حيث أنّ احتمال وجود الجسيم ضمن الفترة المعرفة عليها الدالة كاملة يساوي واحد .
ويمكن الحصول على توقع أي كمية فيزيائية بوضعها بين الدالتين في المعادلة الأخيرة وإجراء التكامل على الفترة الصحيحة .
وهنا تبرز مشكلةٌ فلسفيةٌ عميقة أيضاً ، وهي أنّ هذه الدالة لا تعطي معلومات محددة لوجود للمادة ، ولكنها تعطي معلومات ذات طابع احتماليٍّ لوجودها ، وقد نوهنا أنّ الموجة تفترض وجود الجسيم الموجي على طول الفترة التي تتعرف عليها تلك الدالة ، ولا تقوم فلسفتها على تحديد موقع الجسيم في موضع ما ، وهذا كما سبق يمكن تعليله كلاسيكياً بوجود الخصائص الموجية للمادة .
لكن في الموجات الكلاسيكية فإنّ الاحتمالية تتمثل في Ψ فقط وليس في مربعها المطلق ، وهذا من الاختلاف بين الموجة الكلاسيكية والموجة الكوانتية .
الدالة الموجية لموجتين متراكبتين
أخيراً فإنّ الدوال الموجية قابلة للجمع ، فإنه يمكن جمع دالتين موجيتين مختلفتين لينتج لدينا دالة جديدة ناتجة عن مجموعهما ، وهذا يمكن عند تراكب موجتين معلومتي الدالتين ، والتراكب يعني اختلاط الموجات وتداخلها .
ولكن لا يجوز أن نجمع الاحتماليات معاً ، أي لا يجوز جمع مربعيهما مباشرة للحصول على الاحتمالية الناشئة عن تراكبهما ، ولكن نربع الدالة الجديدة تربيعاً مطلقاً .
وهنا ننتهي بفضل الله من الجزء الرابع من هذه السلسلة التي أسأل الله تعالى أن ينفع بها ، وانتظروا الجزء الخامس منها إن شاء الله.
هذا والله أعلم ، ولا تنسونا من صالح دعائكم .