اشتقاق قوانين كيبلر

[مروة إبراهيم]

http://i912.photobucket.com/albums/ac325/marwaibrahim/0148.gif

لاحظت وجود أكثر من سؤال في منتدى الفلكية عن: لماذا تدور الكواكب حول الشمس في مدارات إهليجية؟
وتكون الإجابة في الغالب، لأن قانون كيبلر الأول يقول هكذا!
فأحببت أن أشارككم باشتقاق لقوانين كيبلر

والمصدر الرئيسي هو كتاب:
Advanced Astrophysics, Neb Duric
ويمكن تحميله على هذا الرابط: http://hazemsakeek.com/up/download.php?id=897
بالإضافة إلى بعض الصفحات على الإنترنت سأشير إليها في مواضعها بإذن الله
:)

http://i912.photobucket.com/albums/ac325/marwaibrahim/3551_p126451.gif?t=1277925280

كما في العديد من مسائل الميكانيكا الكلاسيكية نبدأ باللجرانجيان





http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20L= T-V%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%5C;%20%5 C;%20%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;%20%28 1%29





حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20T هي طاقة الحركة وhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20V هي طاقة الوضع



ولنجعل m كتلة الكوكب و M كتلة الشمس حيث يكون للكواكب كتلة أقل بكثير من كتلة الشمس (M>>m) ونحن الآن بصدد تفاعل بين جسمين ولذلك فإن الحركة المتوقعة تكون في مستوى وربما كانت دورية.



ولذلك فإنه من المناسب استخدام الإحداثيات القطبية r و ө

http://i912.photobucket.com/albums/ac325/marwaibrahim/12.jpg?t=1277922714

حيث

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20V_ %7B%5Cperp%20%7D=%20%5Comega%20r=%5 Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%5Ctheta%20%7D %20%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20t%7Dr=r %5Cdot%7B%5Ctheta%20%7D
و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20V_ %7B%5Cparallel%20%7D=%20%5Cfrac%7B% 5Cmathrm%7Bd%7D%20r%7D%7B%5Cmathrm% 7Bd%7D%20t%7D%20=%5Cdot%7Br%7D
و

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20V% 5E%7B2%7D=V_%7B%5Cperp%20%7D%5E%7B2 %7D+%20V_%7B%5Cparallel%7D%5E2

وهكذا يمكن كتابة المعادلة (1) كالتالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20L= %5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cleft%20%28 %20%5Cdot%7Br%7D%5E2+r%5E2%5Cdot%7B %5Ctheta%20%7D%5E2%20%5Cright%20%29-V%28r%29%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;%5C;%20 %282%29

والآن يمكننا حساب كمية التحرك الزاوي http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20p_ %7B%5Ctheta%20%7D من اللاجرانجيان:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20p_ %7B%5Ctheta%20%7D=%5Cfrac%7B%5Cpart ial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%7B %5Ctheta%7D%7D=mr%5E2%5Cdot%7B%5Cth eta%7D



وبإجراء التفاضل الجزئي للمعادلة (2)


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpart ial%20%5Ctheta%7D=0

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpart ial%20%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%7D=%5Cfr ac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial% 20%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%20%7D%5Cleft %20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm%5Cd ot%7Br%7D%5E2%20%5Cright%20%29+%5Cf rac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpartial %20%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%7D%20%5Clef t%20%28%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dmr%5 E2%20%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2%20%5C right%20%29

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20=0 +2%5Ctimes%20%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dm r%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Ctherefore%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%2 0L%7D%7B%5Cpartial%20%5Cdot%7B%5Cth eta%7D%7D=mr%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7 D




ونستخدم الآن معادلة لاجرانج للحركة


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20%7D%7B%5 Cmathrm%7Bd%7D%20t%7D%20%5Cfrac%7B% 5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpartial%20%5C dot%7B%5Ctheta%7D%7D-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpa rtial%20%5Ctheta%7D=0


وبالتعويض عن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Csmall%20%5 Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpart ial%20%5Ctheta%7D و http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Csmall%20%5 Cfrac%7B%5Cpartial%20L%7D%7B%5Cpart ial%20%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%7Dنجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20%7D%7B%5 Cmathrm%7Bd%7D%20t%7D%20%5Cleft%20% 28mr%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%20%5Cr ight%20%29=0


و بتكامل الطرفين
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20mr %5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%20=%20l=co nstant




وهذه المعادلة تمثل بقاء كمية الحركة الزاوية


يتبع....

[مروة إبراهيم]

بقسمة طرفي المعادلة التي حصلنا عليها على http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%202m

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cfrac%7B1%7D%7B2%7Dr%5E2%20%5Cdot%7 B%5Ctheta%7D=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D% 5C,%20%5Cfrac%7Bl%7D%7Bm%7D=constan t

تذكر أن مساحة المثلث (عن طريق الإحداثيات القطبية) (http://www.maths.abdn.ac.uk/%7Eigc/tch/ma1002/int/node24.html):
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20dA =%20%5Cfrac%7Br%5E2%7D%7B2%7D%5C,%2 0d%5Ctheta

وعلى هذا يكون

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cfrac%7B%5Cmathrm%7Bd%7DA%20%7D%7B% 5Cmathrm%7Bd%7D%20t%7D=%5Cfrac%7Br% 5E2%7D%7B2%7D%5Cleft%20%28%20%5Cfra c%7Bd%5Ctheta%7D%7Bdt%7D%20%5Cright %20%29=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%5Cleft %20r%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D=consta nt

ونرى من هذه المعادلة أن:
نصف قطر المدار يمسح مساحات متساوية في في أزمنة متساوية وهو بالطبع قانون كيبلر الثاني.

http://i912.photobucket.com/albums/ac325/marwaibrahim/1-1-1.gif?t=1277929299

يتبع....

[مروة إبراهيم]

الهاملتونيان أو الطاقة الكلية لنظام من جسمين

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20E= T+V=%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D%20m%28%5C dot%7Br%7D%5E2+r%5E2%20%5Cdot%7B%5C theta%7D%5E2%20%29+V%28r%29



وبجعل http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cdot%7Br%7D في طرف



http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cdot%7Br%7D%5E2%20=%5Cfrac%7B2%7D%7 Bm%7D%5Cleft%20%28%20E-V%5Cleft%20%28r%20%5Cright%20%29%20 %5Cright%20%29-r%5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D%5E2


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cdot%7Br%7D%5E2%20=%5Cfrac%7B2%7D%7 Bm%7D%5Cleft%20%28%20E-V%5Cleft%20%28r%20%5Cright%20%29%20 %5Cright%20%29-%5Cleft%20%28%20%5Cfrac%7Bl%7D%7Brm %7D%20%5Cright%20%29%5E2


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 CRightarrow%20%5C;%20%5Cdot%7Br%7D= %5Cfrac%7Bdr%7D%7Bdt%7D=%5Csqrt%7B% 5Cfrac%7B2%7D%7Bm%7D%5Cleft%20%28%2 0E-V%28r%29-%5Cfrac%7Bl%5E2%7D%7B2mr%5E2%7D%20% 5Cright%20%29%7D


بجعل http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Csmall%20dt في طرف


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20dt %20=%5Cfrac%7Bdr%7D%7Bd%5Cdot%7Br%7 D%7D=%5Cfrac%7Bdr%7D%7B%5Csqrt%7B%5 Cfrac%7B2%7D%7Bm%7D%5Cleft%20%28%20 E-V%28r%29-%5Cfrac%7Bl%5E2%7D%7B2mr%5E2%7D%20% 5Cright%20%29%7D%7D



ويمكن استخدام هذه المعادلة لتعيين شكل مدار جسم حول آخر(وهو ما يقودنا مباشرة إلى قانون كيبلر الأول)، وما نحتاجه حقيقة هو دالة في ثيتا http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Csmall%20r% 28%5Ctheta%29 مما يتتطلب تحويل المعادلة السابقة إلى علاقة بين r وhttp://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Csmall%20%5 Ctheta ونتخلص من t في أثناء ذلك.


نبدأ بملاحظة أن http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Csmall%20r% 5E2%5Cdot%7B%5Ctheta%7D=r%5E2%28d%5 Ctheta/dt%29=l/m

أي أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20l% 5C;%20dt=mr%5E2d%5Ctheta

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 CRightarrow%20%5Cfrac%7B%5Cmathrm%7 Bd%7D%20%7D%7B%5Cmathrm%7Bd%7D%20t% 7D=%5Cfrac%7Bl%7D%7Bmr%5E2%7D%5Cfra c%7Bd%7D%7Bd%5Ctheta%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Cfrac%7Bmr%5E2%7D%7Bl%7Dd%5Ctheta=% 5Cfrac%7Bdr%7D%7B%5Csqrt%7B2/m%28E-V%28r%29-%28l%5E2/%282mr%5E2%29%29%29%7D%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 CRightarrow%20d%5Ctheta=%5Cfrac%7Bl %5C;%20dr%7D%7Bmr%5E2%5Csqrt%7B2/m%28E-V%28r%29-%28l%5E2/%282mr%5E2%29%29%29%7D%7D

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Ctheta=%5Cint_%7Br_0%7D%5E%7Br%7D%5 Cfrac%7Bdr%7D%7Br%5E2%5Csqrt%7B%282 mE/l%5E2%29-%282mV/l%5E2%29-%281/r%5E2%29%7D%7D+%5Ctheta_0%5C;%20%5C ;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C ;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20%28 3%29

دع http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Csmall%20%5 Cmu=1/r وعوض في المعادلة (3)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Ctheta=%5Ctheta_0-%5Cint_%7B%5Cmu_0%7D%5E%7B%5Cmu%7D% 5Cfrac%7Bd%5Cmu%7D%7Br%5E2%5Csqrt%7 B%282mE/l%5E2%29-%282mV/l%5E2%29-%5Cmu%5E2%7D%7D

وحيث أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Csmall%20V=-%28GmM%29/r=-k/r=-k%5Cmu

(إنظر الرابط) (http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/gpot.html#ui)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5C120dpi%20%5Clarge%20%5 Ctheta=%5Ctheta_0-%5Cint_%7B%5Cmu_0%7D%5E%7B%5Cmu%7D% 5Cfrac%7Bd%5Cmu%7D%7Br%5E2%5Csqrt%7 B%282mE/l%5E2%29+%282mk%5Cmu/l%5E2%29-%5Cmu%5E2%7D%7D%5C;%20%5C;%20%5C;%2 0%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%20%5C;%2 0%284%29


يتبع....

[مروة إبراهيم]

وبما أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large \int \frac{dx}{\sqrt{a+bx+cx^2}}=\frac{1 }{\sqrt{-c}}\cos^{-1}\left [ \frac{-b+2cx}{q} \right ] \; \; \; \; \; \;\; \; \; (5)

(انظر الرابط) (http://i912.photobucket.com/albums/ac325/marwaibrahim/derivationq.jpg?t=1278021113)

حيث

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large q=b^2-4ac

وبمقارنة المعادلة (4) بـ (5) نجد أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large a=\frac{2mE}{l^2}
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large b=\frac{2mk}{l^2}
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large c=-1

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large q=\left (\frac{2mk}{l^2} \right )^2 \left ( 1+\frac{2El^2}{mk^2} \right )

ويصبح حل المعادلة (4) كالتالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large \theta=\theta^{’}-cos^{-1}\left [ \frac{(l^2\mu/mk)-1}{\sqrt{1+(2El^2/mk^2)}} \right ]

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small \theta^{’} تمثل دمج الثوابت الناتجة عن التكامل

وبجعل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small \mu=1/r كما كانت وأخذ جيب التمام للطرفين

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large \frac{1}{r}=\frac{mk}{l^2}\left ( 1+\sqrt{1+\frac{2El^2}{mk^2}}cos(\t heta-\theta’) \right )

والآن لدينا الحل، http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small r(\theta) تحدد شكل المدار ومن الواضح أنها تعتمد على الطاقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small E وكمية الحركة الزاوية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small l
وبالملاحظة نرى ان هذه المعادلة يمكن مقارنتها بمعادلة القطع المخروطي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large \large \frac{1}{r}=C\left ( 1+\epsilon \; cos(\theta-\theta’) \right )\;\;\;\;\;\;\;(6)

بمقارنة المعادلتين السابقتين نرى أن

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large \large C=\frac{mk}{l^2}\; \; \; \; \; \; \; (7)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large \epsilon =\sqrt{1+\frac{2El^2}{mk^2}}

المتغير الوحيد الذي يمكن أن يكون سالباً هو الطاقة الكلية للنظام
فإما أن يكون

http://i912.photobucket.com/albums/ac325/marwaibrahim/c.jpg?t=1278021110

شكل المدار قطع زائد: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small E> 0\rightarrow \epsilon > 1\: \: \: \: \: \: \: hyperbola

شكل المدار قطع مكافئ: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small E= 0\rightarrow \epsilon = 1\: \: \: \: \: \: \: parabola

شكل المدار قطع ناقص: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small E< 0\rightarrow \epsilon < 1\: \: \: \: \: \: \: ellipse

شكل المدار دائري: http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small E=-\frac{1}{2}V=-\frac{mk^2}{2l^2}\rightarrow \epsilon =0 \: \: \: \: \: \: \: circle



وكواكب المجموعة الشمسية تتحرك في مدارات مغلقة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small \left ( E<0 \right ) في مسارات إهليجية وهذا هو قانون كيبلر الأول.

http://hazemsakeek.com/up/download.php?img=899

يتبع....





يمكننا الآن استنتاج القانون الثالث لكيبلر، نبدأ باستخدام القانون الثاني ونكامله على دورة كاملة من المدار فينتج:

(8) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small \large \int_{0}^{P}\dot{A}\; {d}t=\frac{1}{2}\frac{l}{m}P=\pi ab

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small \pi ab هو مساحة الشكل الإهليجي (أنظر الرابط-:(32):) (http://math.ucsd.edu/~wgarner/math20b/area_ellipse.htm) حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small aو http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small b نصف المحور (أو القطر) الأكبر و نصف المحور (أو القطر) الأصغر للمدار الإهليجي، ومن المعادلة (6) يمكننا أن نعرف http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small a على أنه مجموع المسافة التي تقابل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small \theta=\theta’ و http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small \theta=\theta’+\pi

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large a=\frac{1}{c(1-\epsilon^2)}

وبالتعويض في المعادلة المعروفة التي تربط بين a و b

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large b=a\sqrt{(1-\epsilon^2)}

ينتج أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large b=\sqrt{\frac{\: a\; }{c}}

وبالتعويض عن http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \small C من المعادلة (7) ينتج أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large b=\sqrt{a}\sqrt{\frac{l^2}{mk}}

وبالتعويض عن b في معادلة قانون كيبلر الثاني (8)

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large \frac{1}{2}\frac{l}{m}P=\pi a^{3/2}\sqrt{\frac{l^2}{mk}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large \Rightarrow P=2\pi a^{3/2}\sqrt{\frac{m}{k}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large \Rightarrow P=\frac{2\pi}{\sqrt{GM}}\; a^{3/2}

وبتربيع هذه المعادلة الأخيرة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\120dpi \large P^{2}=\frac{4\pi^{2}}{GM}\; a^{3}

وهذه المعادلة ليست إلا قانون كيبلر الثالث، مربع زمن دورة الكوكب حول الشمس تتناسب مع مكعب نصف القطر الأكبر.


______________

"اللهم صل على سيدنا محمد صلاة ترضيك وترضيه وترضى بها عنا يا رب العالمين"
"سُبْحَانَكَ اللَّهُمَّ وَبِحَمْدِكَ ، أَشْهَدُ أَنْ لا إِلهَ إِلَّا أَنْتَ أَسْتَغْفِرُكَ وَأَتْوبُ إِلَيْكَ"

[رجب مصطفى]

بسم الله ما شاء الله ...

تألق واضح لكِ ... الأخت الفاضلة / مروة ...

موضوع رائع وعرض أكثر روعة ...

كنت أود أن لا أكتب هذه المشاركة إلا بعد إتمام الموضوع ... ولكن لابد مما لابد منه وهو الشكر لله أولاً وأخيراً ثم لكِ ...

في إنتظار إتمام الموضوع والمزيد من هذه المواضيع !!!

في أمان الله

[مروة إبراهيم]

بسم الله ما شاء الله ...

تألق واضح لكِ ... الأخت الفاضلة / مروة ...

موضوع رائع وعرض أكثر روعة ...

كنت أود أن لا أكتب هذه المشاركة إلا بعد إتمام الموضوع ... ولكن لابد مما لابد منه وهو الشكر لله أولاً وأخيراً ثم لكِ ...

في إنتظار إتمام الموضوع والمزيد من هذه المواضيع !!!

في أمان الله


شكرا لك أخي الكريم ،رجب مصطفى، جزاك الله كل خير

[الفيزقية]

بارك الله فيكي أخت مروة على الموضوع الرائع الذي أتحفتينا به...
جزيتي خيرا على ما قدمتيه..

[مروة إبراهيم]

بارك الله فيكي أخت مروة على الموضوع الرائع الذي أتحفتينا به...
جزيتي خيرا على ما قدمتيه..

أشكرك على مرورك أختي الفيزيقية، وجزاك الله خير.

[تمام دخان]

و عليكم السلام و رحمة الله و بركاته

أولا الحمد لله ع السلامة الغالية مروة , و مبارك انتهائك من الامتحانات
و عقبال النتائج المفرحة بإذن الله

ثانيا ها انت تعودين و تبهرينا بمواضيعك الجميلة
عودة رائعة ما شاء الله

بانتظار المزيد من هذا الابداع

موضوع جميل و مهم و كما ذكرت يكثر التساؤل عنه باعتبار قوانين كبلر من الأساسيات في علم الفلك

تقبلي تحياتي

...

[murad abuamr]

ما شاء الله ، مجهود رائع ومفيد جداً ويجل عن الوصف .

نحن بانتظار المزيد أخت مروة ، بل نحن في شوق لبقية هذا العمل الرائع المتقن .

وحتى الملف المرفق أيضاً قيم وذو فائدة جمة .

مشكورة جداً أختي الكريمة .

[رجب مصطفى]

أكرر ... تألق واضح جداً في المحتوى وعرض الموضوع ...

وإن كنّا درسنا هذا الموضوع في الميكانيكا الكلاسيكية ... إلا أنه هنا له طابع خاص ...

شكراً جزيلاً للأخت الفاضلة ...

في أمان الله ...

[مروة إبراهيم]

و عليكم السلام و رحمة الله و بركاته

أولا الحمد لله ع السلامة الغالية مروة , و مبارك انتهائك من الامتحانات
و عقبال النتائج المفرحة بإذن الله

ثانيا ها انت تعودين و تبهرينا بمواضيعك الجميلة
عودة رائعة ما شاء الله

بانتظار المزيد من هذا الابداع

موضوع جميل و مهم و كما ذكرت يكثر التساؤل عنه باعتبار قوانين كبلر من الأساسيات في علم الفلك

تقبلي تحياتي

...

عليكم السلام ورحمة الله وبركاته

الله يبارك فيك أخي تمام

وأشكرك على مرورك المميز، جزاك الله كل خير.

[مروة إبراهيم]

ما شاء الله ، مجهود رائع ومفيد جداً ويجل عن الوصف .

نحن بانتظار المزيد أخت مروة ، بل نحن في شوق لبقية هذا العمل الرائع المتقن .

وحتى الملف المرفق أيضاً قيم وذو فائدة جمة .

مشكورة جداً أختي الكريمة .


وشكرا لك أخي الكريم على كلماتك الطيبة وجزاك الله خير، وأتمنى أن ينال بقية الموضوع رضاكم.

[الصادق]

اختي الكريمة مروة إبراهيم
حياك الله تعالى
عمل رائع متقن و جميل فلك كل الشكر
زادك الله علماً ومعرفة و أنار دربك بنور الايمان

[مروة إبراهيم]

اختي الكريمة مروة إبراهيم
حياك الله تعالى
عمل رائع متقن و جميل فلك كل الشكر
زادك الله علماً ومعرفة و أنار دربك بنور الايمان

وحياك الله بالسلام، أخي الصادق
وشكرا لك على كلماتك الغالية، جزاك الله كل خير وبارك الله فيك أخي الكريم.

[مروة إبراهيم]

جزاك الله خير أخي رجب على إضافة الصورة
فهي أوضح بكثير من صورة الكتاب

[elgunidy]

مشكورة جدأأأأأأأأأأأأأأأأأأأأأأأأأأ

[مروة إبراهيم]

وشكرا لك على مرورك أخي elgunidy جزيت خيرا