معادلات ماكسويل ... Maxwell's Equations ...

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله
"محمد بن عبد الله"
وعلى آله وصحبه أجمعين
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام
تحية طيبة إليكم
*** *** ***


معادلات ماكسويل
Maxwell’s Equations



معادلات ماكسويل هي عبارة عن تجميع للقوانين الأربعة الأساسية في الكهرباء والمغناطيسية، وعلى الرغم من أن ماكسويل هو مؤسس لواحدة فقط من هذه المعادلات بتعديله واحدة موجودة أصلاً ... إلا أنه إشتقها كلها رياضياً كلٌ على حده. وقد بينها في الورقة (العلمية) التي قدمها عام 1861 تحت عنوان


On Physical Lines of Force

والتي يمكن تحمليها من الموضوع التالي:


On Physical Lines of Force (http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?t=18865)

المهم، هذه المعادلات لها صورتان إحداهما نقطية (تفاضلية) والأخرى تكاملية، وأي صورةٌ منهما تربط المجالات الكهربية والمغناطيسية بمصادرها وهي كثافة الشحنة وكثافة التيار على الترتيب ... كما سنرى.

يمكن تمييز حالتين تستخدم فيهما هذه المعادلات ... الأولى هي حالة المجالات الكهربية الساكنة والمجالات المغناطيسية الثابتة، والثانية فهي حالة المجالات الكهربية والمغناطيسية المتغيرة مع الزمن.

ملحوظة: سأشتق المعادلات التكاملية من تلك التفاضلية مباشرةً ... على إعتبار أن القارئ ملم بأساسيات الكهرومغناطيسية.

[رجب مصطفى]

إثنان من الأربع معادلات تبقى كما هي بدون أي تغير في كلا الحالتين السابقتين، هاتين المعادلتين هما:


1 – قانون جاوس في الكهربية الذي يبين كيف أن الشحنات الكهربية تولد مجالاً كهربياً، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint&space;\vec{D}&space;\cdot&space;d\vec {S}&space;=&space;Q

وباستخدام نظرية التباعد Divergence نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint&space;\vec{D}&space;\cdot&space;d\vec {S}&space;=&space;\int_{v}\left&space;(&space;\blacktriangl edown&space;\cdot&space;\vec{D}&space;\right&space;)&space;dv

ولكن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?Q&space;=&space;\int_{v}\rho&space;dv

إذاً:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{v}\left&space;(&space;\blacktri angledown&space;\cdot&space;\vec{D}&space;\right&space;)&space;dv &space;=&space;\int_{v}\rho&space;dv

وعليه نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot&space; \vec{D}&space;=&space;\rho


... ... ... ... ...


2 – قانون جاوس في المغناطيسية والذي يثبت عدم وجود القطب المغناطيسي المنفرد مناظراً للموجود في حالة الكهرباء، أو أن الفيض المغناطيسي دائماً ما يوجد في مسارات مغلقة ولا تنهي عند نقطة بعينها، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint&space;\vec{B}&space;\cdot&space;d\vec {S}&space;=&space;zero

وباستخدام نظرية التباعد Divergence نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint&space;\vec{D}&space;\cdot&space;d\vec {S}&space;=&space;\int_{v}\left&space;(&space;\blacktriangl edown&space;\cdot&space;\vec{D}&space;\right&space;)&space;dv&space;=&space;0

أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot&space; \vec{D}&space;=&space;0

ملحوظة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{D}=&space;\epsilon&space;_{o}&space;\v ec{E}

أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{E}&space;=&space;\frac{1}{\epsil on&space;_{o}}&space;\vec{D}



http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/91/Electromagnetism.svg/220px-Electromagnetism.svg.png


*** أما الإثنين الأخرين فيتعمدان على حالة المجالات المختلفة، على النحو التالي:
... يُتبع بعد صلاة العشاء ... في أمان الله ...

[رجب مصطفى]

أما الإثنين الأخرين فيتعمدان على حالة المجالات المختلفة، على النحو التالي:


*** في حالة المجالات الكهربية الساكنة والمجالات المغناطيسية الثابتة:


3 – القوة الدافعة الكهربية خلال مسار مغلق تساوي صفراً، ويمكن إثبات ذلك كما يلي، من المعروف أن شدة المجال الكهربي عبارة عن سالب تدرج (دالة) الجهد، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{E}&space;=&space;-&space;\blacktriangledown&space;V


بأخذ curl الطرفين:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\wedge &space;\vec{E}&space;=&space;-&space;\blacktriangledown&space;\wedge&space;\blacktr iangledown&space;V


ولكن curl grad يساوى صفر، إذاً:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\wedge &space;\vec{E}&space;=&space;0


والتي يمكن كتابتها على الصورة



http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{S}\left&space;(\blacktria ngledown&space;\wedge&space;\vec{E}&space;\right&space;)&space;\c dot&space;d\vec{S}&space;=&space;0


مع ملاحظة أن لم يحدث أي تغيير لأن أي شيء مضروب بالصفر يساوي صفرأيضاً.



باستخدام نظرية ستوكس Stocks نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{S}\left&space;(\blacktria ngledown&space;\wedge&space;\vec{E}&space;\right&space;)&space;\c dot&space;d\vec{S}&space;=&space;\oint&space;\vec{E}&space;\right &space;)&space;\cdot&space;d\vec{L}


وعليه فإن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint&space;\vec{E}&space;\right&space;)&space;\c dot&space;d\vec{L}&space;=&space;0


... ... ... ...

[رجب مصطفى]

4 – قانون أمبير الدائري والذي ينص على أن التكامل الخطي للشدة المجال المغناطيسي حول أي مسار مغلق يساوي بالضبط التيار المستمر المُحاط بهذا المسار، أي:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint&space;\vec{H}&space;\right&space;)&space;\c dot&space;d\vec{L}&space;=&space;I


باستخدام نظرية ستوكس Stocks نجد أن:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\oint&space;\vec{H}&space;\right&space;)&space;\ cdot&space;d\vec{L}&space;=&space;\int_{S}\left&space;(\bla cktriangledown&space;\wedge&space;\vec{H}&space;\righ t&space;)&space;\cdot&space;d\vec{S}&space;


ولكن شدة التيار هي:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?I&space;=&space;\int_{S}\left&space;\vec{J} &space;&space;\cdot&space;d\vec{S}&space;


إذاً:



http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{S}\left&space;\vec{J}&space;&space;\c dot&space;d\vec{S}&space;&space;=&space;&space;\int_{S}\left&space;(\bl acktriangledown&space;\wedge&space;\vec{H}&space;\rig ht&space;)&space;\cdot&space;d\vec{S}&space;


وعليه نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\wedge &space;\vec{H}&space;=&space;\vec{J}


... ... ... ...

[رجب مصطفى]

*** حالة المجالات الكهربية والمغناطيسية المتغيرة مع الزمن:

3* - قانون فاراداي والذي ينص على أن المجالات المغناطيسية المتغيرة مع الزمن تولد مجالات كهربية، وبالتالي فإن القود الدافعة الكهربية الناتجة ستكون عبارة المعدل الزمني للتغير في الفيض المغناطيسي، أي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?emf&space;=&space;-&space;\frac{d\Phi}{dt}


ولكن الفيض المغناطيسي خلال سطحٍ ما هو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\Phi&space;=&space;\int_{S}&space;\vec{B}\c dot&space;d\vec{S}


وأيضاً القوة الدافعة الكهربية هي:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?emf&space;=&space;\oint&space;\vec{E}&space;\righ t&space;)&space;\cdot&space;d\vec{L}&space;


إذاً:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint&space;\vec{E}&space;\right&space;)&space;\c dot&space;d\vec{L}&space;&space;=&space;&space;-&space;\frac{d}{dt}&space;\int_{S}&space;\vec{B}\cdot &space;d\vec{S}=&space;&space;&space;-&space;&space;\int_{S}&space;\frac{\partial&space;\vec{B}}{ \partial&space;t}\cdot&space;d\vec{S}


حيث أدخلنا معدل التغير الزمني تحت التكامل في صورة تفاضل جزئي للزمن، لأن المجال المغناطيسي هو الكمية الوحيدة في الطرف الأيمن الذي يتغير بالزمن خاصةً، وبالزمن والمساحة عموماً.

باستخدام نظرية ستوكس Stocks للطرف الأيسر، نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\oint&space;\vec{E}&space;\right&space;)&space;\ cdot&space;d\vec{L}&space;=&space;\int_{S}\left&space;(\bla cktriangledown&space;\wedge&space;\vec{E}&space;\righ t&space;)&space;\cdot&space;d\vec{S}&space;


وعليه نجد:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;&space;-&space;&space;\int_{S}&space;\frac{\partial&space;\vec{B}}{ \partial&space;t}\cdot&space;d\vec{S}=&space;&space;\int_{S }\left&space;(\blacktriangledown&space;\wedge&space;\ vec{E}&space;\right&space;)&space;\cdot&space;d\vec{S}&space;


أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\wedge &space;\vec{E}&space;\right&space;=&space;-&space;\frac{\partial&space;\vec{B}}{\partial&space;t }



... ... ...

[الموحدة لله]

شكرا لك عل هذا الموضوع وكما عودتنا طرح مميز ورائع

[رجب مصطفى]

4* - قانون أمبير الدائري مع تعديل أو تصحيح ماكسويل (وهذه هي المعادلة الوحيدة (الجديدة) لماكسويل):
من قانون أمبير الدائري في الحالة الأولي (الغير معتمدة على الزمن) وجدنا أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\wedge &space;\vec{H}&space;=&space;\vec{J}


ولدراسة التغير الناشيء في حالة الإعتماد على الزمن، نضرب الطرفين في http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot ، فنحصل على:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot&space; \blacktriangledown&space;\wedge&space;\vec{H}&space;= &space;&space;\blacktriangledown&space;\cdot&space;\ve c{J}


ولكن div curl يساوي صفراً، مما يستوجب أن يكون:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;&space;\blacktriangledown&space;\cdo t&space;\vec{J}&space;=&space;0


وهذا غير صحيح، لأنه من معادلة الإستمرارية نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;&space;\blacktriangledown&space;\cdo t&space;\vec{J}&space;=&space;-&space;\frac{\partial&space;\rho&space;}{\partia l&space;t}


لذا قام ماكسويل بإفتراض أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\wedge &space;\vec{H}&space;=&space;\vec{J}+\vec{G}


حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{G} متجه له نفس أبعاد كثافة التيار، وعليه نضرب الطرفين مجدداً في http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot ، فنحصل على:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot&space; \blacktriangledown&space;\wedge&space;\vec{H}&space;= &space;\blacktriangledown&space;\cdot&space;\vec{J}+\ blacktriangledown&space;\cdot&space;\vec{G}=0


أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\blacktriangledown&space;\cdot &space;\vec{G}&space;=&space;-&space;\blacktriangledown&space;\cdot&space;\vec{J}=&space; \frac{\partial&space;\rho&space;}{\partial&space;t}


ولكن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho&space;=&space;\blacktriangledown &space;\cdot&space;\vec{D}


إذاً:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\blacktriangledown&space;\cdot &space;\vec{G}&space;=&space;\frac{\partial&space;\left&space;(\b lacktriangledown&space;\cdot&space;\vec{D}&space;\rig ht&space;)&space;}{\partial&space;t}=&space;&space;\blacktriangle down&space;\cdot&space;\frac{\partial&space;\vec{D}}{ \partial&space;t}


أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{G}=&space;\frac{\partial&space;\ vec{D}}{\partial&space;t}


والآن بالتعويض نجد:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\wedge &space;\vec{H}&space;=&space;\vec{J}+&space;\frac{\partial&space; \vec{D}}{\partial&space;t}=&space;\vec{J}+\vec{ J_{d}}


حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{J_{d}} هو كثافة تيار الإزاحة كما أطلق عليه ماكسويل.

والآن بأخذ التكامل السطحي لطرفي المعادلة السابق، نحصل على:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\int_{S}\left&space;(\blacktria ngledown&space;\wedge&space;\vec{H}&space;&space;\right&space;)\c dot&space;d\vec{S}=\int_{S}\vec{J}\cdot&space;d \vec{S}+&space;\int_{S}\frac{\partial&space;\ve c{D}}{\partial&space;t}\cdot&space;d\vec{S}


أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint&space;\vec{H}\cdot&space;d\vec{ L}&space;=&space;I&space;+&space;I_{d}


حيث:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_{d}&space;=&space;\int_{S}\frac{\pa rtial&space;\vec{D}}{\partial&space;t}\cdot&space;d\v ec{S}




*** *** ***


هذه في عُجالة ... معادلات ماكسويل ...

أتمنى أن تنال رضاكم ...

دمتم في رعاية الله وحفظه ...

نسألكم الدعاء ...

[رجب مصطفى]

*** ملحق (1) ... إشتقاق صورة "الجهد المغناطيسي المتجه" ...

هذا الإشتقاق غير موجود في أغلب كتب الكهرومغناطيسية التي أطلعت عليها ... ولكن المهم ...

يُفرض الجهد المغناطيسي المتجه http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{A} بحيث يحقق المعادلة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot&space; \vec{B}&space;=&space;0


وبالتناظر ... مع الكهربية، تم الإتفاق على أن يُعطى بالصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{B}&space;=&space;\blacktriangled own&space;\wedge&space;\vec{A}


وعليه فإن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot&space; \vec{B}&space;=&space;\blacktriangledown&space;\cdot&space; \blacktriangledown&space;\wedge&space;\vec{A}&space;= &space;0


ومن قانون "بيووت – سفارت"، نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{H}&space;=&space;\frac{Id\vec{L }\wedge&space;\vec{a}_{R}}{4&space;\pi&space;R^{2}}


والتي يمكن كتابتها على الصورة:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{H}&space;=&space;\frac{I}{4&space;\pi &space;}&space;{d\vec{L}\wedge&space;\frac{\vec{a}_{R }}{R^{2}}}


ولكن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{\vec{a}_{R}}{R^{2}} =-\blacktriangledown&space;\left&space;(&space;\frac{1} {R}&space;\right&space;)


إذاً:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{H}&space;=-&space;\frac{I}{4&space;\pi&space;}&space;{d\vec{L}\wedge\b lacktriangledown&space;\left&space;(&space;\frac{1}{R }&space;\right&space;)}=&space;\frac{I}{4&space;\pi&space;}&space;{\bla cktriangledown&space;\left&space;(&space;\frac{1}{R}&space; \right&space;)\wedge&space;d\vec{L}}


ولكن http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{L} لا يتعمد على http://latex.codecogs.com/gif.latex?R ، لذلك يمكن أن نكتب:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{H}&space;=&space;\blacktriangle down&space;\wedge&space;&space;\frac{I}{4&space;\pi&space;}&space;{&space;\le ft&space;(&space;\frac{d\vec{L}}{R}&space;\right&space;) &space;}


وحيث أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{B}&space;=&space;\mu&space;_{o}&space;d\vec {H}


إذاً:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{B}&space;=&space;\mu&space;_{o}&space;d\vec {H}=&space;\blacktriangledown&space;\wedge&space;&space;\fr ac{\mu&space;_{o}I}{4&space;\pi&space;}&space;{&space;\left&space;(&space;\fr ac{d\vec{L}}{R}&space;\right&space;)&space;}


وأيضاً:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{B}&space;=&space;\blacktriangle down&space;\wedge&space;d\vec{A}


وبالمقارنة نجد أن:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?d\vec{A}&space;=&space;&space;\frac{\mu&space;_{o }I}{4&space;\pi&space;}&space;{&space;\left&space;(&space;\frac{d\vec{L }}{R}&space;\right&space;)&space;}


أو:


http://latex.codecogs.com/gif.latex?\vec{A}&space;=&space;\oint&space;&space;\frac{\m u&space;_{o}I}{4&space;\pi&space;}&space;{&space;\left&space;&space;\frac{d\v ec{L}}{R}&space;\right&space;&space;}




... ... ...





دمتم في رعاية الله وحفظه

[رجب مصطفى]

*** ملحق (2) ... معادلة الإستمرارية ...

معادلة الإستمرارية هي معادلة تفاضلية تصف إنتقال أن نوع من الكميات الفيزيائية التي تطبق عليها قوانين الحفظ ... وحيث أن الكتلة، الطاقة، كمية الحركة، والشحنة الكهربية وباقي الكميات الطبيعية محفوظة ... فإن هذه المعادلة يمكن تطبيقها أو ملاحظتها في فروع الفيزياء المختلفة ...

تنص هذه المعادلة على أن "المقدار الكلي (للكمية المحفوظة) داخل أي منطقة ما معينة يمكن فقط أن يتغير بالمقدار الذي يدخل إلى (أو يخرج من) هذه المنطقة خلال الحدود" ...

فالكمية المحفوظة لا يمكن أن تزيد أو تنقص ... لكن يمكن أن تنتقل من مكان لآخر ...

وفي الكهرومغناطيسية ... يمكن أن تشتق هذه المعادلة بعدة طرق مختلفة ... منها التالية ...

من المعروف أن التيار الناتج خلال أى سطح مغلق يعطى من العلاقة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?I=\oint_{S}\vec{J}\cdot&space;d \vec{S}
وعلى فرض أن هذا التيار ناتج عن الشحنات الموجبة ... فإن الفيض الخارج من هذا السطح لابد وأن يُقابله نقص في كثافة الشحنة الموجبة (أو زيادة في كثافة الشحنة السالبة) خلال هذا السطح المغلق.

وبفرض أن مقدار الشحنة داخل هذا السطح هي http://latex.codecogs.com/gif.latex?Q ، فإن معدل النقص سيكون http://latex.codecogs.com/gif.latex?-dQ/dt ، وبناءً على مبدأ حفظ الشحنة يكون:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?I=\oint_{S}\vec{J}\cdot&space;d \vec{S}=-\frac{dQ}{dt}
وهذه هي الصورة التكاملية لمعادلة الإستمرارية ... والحصول على الصورة التفاضلية (النقطية) يكون على النحو التالي:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\oint&space;\vec{J}&space;\cdot&space;d\vec {S}&space;=&space;\int_{v}\left&space;(&space;\blacktriangl edown&space;\cdot&space;\vec{J}&space;\right&space;)&space;dv
ولكن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?Q&space;=&space;\int_{v}\rho&space;dv
إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\int_{v}\left&space;(&space;\blacktr iangledown&space;\cdot&space;\vec{J}&space;\right&space;)&space;d v=-\frac{d}{dt}&space;\int_{v}\rho&space;dv=-&space;\int_{v}\frac{\partial&space;\rho}{\part ial&space;t}&space;dv
أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\blacktriangledown&space;\cdot &space;\vec{J}&space;\right&space;)=-\frac{\partial&space;\rho}{\partial&space;t}
وهذه هي الصورة التفاضلية لمعادلة الإستمرارية ... فكثافة التيار هى عبارة عن حركة كثافة الشحنة ...

*** طريقة أخرى ... من قانون أمبير مع تعديل ماكسويل ...

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\wedge &space;\vec{H}&space;=&space;\vec{J}+&space;\frac{\partial&space; \vec{D}}{\partial&space;t}
بأخذ http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot الطرفين نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\blacktriangledown&space;\cdot\ blacktriangledown&space;\wedge&space;\vec{H}&space;=&space; \blacktriangledown&space;\cdot\vec{J}+\bl acktriangledown&space;\cdot&space;\frac{\partia l&space;\vec{D}}{\partial&space;t}=0
أو:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\blacktriangledown&space;\cdot \vec{J}=-\blacktriangledown&space;\cdot&space;\frac{\par tial&space;\vec{D}}{\partial&space;t}=-&space;\frac{\partial&space;\left&space;(\blacktriang ledown&space;\cdot\vec{D}&space;\right&space;)}{\part ial&space;t}
لكن من قانون جاوس نجد أن:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\rho&space;=&space;\blacktriangledown &space;\cdot&space;\vec{D}
إذاً:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?&space;\blacktriangledown&space;\cdot \vec{J}=-&space;\frac{\partial&space;\rho}{\partial &space;t}
وهو ما حصلنا عليه سابقاً ...

هذا كل شيء للآن لأني جداً مشغول هذا الأسبوع ...
أتمنى مرعاة ظروفي ...
لا تنسونا من صالح دعائكم ...

[الاستاذ مناف دحروج]

بارك الله فيك
واشكرك جدا علي هذا الطرح المميز

[physics]

بارك الله فيك على هذا الموضوع المفيد

[سنوهيد]

شرح رائع

لكن ممكن تذكر طريقه استنتاج معادلات ماكسويل باستخدام

bianchi identity

[سنوهيد]

بصراحه ما اعرف كيف اكتب المعادله لكن هي موجوده في هذا الملف صفحه 24 معادله56

http://hazemsakeek.com/up/download.php?id=450


تتبع منهج ميكانيكا الكم النسبوي

و لعل الاستاذ الصادق يشاركنا هذا الموضوع

[الصادق]

الاخت الكريمة سنوهيد

و اخي العزيز رجب مصطفى

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

Bianchi Identity تحتوي على معادلتين من معادلات ماكسويل

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cpartial%5E% 7B%5Cmu%7DF%5E%7B%5Cnu%20%5Crho%7D+ %5Cpartial%5E%7B%5Cnu%7DF%5E%7B%5Cr ho%20%5Cmu%7D+%5Cpartial%5E%7B%5Crh o%7DF%5E%7B%5Cmu%20%5Cnu%20%7D=0

حيث ان ممتد شدة المجال الكهرومغنطيسي The electromagnetic field tensor يُعطى بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20F%5E%7B%5Cmu%2 0%5Cnu%20%7D=%5Crm%20%5Cbegin%7Bpma trix%7D%200%20&%20-E_1%20&%20-E_2%20&-E_3%20%5C%5C%20E_1%20&%200%20&-B_3%20&B_2%20%5C%5C%20E_2%20&%20B_3%20&0%20&-B_1%20%5C%5C%20E_3%20&%20-B_2%20&B_1%20&%200%20%5Cend%7Bpmatrix%7D%20%5Cqqu ad%20%281%29
متجه الموقع الرباعي فى صورة الـ covariant يعطي بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20x_%7B%5Cmu%7D= %28t,x_1,x_2,x_3%29=%28t,-x,-y,-z%29
وبالتالي فان التفاضل الرباعي هو

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cpartial%5E% 7B%5Cmu%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20% 7D%7B%5Cpartial%20x_%7B%5Cmu%7D%7D= %5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7 D%7B%5Cpartial%20t%7D,%5Cfrac%7B%5C partial%20%7D%7B%5Cpartial%20x_1%7D ,%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpa rtial%20x_2%7D,%5Cfrac%7B%5Cpartial %20%7D%7B%5Cpartial%20x_3%7D%5Crigh t%29=%5Cleft%28%5Cfrac%7B%5Cpartial %20%7D%7B%5Cpartial%20t%7D,-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpar tial%20x%7D,-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpar tial%20y%7D,-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpar tial%20z%7D%5Cright%29%5Cqquad%20%2 82%29

نعوض قيم للمعاملات http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cmu,%20%5Cnu ,%5Crho
مثلاً اذا اخترنا القيم التالية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cmu=1,%5C;%2 0%5Cnu=2,%5C;%5Crho=3
و عوضنا فى متطابقة بيانكي فسوف نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cpartial%5E% 7B1%7DF%5E%7B23%7D+%5Cpartial%5E%7B 2%7DF%5E%7B31%7D+%5Cpartial%5E%7B3% 7DF%5E%7B12%7D=0

لاحظ من المعادلة (1) ان mu=0 عبارة عن الصف الاول فى المصفوفة (1) و mu=1 تمثل الصف الثاني و mu=2 الصف الثالث و mu=3 الصف الرابع
وهكذا فان http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20F%5E%7B23%7D عبارة عن عنصر المصفوفة فى الصف الثالث و العمود الرابع اى ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20F%5E%7B23%7D=-B_1
اما
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20F%5E%7B31%7D=-B_2%20,%5Cqquad%20F%5E%7B12%7D=-B_3

ومن المعادلة (2) نجد ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5C%5C%5Cparti al%5E%7B1%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial%2 0%7D%7B%5Cpartial%20x_1%7D=-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpar tial%20x%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cpartia l%5E%7B2%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20 %7D%7B%5Cpartial%20x_2%7D=-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpar tial%20y%7D%5C%5C%5C%5C%20%5Cpartia l%5E%7B3%7D=%5Cfrac%7B%5Cpartial%20 %7D%7B%5Cpartial%20x_3%7D=-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B%5Cpar tial%20z%7D
وهكذا بالتعويض المباشر نحصل على


http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5C%5C%5Cparti al%5E%7B1%7DF%5E%7B23%7D+%5Cpartial %5E%7B2%7DF%5E%7B31%7D+%5Cpartial%5 E%7B3%7DF%5E%7B12%7D=0%5C%5C%20%5C% 5C%20%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7B% 5Cpartial%20x_1%7D%28-B_1%29+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7 B%5Cpartial%20x_2%7D%28-B_2%29+%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%7D%7 B%5Cpartial%20x_3%7D%28-B_3%29%5C%5C%20%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cp artial%20B_x%7D%7B%5Cpartial%20x%7D +%5Cfrac%7B%5Cpartial%20B_y%7D%7B%5 Cpartial%20x%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartia l%20B_z%7D%7B%5Cpartial%20z%7D=0%5C %5C%20%5C%5C%20%5CRightarrow%20%5Cn abla.%5Cvec%7BB%7D=0
بنفس الطريقة و باختيار بقية القيم المختلفة لـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cmu,%20%5Cnu ,%5Crho
نحصل على ثلاثة معادلات تمثل مركبات المعادلة
http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cnabla%5Ctim es%5Cvec%7BE%7D=-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvec%7BB%7 D%7D%7B%5Cpartial%20t%7D
وهذه اتركها لكم كتمرين

ملاحظة: فى الحسابات السابقة من اجل التبسيط قمت باختيار c=1

[سنوهيد]

فعلا هذا الشرح جزاك الله خير

نعوض بالاعداد صفر و واحد و اثنين على الترتيب

و ستظهر لنا المعادله الثالثه من معادلات ماكسويل

[الصادق]

إقتباس:
المشاركة الأصلية بواسطة سنوهيد http://www.hazemsakeek.com/vb/images/funkyfresh/buttons/viewpost.gif (http://www.hazemsakeek.com/vb/showthread.php?p=138223#post138223)

فعلا هذا الشرح جزاك الله خير

نعوض بالاعداد صفر و واحد و اثنين على الترتيب

و ستظهر لنا المعادله الثالثه من معادلات ماكسويل

الاخت الكريمة سنوهيد
حياك الله تعالى
كلامك سليم و صحيح

مرة نعوض بـ 023 فنحصل على مركبة المعادلة فى اتجاه محور x
و نعوض بـ 013 فنحصل على مركبة المعادلة فى اتجاه محور y
و نعوض بـ 012 فنحصل على مركبة المعادلة فى اتجاه محور z

بدمج المركبات الثلاث اعلاه نحصل على المعادلة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?%5Clarge%20%5Cnabla%5Ctim es%5Cvec%7BE%7D=-%5Cfrac%7B%5Cpartial%20%5Cvec%7BB%7 D%7D%7B%5Cpartial%20t%7D

[mayay_u]

شكرا لك .....................

[mahmoud_7200]

بارك الله فيك على هدا التوضيح البسيط والملم للمعادلة

[احمدالزاوية]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

شكراً لك أخي رجب على الموضوع القيم

وبارك الله فيك وجزاك الله كل الخير

[حكايا قلم]

شكراً لك
وجزاك الله كل خير

[الفيزيائية ملاك]

السلآم عليكم
راجعة للتدقيق

[رفعه الشان]

شكرا جزيلا وجوزيت عن وعن كل من افدته خير الجزاء وكثر الله من امثالك

[مرح الياس]

مرحبا شكرا كتير عالموضوع الشيق شكرا الك
مرح الياس

[einstein.ami]

انا شوفت حل لمعادلات ماكسويل عن طريق انه يحسب قيمة التكامل فى المعادلة التالتة والرابعة من خلال فرض ان المجال بيتغير فى الاحداثى السينى بحيث ءس<<لامدا فى مرجع السيروى

[عبدة قورة]

ياريتنلاقى اوراق عربى ومشكوووووووووووووووووووورا

[حسين ألأطير]

شكرا لسيادتكم على تقديم هذا ألعمل ألجيد

[سهر الليالى2010]

مشكورين والله على هذة المعلومات الجميله

[ابوالخطاب7]

جزاك الله خيرا على هذا التوضيح الرائع

[والنعم بالفزياء]

معلومات قيمه عن المعادلات سلمت يمناك

[سويد1]

السلام عليكم يارب ارزقني بمن يساعدني وبارك له علمه ارجوا المساعدة في الحل وضع جسم اسطواني دائرى قائم نصف قطره Rوارتفاعه Lبصورة موازية لمحور Zفاذاعلم انالجسم يحمل شحنة دات كتافة حجمية غير منتظمة معطاة وفق الدالة رو(Z) =رو0+BZ وان نقطة المرجع تقع عند المركز للجسم الاسطوانى اوجد القوة المثرة على شحنة نقطية q موضوعة عند مركز الاسطوانة ملاحظة انا فهمت ولكن صعب علي التكامل لان الشحنة الحجمية غير منتظمة يعني تقعد داخل التكامل كيف نحل ارجوكم

[kingromantic]

بارك الله فيكم وعلى انجازكم القيم . لما فيه من خير للصالح العام . واسأل الله ان يجعله في ميزان حسناتكم ....