طلب حل هذا التكامل المركب !!! [الأرشيف] - منتدى الفيزياء التعليمي

رجب مصطفى

05-08-2010, 08:46 PM

على ما أتذكر ...

بالنسبة للتكامل

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{red}&space;\int_ {\left&space;|&space;z&space;\right&space;|=3}\frac{e^{z}}{ z(z-2)^{2}}dz}

نجد أن كلا النقطتين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{red}&space;z=0&space;, &space;z=2} تقعا داخل الدائرة المذكورة ... وعليه يمكن أن نعمل على تبسيط الكسر المعطى باستخدام الكسور الجزئية لنجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{red}&space;\frac {1}{z(z-2)^{2}}&space;=\frac{1/4}{z}-\frac{1/4}{(z-2)}+\frac{1/2}{(z-2)^{2}}}

إذاً ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{red}&space;\int_ {\left&space;|&space;z&space;\right&space;|=3}\frac{e^{z}}{ z(z-2)^{2}}dz=1/4\int_{\left&space;|&space;z&space;\right&space;|=3}\frac{e ^{z}}{z}dz-1/4\int_{\left&space;|&space;z&space;\right&space;|=3}\frac{e ^{z}}{(z-2)}dz+1/2\int_{\left&space;|&space;z&space;\right&space;|=3}\frac{e ^{z}}{(z-2)^{2}}dz}

حيث:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{red}&space;\int_ {\left&space;|&space;z&space;\right&space;|=3}\frac{e^{z}}{ z}dz=2\pi&space;i\left&space;[e^{z}&space;\right&space;]_{z=0}=2\pi&space;i}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{red}&space;\int_ {\left&space;|&space;z&space;\right&space;|=3}\frac{e^{z}}{ (z-2)}dz=2\pi&space;i&space;\left&space;[e^{z}&space;\right&space;]_{z=2}=2\pi&space;ie^{2}}

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{red}&space;\int_ {\left&space;|&space;z&space;\right&space;|=3}\frac{e^{z}}{ (z-2)^{2}}dz=2\pi&space;i&space;\left&space;[\frac{\mathrm{d}&space;e^{z}}{\mathrm{d}&space; z}&space;\right&space;]_{z=2}=2\pi&space;ie^{2}}

وبالتالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large&space;{\color{red}&space;\int_ {\left&space;|&space;z&space;\right&space;|=3}\frac{e^{z}}{ z(z-2)^{2}}dz=\frac{\pi&space;i}{2}-\frac{\pi&space;ie^{2}}{2}+\pi&space;ie^{2}=\fr ac{\pi&space;i}{2}+\frac{\pi&space;ie^{2}}{2}=\ frac{\pi&space;i}{2}\left&space;(&space;1+e^{2}&space;\righ t&space;)}

وهذه مجرد محاولة مني للحل ... وتكفي طريقة واحدة !!! ...

رجاء مراجعة الحسابات ...

والله أعلى وأعلم ...

وصلي اللهم على المصطفى "محمد بن عبد الله" وعلى آله الأطهار وصحبه الأخيار أجمعين ...

deadheart

05-08-2010, 08:49 PM

الدوال المركبة :
اذا فرضنا z متغير مركب بدلالة x , y حيث z=x+iy
فالدالة المركبة f(z) function of complex variable
f (z) = X(x,y) + i Y(x,y) / f : D---> C
مع التمييز بين الاحرف الكبيرة و الصغير ة

2-
نعرف دالة مركبة f(z) analytic في المجال D حيث z متغير بدلالة x,y اذا كانت f قابلة للاشتقاق على طريقة Frechet في كل من x,y
وهذا الشرط يتضمن ان تحقق x , y شروط Riemann :
http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239822115.jpg

3_ انواع المجال :
مجال متصل بسيط , مجال متصل مزدوج , مجال متصل معقد
http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239822174.jpg
لاحظ المجال المزدوج كانه محدود باطارين
النقاط الحمراء تمثل النقاط التي تجعل الدالة غير معرفة ..

4_التكامل الخطي للدوال المركبة:
( Complex line integral for analytic complex function)
يعرف التكامل الخطي لهذه الدوال كما يلي:
http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239822459.jpg

5- نظرية كوشي في تكملات الدوال المعقدة (المركبة):
اي دالة مركبة f(z) analytic معرفة على المجال D المتصل البسيط المغلق بالاطار L فان التكامل الخطي للدالة على اطارL= ٠

http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239822534.jpg

وهي نظرية رائعة فمهما كان شكل المجال المغلق دائرة ام قطع او اي شكل مغلق بدلا من ان نجزؤه الى مجموعة مستقيمات و نكشف معادلاتها و نجزء التكامل ثم نجمع ... نستطيع من اول نظرة ان نقول انه مجال مغلق و التكامل الخطي على اطاره = ٠
مثبلا الدالة : f(z) = z^2-3 نريد ان نحسب التكامل الخطي لها على اي مجال مغلق مهما كان شكله التكامل = ٠

- نظرية كوشي المعممة للمجالات المتصلة المزدوجة و المعقدة
في المجال المتصل المزدوج:
الدالة f(z) analytic على المجال D\{a}= T
a نقطة من D تكون الداالة غير معرفة عندها و l هو اطار يحدد a اما L هو اطار المجال D وتنص النظرية ان تكامل الدالة على الاطار L = التكامل على اطار l
و كاننا نقتصر التكامل حول a النقطة التى تجعل الدالة غير معرفة
http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239822674.jpg

- تعميم على المجالات المتصلة المعقدة :
اذا كانت f معرفة على المجال D \{ a1,a2,a3,...an} =T
حيث a1,a2,...an مجموعة من النقاط تجعل f غيرمعرفة محاطة باطارات : l1,l2,l3,...ln

http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239822735.jpg

6- تطبيقات :
احسب التكامل: I
http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239823108.jpg

الدالة في هذه الحالة ANALYTIC على اي مجال ماعدا النقطة a اذن مجال مزدوج تخيل دائرة l مركزها a و نصف قطرها r فيكون التكامل على الدائرة مساويا التكامل على المجال المطلوب
عوض (z-a) ب : r.e^it
; t€ (0,2p) -->dz= rie^it dt
ويؤول التكامل الى 2p i
(p=380 degree) i= sqrt (-1
هذا الناتج يعتبر من اهم الاعداد المركبة

7- النظرية النهائية لتكامل كوشي :
اهمية هذه النظرية بربط مشتقة الدالة من الدرجة n مع القطبين الدرجة n+1 مثلا اذا عندك بالمقام 2^(z-a) فان a قطب من الدرجة 2
اما f وفوقها n يعني مشتقة n مرة
http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239825223.jpg

مثال:

http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239823823.jpg

لاحظ ان لدينا a1=0 , a2=2i
لكن a2 لا تنتمي للمجال المطلوب تبقى مشكلة واحدة عند a=0

مساوئ نظرية كوشي في التكاملات المعقدة:
من اهم مساوئ هذه النظرية انك تضيع و قتا في فك الدالة لكي تجعلها مجموعة دوال صغيرة كل منها لا يواجة مشكلة في اكثر من نقطة والا ستضطر لانشاء اطار حول كل a1,a2...an و هذا اصعب و اصعب
لذلك كانت افضل نظرية لحل هذه التكاملات هي RESIDUE THEORY التى جاءت بعد اكتشاف العالم Laurent سلسلة Laurent الشهيرة و كان غرضي من كل هذا الموضوع هو هذه النظرية التي لها تطبيقات مهمة جدا خاصة في بعض التكاملات للدوال الحقيقية الصعبة الحل :
RESIDUES THEORY:

لاي نقطة تجعل الدالة غير معرفة بامكاننا ايجاد residue و ساقتصر على الاقطاب
كما ذكرت : a هي قطب من الدرجة k اذا كانت في المقام :
(z-a)للقوة k في مقام الدالة بحيث تجعل نهايتها = infinity
تحسب res(f,a) residue
http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239824472.jpg

و يعطى التكامل للدالة بالعلاقة:

http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239824506.jpg

فايهما اسهل تكامل معقد ام نهاية بسيطة??
مثال :
http://www.arabruss.com/uploaded/65916/1239824357.jpg

خطوات الحل:
1-ارسم المجال المطلوب تكامل عنده
2-فتش عن النقاط التي تجعل f غر معرفة
3- خذ فقط النقاط المنتمية للمجال
4-احسب نهاية الدالة عند هذه النقاط لتقرر درجة القطب
5-عوض في علاقة res و احسبها لتلك النقاط و اجمع النواتج
6-التكامل المطلوب هو الناتج السابق ضرب 2pi

ارجو اعادة التاكد من البيانات والحسابات والارقام وطرق الحل