مسائل وحلول - حساب مثلثات للمرحلة الثانوية

[أحمد سعد الدين]

مسائل وحلول

حساب مثلثات للمرحلة الثانوية

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم : (1)

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_11wd7.jpg



ظاهـ = 1/3
ظاى = 1/7
ظا2هـ = ( 2 ظاهـ ) / ( 1 - ظا^2 هـ ) = 3/4

ظا( 2هـ + ى ) = [ ظا2هـ + ظاى ] / [ 1 - ظا2هـ ظاى ]
= [ 3/4 + 1/7 ] / [ 1 - ( 3/4 )( 1/7 )] = 1

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 5 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثالث

جاى = 1/5جذر2 ، جتاى = 7/5جذر2
جاهـ = 1/جذر10 ، جتاهـ = 3/جذر10
جا2هـ = 2 جاهـ جتا2هـ = 3/5
جتا2هـ = 4/5

جا( 2هـ + ى ) = جا2هـ جتاى + جتا2هـ جاى = 1/جذر2

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 3 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثانى

إذن :

( 2هـ + ى ) = ط/4 وتقع فى الربع الأول

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (2)

أثبت أن
ظا 3 س = ظا س × ظا ( 60 - س ) × ظا ( 60 + س )

ومن ذلك أثبت أن
ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80

http://www.al3ez.net/upload/a/sameh_sam34.jpg


قام الابن سامح بإثبات المطلوب الأول

بالنسبة للمطلوب الثانى :

حيث أن : ظا(60 - س)* ظا(60 + س) = ظا3 س / ظاس

ظا50 ظا70 = ظا(60 - 10 )* ظا(60 + 10) = ظا30 / ظا10

ظا50 ظا60 ظا70 = ظا30 ظا60/ ظا10 = 1 / ظا10

ظا80 = ظا(90 - 10) = ظتا10 = 1 / ظا10

ظا 50 ظا 60 ظا 70 = ظا 80

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (3)

أثبت أن جتا^2 س+ جتا^2(أ+س)-2جتا أ جتا س جتا (أ+س) تأخذ القيمة نفسها لجميع قيم س المختلفة.

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_proof2.JPG

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (4)

أثبت أن :
ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4



نفرض أن :

ظاهـ = 120/119

ظاى = 1/239

ظا(هـ - ى) = (ظاهـ - ظاى)/(1 + ظاهـ ظاى)

= [(120/119) - (1/239)]/[1 + (120/119)(1/239)]

= [(120*239) - 119]/[(119*239) + 120]

= [120*239) - 119 ]/[120*239 - 239 + 120]

= [120*239) - 119]/[120*239 - 119] = 1

هـ - ى = ط/4

ظا^-1 ( 120 / 119 ) - ظا^-1 ( 1/ 239 ) = ط/4

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (5)


أثبت أن :
ظا س ظا 2 س ظا 3 س = ظا 3 س - ظا 2 س - ظا س



ظا3س = ظا(2س + س) = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]

ظا3س - ظا2س - ظاس = [ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس]- ظا2س - ظاس

= [1/(1 - ظا2س ظاس)]*[ظا2س + ظاس - ظا2س + ظا^2(2س)ظاس - ظاس + ظا2س ظا^2(س)]

= [ظا^2(2س)ظاس + ظا2س ظا^2(س)]/(1 - ظا2س ظاس)

= ظا2س ظاس (ظا2س + ظاس)/(1 - ظا2س ظاس)

= ظا3س ظا2س ظاس

حيث :

[ظا2س + ظاس]/[1 - ظا2س ظاس] = ظا3س

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (6)

من قمة منارة الإسكندرية البالغ ارتفاعها 120متراً رصدت سفينتان في وقت واحد، فوجد أن زاوية انخفاض السفينة الأولى الواقعة في اتجاه 38ه شرق الجنوب من المنارة هي 6¯23ه ووجد أن زاوية انخفاض السفينة الثانية الواقعة في الاتجاه 68ه غرب الجنوب من المنارة هي 18¯59ه . أوجد المسافة بين السفينتين


http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_2ships.JPG

نفرض أن السفينة الأولى تقع عند ب ، والسفينة الثانية تقع عند ج

<(ب أ ج) = 38 + 68 = 106 درجة ستينية

<(د ب أ) = 23 درجة ، 6 دقائق = 23.1 درجة ستينية

<(د ج أ) = 59 درجة ، 18 دقيقة = 59.3 درجة ستينية

المثلث أ ب د قائم الزاوية فى أ

أ ب = أ د / ظا23.1 = 120/0.42 = 285.7 متر

المثلث أ ج د قائم الزاوية فى أ

أ ج = أ د / ظا59.3 = 120/1.68 = 71 متر

المثلث ب أ ج

(ب ج)^2 = (ب أ)^2 + (ج أ)^2 - 2*(ب أ)(ج أ)جتا 106

(ب ج)^2 = (285.7)^2 + (71)^2 + 2*285.7*71*0.27

المسافة بين السفينتين = ب ج = 312 متر تقريبا

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (7)


أثبت أن :
ظا 81 - ظا 9 = 2÷ ظا 18



ظا81 = ظتا9 = 1/ظا9

ظا 81 - ظا 9 = 1/ظا9 - ظا9 = (1 - ظا^2(9))/ظا9

= 2*(1 - ظا^2(9))/2*ظا9 = 2/ظا18

حيث : ظا18 = 2*ظا9 / (1 ظا^2(9))

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (8)


شاهد رجل من نقطة في المستوى الأفقي المار بسفح تل أن زاوية ارتفاع قمة التل 15¯10درجة وبعد أن صعد مسافة 1000متر على مستوى يميل على الأفقي بزاوية 30¯7درجة وجدَ أن قياس زاوية ارتفاع قمة التل هي 40¯15درجة . أحسب ارتفاع التل.


http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_hillhieght.JPG

كما هو موضح بالرسم عاليه :

أ د = 1000*جتا7.5 = 990 متر تقريبا

هـ د = هـ1 ب = 1000*جا7.5 = 130 متر تقريبا

أ ب = ج ب / ظا10.25 = 5.5 ع ... حيث ع = ارتفاع التل

فى المثلث ج هـ1 هـ :

ج هـ1 = ع - هـ د = ع - 130

هـ1 هـ = ب د = أ ب - أ د = 5.5 ع - 990

ج هـ1 / هـ1 هـ = ظا15.66 = 0.28

(ع - 130 )/(5.5 ع - 990) = 0.28

ع = 272 متر تقريبا

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (9)


إذا كانت زاوية ارتفاع منطاد من محطة رصد على سطح الأرض تقع في جنوبه فكانت 35¯45 درجة وفي نفس الوقت كانت زاوية ارتفاعه من محطة ثانية شرق المحطة الأولى وعلى بعد 725 متر منها فكانت 22¯40درجة أوجد ارتفاع المنطاد


http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_ballon.JPG

تنويه :

ستكون الحسابات الى أقرب رقمين عشريين فقط
الأبعاد بالمتر

الزاوية 45 درجة+ 35 دقيقة = 45.58 درجة
الزاوية 40 درجة + 22 دقيقة = 40.36 درجة

ظا 45.58 = 1.02
ظا 40.36 = 0.85

من الرسم عاليه :

ع = ارتفاع المنطاد عن سطح الأرض
ف = المسافة الأفقية بين المحطة الأولى أ " جنوب المنطاد " والمسقط العمودى للمنطاد على سطح الأرض

ج ب = المسافة الأفقية بين المحطة الثانية ب " شرق المحطة الأولى " والمسقط العمودى للمنطاد على سطح الأرض
= جذر( ف^2 + 725^2 )

ع/ف = ظا45.58 = 1.02 ... ... ... ... (1)

ع/(ب ج) = ظا40.36 = 0.85 ... ... .... (2)

من المعادلتين (1) ، (2)

ع = 1118 متر تقريبا

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (10)

أ ب حـ ثلاث نقط ليست على استقامة واحدة وتقع في المستوى الأفقي المار بقاعدة برج القاهرة حـ ، وكان أ ب = 1924.360م ، ق<( أ ب حـ ) = 66.5ه، ق<( ب أ حـ ) = 40ه وزاوية ارتفاع قمة البرج د من أ هي 5.8ه . أحسب ارتفاع البرج لأقرب متر.


http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_tower.JPG

الزوايا موضحة بالرسم عاليه

العمل : نرسم ب هـ عمودى على أ ج

الحل :

ب هـ / أ ب = جا40 = 0.6427

ب هـ = 1924.36*0.6427 = 1236.954 متر

ب هـ / ب ج = جا73.5 = 0.9588

ب ج = 1236.954 / 0.9588 = 1290.079

فى المثلث أ ب ج :

(أ ج)^2 = (أ ب)^2 + (ب ج)^2 - 2*(أ ب)(ب ج)جتا66.5

= (1924.360)^2 + (1290.079)^2 - 2*(1924.360)(1290.079)(0.3987)

ومنها : أ ج = 1840.613 متر

فى المثلث أ د ج :

د ج عمودى على ج أ ( حيث ج أ يقع فى المستوى الأفقى للمثلث ج أ ب ، د ج عمودى على السطح الأفقى )

د ج / ج أ = ظا5.8 = 0.10157

د ج = 1840.613 * 0.10157 = 186.95 = 187 متر

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (11)


حـ ، د قلعتان على ضفة نهر رصدتا من مكانيين أ ، ب البعد بينهم 1350متر فوجد < حـ أ ب = 108درجة ، < د أ ب = 12¯ 43 درجة ، < حـ ب أ = 10¯ 32 درجة، < د ب أ = 12¯ 87 درجة . احسب البعد بين القلعتين


http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_2castles.JPG

تنويه :

الحسابات لأقرب رقمين عشريين للنسب المثلثية ، ولأقرب متر للأبعاد

الزوايا موضحة بالرسم عاليه

العمل :

نرسم أ د عمودى على ج ب ، ب هـ عمودى على أ د

الحل :

ب هـ / أ ب = جا 43.2 = 0.68

ب هـ = 1350 * 0.68 = 924 متر تقريبا

ب هـ / ب د = جا 49.6 = 0.76

ب د = 924/0.76 = 1213 متر تقريبا

(أ د)^2 = (أ ب)^2 + (د ب)^2 - 2*(أ ب)(د ب)(جتا 87.2)

= (1350)^2 + (1213)^2 - 2*1350*1213*0.048 = 3136664

أ د = 1771 متر تقريبا

أ و / أ ب = جا32.16 = 0.53

أ و = 1350*0.53 = 718 متر تقريبا

أ و / أ ج = جا39.84 = 0.64

أ ج = 718/0.64 = 1120 متر تقريبا

فى المثلث أ ج د :

أ ج = 1120 متر ، أ د = 1771 متر ، زاوية ج أ د = 64.8

ف^2 = (ج د)^2 = (أ ج)^2 + (أ د)^2 - 2*(أ ج)(أ د)(جتا64.8)

ومنها ف = 1650 متر تقريبا

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (12)


أثبت أن :
ظا^ -1 1 + ظا^-1 2 + ظا^-1 3 = ط

نفرض أن :

ظا^-1 (ا) = هـ ، ظا^-1 (2) = و ، ظا^-1 (3) = ى

ظاهـ = 1
ظاو = 2
ظاى = 3

ظا(هـ + و) = (ظاهـ + ظاو)/(1 - ظاهـ ظاو) = - 3

ظا[ى + (هـ + و)] = [ ظاى + ظا(هـ + و)]/[1 - ظاى ظا(هـ + و)]

= [ 3 + (- 3)]/[1 - (3)(-3)] = 0

هـ + و + ى = ط ( فى حالة الزوايا تقع فى الربع الأول )

أما إذا وقعت فى الربع الثالث بعضها أو جميعها

فتكون القيمة : 2ط أو 3ط أو 4ط

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (13)


أثبت أن :
( جا 5 س + جا 3 س - جا 4 س ) ÷ ( جتا 5 س + جتا 3 س - جتا 4 س ) = ظا 4 س

حيث جتا س =/= 1/2


http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_proo3.JPG

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (14)

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_h4.jpg

جتا 70 = جا 20
جتا ( 30 + 40 ) = جا20
جتا 30 جتا 40 ـــ جا 30 جا 40 = جا 20
جتا 30 جتا40 = جا30 جا 40 + جا 20
بالقسمة على جا 30 جا 40
ظتا 30 ظتا 40 = 1 + جا 20 / ( 1 /2 فى 2 جا 20 جتا 20 )
....................= 1 + 1 / جتا 20
....................= 1 + قا 20

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (15)

http://www.al3ez.net/vb/../upload/a/ahmad_saadeldin_trigonequat5.JPG

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_equat.GIF

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (16)

أثبت أن :
ظا^-1 س - ظا^-1 ص = ظتا^-1 ص - ظتا^-1 س

نفرض أن :

ظا^-1 (س) = هـ

ظا^-1 (ص) = ى

اذن :

ظتا^-1 (ص) = [(2ك+1)ط/2] - ى

ظتا^-1 (س) = [(2ك+1)ط/2] - هـ

ظا^-1 (س) - ظا^-1 (ص) = هـ - ى

ظتا^-1 (ص) - ظتا^-1 (س) = [(2ك+1)ط/2] - ى - [(2ك+1)ط/2] + هـ = هـ - ى

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (17)

http://www.al3ez.net/upload/a/almonkez_12.JPG

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_trigonequat1.JPG

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (18)

http://www.al3ez.net/upload/a/almonkez_13.JPG

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_trigonequat2.JPG

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (19)

http://www.al3ez.net/upload/a/almonkez_14.JPG

( جتاج + جاج ) ( جتا2ج + حا2ج ) =

= ( جتاج جتا2ج + جاج جا2ج ) + ( جاج جتا2ج + جتاج جا2ج )

= جتا(2ج - ج) + جا(2ج + ج) = جتاج + جا3ج

حيث :

جتا(3ج - ط/2) = جتا3ج .جتاط/2 + جا3ج .جاط/2 = جا3ج

فيكون :

( جتاج + جاج ) ( جتا2ج + حا2ج ) = جتاج + جتا(3ج - ط/2)

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (20)

http://www.al3ez.net/upload/a/almonkez_15.JPG


ظتا^2 ج (قاج - 1)/ (1 + جاج) + قا^2 ج (جاج - 1)/ (1 + قاج)

= [ ظتا^2 ج * (قاج - 1) * ( قاج + 1) + قا^2 ج * (جاج - 1) * (جاج + 1) ] / [ ( جاج + 1)*(قاج + 1) ]

= [ ظتا^2 ج * (قا^2 ج - 1) + قا^2 ج * (جا^2 ج - 1) ] / [ ( جاج + 1)*(قاج + 1) ]

= [ ظتا^2 ج * ظا^2 ج + قا^2 ج * ( - جتا^2 ج ) ] / [ ( جاج + 1)*(قاج + 1) ]

= [ 1 - 1 ] / [ ( جاج + 1)*(قاج + 1) ] = 0

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (21)

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35036.jpg


http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35037.jpg


http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35038.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (22)


http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35040.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35041.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (23)

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35049.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (24)

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35050.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (25)


http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35051.jpg


http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35052.jpg


http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35053.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (26)

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35067.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35068.jpg
معذرة : ارتفاع الطائرة 600 متر وليس 6000 متر كما بالرسم

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35069.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم (27)

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35070.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35071.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم ( 28 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35072.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم ( 29 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35081.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35082.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين رقم ( 30 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35083.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (31)

حل المعادلة : قاس + ظاس = جذر3


بتربيع الطرفين

قا^2 س + ظا^2 س + 2 قاس ظاس = 3

1 + ظا^2 س + ظا^2 س + 2 قاس ظاس = 3

ظا^2 س + قاس ظاس = 1

جا^2 س + جاس = جتا^2 س = 1 - جا^2 س

2 جا^ س + جاس - 1 = 0

(2 جاس - 1)(جاس + 1) = 0

جاس = 1/2
س = 30 ، تحقق المعادلة( فى الدورة الأولى )
س = 150 ، لا تحقق المعادلة

أو

جاس = - 1 ... ... ... س = 270 ، لا تحقق المعادلة

[أحمد سعد الدين]

تمرين (32)

اثبت أن : 2*ظا^-1 (1/3) + ظا^-1 (1/7) = ط / 4


ظاهـ = 1/3
ظاى = 1/7
ظا2هـ = ( 2 ظاهـ ) / ( 1 - ظا^2 هـ ) = 3/4

ظا( 2هـ + ى ) = [ ظا2هـ + ظاى ] / [ 1 - ظا2هـ ظاى ]
= [ 3/4 + 1/7 ] / [ 1 - ( 3/4 )( 1/7 )] = 1

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 5 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثالث

جاى = 1/5جذر2 ، جتاى = 7/5جذر2
جاهـ = 1/جذر10 ، جتاهـ = 3/جذر10
جا2هـ = 2 جاهـ جتا2هـ = 3/5
جتا2هـ = 4/5

جا( 2هـ + ى ) = جا2هـ جتاى + جتا2هـ جاى = 1/جذر2

( 2هـ + ى ) = ط/4 أو 3 ط/4
( 2هـ + ى ) تقع فى الربع الأول أو الربع الثانى

إذن :

( 2هـ + ى ) = ط/4 وتقع فى الربع الأول

[أحمد سعد الدين]

تمرين (33)

أثبت أن : جا^-1 4/5 + جتا^-1 12/13 + جا^-1 16/65 = ط / 2

نفرض أن :
جا^-1 4/5 = س ، إذن : جاس = 4/5 ، جتاس = 3/5

جتا^-1 12/13 = ص ، إذن : جتاص = 12/13 ، جاص = 5/13

جا^-1 16/65 = ع ، إذن : جاع = 16/65 ، جتاع = 63/65

جا(س + ص) = جاس جتاص + جتاس جاص = 4/5 * 12/13 + 3/5 * 5/13 = 63/65
جتا(س + ص) = 16/65

حا(س + ص + ع) = جا(س + ص) جتاع + جتا(س + ص) جاع = 63/65 * 63/65 + 16/65 * 16/65 = 1

س + ص + ع = ط/2

للتحقق :

جتا(س + ص + ع) = جتا(س + ص) جتاع - جا(س + ص) جاع = 16/65 * 63/65 - 63/65 * 16/65 = 0

س + ص + ع = ط/2

[أحمد سعد الدين]

تمرين (34)

أثبت أن ظا^-1 1/3 + ظا^-1 1/2 = ط/4


نفرض أن :

ظا^-1(1/3) = هـ ، ... ... ظاهـ = 1/3
ظا^-1(1/2) = ى ، .... ... ظاى = 1/2

ظا(هـ + ى) = [ظاهـ + ظاى]/[1 - ظاهـ ظاى]
= [1/3 + 1/2]م[1 - 1/3*1/2] = 1

(هـ + ى) = ط/4

[أحمد سعد الدين]

تمرين (35)

حل المعادلة : ظا^-1( س + 1 ) + ظا"^-1 ( س ــ 1 ) = ظا^-1(8/31)

نضع المعادلة على الصورة : هـ + ى = ع

حيث :

ظاهـ = (س + 1) ، ظاى = (س - 1) ، ظاع = 8/31 = 0.258

زاوية ع = 14.47 درجة (فى الربع الأول) أو ط + 14.47 (فى الربع الثالث)

ظا(هـ + ى) = [ظاهـ + ظاى]/[1 - ظاهـ ظاى] = 2 س/[2 - س^2]

8 س^2 + 62 س - 16 = 0
(4 س - 1)(2 س + 16) = 0

س = 1/4 ، أو س = - 8

لتحقيق المعادلة مع الوضع فى الاعتبار تقدير الزوايا فى الدورة الأولى فقط

عند س = 1/4

ظاهـ = 1/4 + 1 = 1.25
زاوية هـ = 51.34 (فى الربع الأول) أو ط + 51.34 (فى الرع الثالث)

ظاى = 1/4 - 1 = - 0.75
زاوية ى = - 36.86 (فى الربع الرابع) أو ط - 36.87 (فى الربع الثانى)

(هـ + ى) = 51.34 - 36.87 = 14.47 درجة (فى الربع الأول)

وحيث زاوية ع = 14.47 ، ... ... تتحقق المعادلة للزاوية ع فى الربع الأول


عند س = - 8

ظاهـ = - 8 + 1 = - 7
زاوية هـ = - 81.87 (فى الربع الرابع) أو ط - 81.87 (فى الربع الثانى)

ظاى = - 8 - 1 = - 9
زاوية ى = - 83.66 (فى الربع الرابع) أو ط - 83.66 (فى الربع الثانى)

(هـ + ى) = - 81.87 - 83.66 = - 165.52 = 194.47 = ط + 14.47 (فى الربع الثالث)

وحيث زاوية ع = ط + 14.47 ، ... ... تتحقق المعادلة للزاوية ع فى الربع الثالث

[أحمد سعد الدين]

تمرين (36)

حل المعادلتين الآتيتين :

ظا^-1 س + ظا^-1 ص = ط / 4
س ــ ص = 1

نضع هـ + ى = ط/4 (فى الربع الأول)

حيث :

ظاهـ = س ، ظاى = ص

ظا(هـ + ى) = (س + ص)/(1 - س*ص) = ظاط/4 = 1

س + ص = 1 - س*ص

بالتعويض : س = 1 + ص

ص^2 + 3 ص = 0
ص (ص + 3) = 0

ص = 0 ، ... ... ومنها س = 1

أو

ص = - 3 ، ... ... ومنها س = - 2

للتحقيق :

عند ص = 0 ، س = 1

ظاى = 0 ، .... زاوية ى = 0 أو ط أو 2 ط

ظاهـ = 1 ، ,,, زاوية هـ = ط/4 (فى الربع الأول) أو 5 ط/4 (فى الربع الثالث)

(هـ + ى) = ط/4 + 0 = ط/4 تحقق المعادلة للزاوية فى الربع الأول


عند ص = - 3 ، س = - 2

ظاى = - 3 ، ... زاوية ى = - 71.57 (فى الربع الرابع)

ظاهـ = - 2 ، ... زاوية هـ = - 63.43 (فى الربع الرابع)

(هـ + ى) = - 135 = 225 = 5 ط/4 (فى الربع الثالث)

لا تحقق المعادلة حيث (هـ + ى) = ط/4 (فى الربع الأول)

[أحمد سعد الدين]

تمرين (37)

أثبت أن: ظا^-1 س + ظا^-1 ص = ظا^-1 [( س + ص ) / ( 1 ــ س ص)]

نضع المطلوب على الصورة :

هـ + ى = ع

حيث :

ظا^-1(س) = هـ ، ... ... ظاهـ = س

ظا^-1(ص) = ى ، ... ... ظاى = ص

ظا^-1(س + ص)/(1 - س ص) = ع ، ... ظاع = (س + ص)/(1 - س ص)

ظا(هـ + ى) = [ظاهـ + ظاى]/[1 - ظاهـ ظاى] = [س + ص]/[1 - س ص]

إذن :

ظا(هـ + ى) = ظاع

هـ + ى = ع

ظا^-1 س + ظا^-1 ص = ظا^-1 [( س + ص ) / ( 1 ــ س ص)]

[أحمد سعد الدين]

تمرين (38)

أثبت أن : جاس جاص = جا^2[(س + ص )/2 ] ـــ جا^2[( س ــ ص )/2 ]

الطرف الأيسر = جا^2[(س + ص)/2] - جا^2[(س - ص)/2] = [جا(س + ص)/2 + جا(س - ص)/2][جا(س + ص)/2 - جا(س -ص)/2] =

= 2 جاس/2 جتاص/2 * 2 جتاس/2 جاص/2 = 2 جاس/2 جتاس/2 * 2 جاص/2 جتاص/2 = جاس*جاص = الطرف الأيمن

أو

الطرف الأيمن = جاس جاص = 1/2*[جتا(س - ص) - جتا(س + ص)]

= 1/2*[1 - 2 جا^2[(س - ص)/2] - 1 + 2 جا^2[(س + ص)/2]]

= جا^2[(س + ص)/2] - جا^2[(س - ص)/2] = الطرف الأيسر

[أحمد سعد الدين]

تمرين (39)

أثبت أن :جاس جاص = جتا^2[(س ــ ص )/2] ـــ جتا^2[( س + ص )/2]


الطرف الأيمن = جاس جاص = 1/2*[جتا(س - ص) - جتا(س + ص)]

= 1/2*[2 جتا^2[(س - ص)/2] - 1 - 2 جتا^2[(س + ص)/2] + 1]

= جتا^2[(س - ص)/2] - جتا^2[(س + ص)/2] = الطرف الأيسر

أو

الطرف الأيسر = جتا^2[(س - ص)/2] - جتا^2[(س + ص)/2]

= [جتا[(س - ص)/2] - جتا[(س + ص)/2]][جتا[(س - ص)/2] + جتا[(س + ص)/2

= 2 جاس/2 جاص/2 * 2 جتاس/2 جتاص/2 =

= 2 جاس/2 جتاس/2 *2 جاص/2 جتاص/2 = جاس جاص = الطرف الأيمن

[أحمد سعد الدين]

تمرين (40)

أثبت أن : [ظا( أ + ب)]/ [ ظتا( أ ــ ب)] = (جا^2أ ـــ جا^2ب) /( جتا^2 أ ــ جا^2ب)

ظا(أ + ب) = [ظاأ + ظاب]/[1 - ظاأ ظاب] =

= [جاأ/جتاأ + جاب/جتاب]/[1 - جاأ جاب/جتاأ جتاب]

= [جاأ جتاب + جاب جتاأ]/[جتاأ جتاب - جاأ جاب]

وبالمثل

ظا(أ - ب) = [جاأ جتاب - جاب جتاأ]/[جتاأ جتاب + جاأ جاب]

الطرف الأيمن = [جاأ جتاب + جاب جتاأ]/[جتاأ جتاب - جاأ جاب]*[جاأ جتاب - جاب جتاأ]/[جتاأ جتاب + جاأ جاب]

= [جا^2 أ جتا^2 ب - جا^2 ب جتا^2 أ]/[جتا^2 أ جتا^2 ب - جا^2 أ جا^2 ب]

البسط = [جا^2 أ جتا^2 ب - جا^2 ب جتا^2 أ] = جا^2 أ*(1 - جا^2 ب) - جا^2 ب *(1 - جا^2 أ)

= جا^2 أ - جا^2 أ*جا^2 ب - جا^2 ب + جا^2 أ*جا^2 ب = جا^2 أ - جا^2 ب

المقام = [جتا^2 أ جتا^2 ب - جا^2 أ جا^2 ب] = جتا^2 أ جتا^2 ب - (1 - جتا^2 أ)(1 - جتا^2 ب)

= جتا^2 أ جتا^2 ب - 1 + جتا^2 أ + جتا^2 ب - جتا^2 أ جتا^2 ب = جتا^2 أ + جتا^2 ب - 1

= جتا^2 أ - جا^2 ب

ظا(أ + ب) = [ظاأ + ظاب]/[1 - ظاأ ظاب] = [جا^2 أ - جا^2 ب]/[جتا^2 أ - جا^2 ب]



حل آخر :

[ظا( أ + ب)]/ [ ظتا( أ ــ ب)] = [جا(أ + ب) جا(أ - ب)]/[جتا(أ + ب)جتا(أ - ب)]

= 1/2[جتا2 ب - جتا2 أ]/1/2[جتا2 أ + جتا2 ب]

= [1 - 2 جا^2 ب - 1 + 2 جا^2 أ]/[2 جتا^2 أ - 1 + 1 - 2 جا^2 ب]

= [جا^2 أ - جا^2 ب]/[جتا^2 أ - جا^2 ب]

[أحمد سعد الدين]

تمرين (41)


اذا كان ظا أ = ك جا ب / ( م + ك جتا ب)
أثبت أن : ظا ( ب ــ أ ) = م جاب / ( ك + م جتا ب)

ظا(ب - أ) = [ظاب - ظاأ]/[1 + ظاب ظاأ]

البسط = ظاب - ظاأ = جاب/جتاب - [ك جاب/(م + ك جتاب)]

= [م جاب + ك جاب جتاب - ك جاب جتاب]/[جتاب(م + ك جتاب)]

= م جاب /[جتاب(م + ك جتاب)]

المقام = 1 + ظاب ظاأ = 1 + (ك جا^2 ب)/[جتاب(م + ك جتاب)]

= [[جتاب(م + ك جتاب)] + ك جا^2 ب]/[جتاب(م + ك جتاب)]

= [م جتاب + ك (جتا^2 ب + جا^2 ب)]/[جتاب(م + ك جتاب)]

= (ك + م جتاب)/[جتاب(م + ك جتاب)]

ظا(ب - أ) = م جاب/(ك + م جتاب)

[أحمد سعد الدين]

تمرين (42)

أذا كان ظا أ = (ن جا ب جتا ب) / ( 1 ــ ن جا^2ب)
أثبت أن: ظا ( ب ــ أ ) = ( 1 ــ ن ) ظاب


ظاأ = (ن جاب جتاب)/(1 - ن جا^2 ب) ، ... ... بقسمة البسط والمقام ÷ جتا^2 ب

ظاأ = ن ظاب/(قا^2 ب - ن ظا^2 ب) = ن ظا ب/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]

ظا(ب - أ) = [ظاب - ظاأ]/[1 + ظاب ظاأ]

البسط = ظاب - ظاأ = ظاب - (ن ظا ب/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[ظاب + (1 - ن) ظا^3 ب - ن ظاب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[(1 - ن)ظاب + (1 - ن)ظا^3 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[(1 - ن)ظاب*(1 + ظا^2 ب)]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[(1 - ن)ظاب*قا^2 ب]

المقام = 1 + ظاب ظاأ = 1 + ظاب* ن ظا ب/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[1 + (1 - ن)ظا^2 ب + ن ظا^2 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]*[1 + ظا^2 ب - ن ظا^2 ب + ن ظا^2 ب]

= [1/[1 + (1 - ن)ظا^2 ب]]* قا^2 ب

ظا(ب - أ) = (1 - ن) ظاب

[أحمد سعد الدين]

تمرين (43)

عصا طولها ( أ ) قدم وضعت رأسيا علي حافة حائط رأسي أرتفاعه ( 3 أ) قدم.
وقف رجل ليرصد بحيث كانت عينه والحافة العليا للعصا في مستقيم أفقي واحد فوجد أن زاويه انخفاض قاعدة الحائط ضعف زاوية انخفاض قمة الحائط.
احسب بالنسبة الي ( أ ) المسافة الافقية التي بين عين الراصد وبين الطرف العلوي للعصا.



http://www.al3ez.net/upload/b/ahmad_saadeldin_assending angles1.JPG

[أحمد سعد الدين]

تمرين (44)


أثبت أن :
ظا20 ظا 30 + ظا30 ظا40 + ظا40 ظا20 =1




نضع الطرف الأيمن على الصورة :

ظا30 * ظا(30 - 10) + ظا30 * ظا(30 + 10) + ظا(30 + 10)*ظا(30 - 10)

بالتعويض عن قيمة كل من :

ظا(30 - 10) = (ظا30 - ظا10)/(1 + ظا30*ظا10)

ظا(30 + 10) = (ظا30 + ظا10)/(1 - ظا30*ظا10)

الطرف الأيمن =
ظا30*(ظا30 - ظا10)/(1 + ظا30*ظا10) +
ظا30*(ظا30 + ظا10)/(1 - ظا30*ظا10) +
(ظا30 - ظا10)/(1 + ظا30*ظا10)*(ظا30 + ظا10)/(1 - ظا30*ظا10)

= [ 3ظا^2(30) + 2ظا^2(30)*ظا^2(10) - ظا^2(10) ]/ [ 1 - ظا^2(30)*ظا^2(10) ]

بالتعويض عن قيمة ظا30 = 1/جذر3 ... ... ظا^2(30) = 1/3

الطرف الأيمن =
[1 + 2/3 ظا^2(10) - ظا^2(10)]/[1 - 1/3 ظا^2(10)] =

[1 - 1/3 ظا^2(10)]/[1 - 1/3 ظا^2(10)] = 1

[أحمد سعد الدين]

تمرين (45)

أثبت أن:
[ (جتا2س +جتا12س) / ( جتا6 س +جتا8 س)] + [ ( جتا7س ــ جتا3 س ) / ( جتا س ــ جتا3 س ) ] + ( 2جا4 س / جا2 س ) = 0


نستخدم العلاقات التالية :

جتاج + جتاد = 2*جتا[(ج + د)/2]*جتا[(ج - د)/2]
جتاج - جتاد = - 2*جا[(ج + د)/2]*جا[(ج - د)/2]
جا2 ج = 2*جاج جتاج
جا(ج - د) = جاج جتاد - جتاج جاد


[ (جتا2س +جتا12س) / ( جتا6 س +جتا8 س)] = [2*جتا7س جتا5س]/[2*جتا7س جتاس] = جتا5س / جتاس

[( جتا7س ــ جتا3 س ) / ( جتا س ــ جتا3 س )] = [- 2*جا5س جا2س]/[- 2*جا2س جا- س] = - جا5 س / جاس

( 2جا4 س / جا2 س ) = 4*جا2 س جتا2 س / جا2 س = 4*جتا2 س

المقدار = جتا5س / جتاس - جا5 س / جاس + 4*جتا2 س

= [جاس جتا5 س - جاس جتا5 س]/(جاس جتاس) + 4*جتا2 س

= جا(- 4س)/(جاس جتاس) + 4*جتا2س

= [- 2 جا2س جتا2س]/[1/2* جا2س] + 4*جتا2س

= - 4 جتا2 س + 4 جتا2 س = 0

[أحمد سعد الدين]

تمرين (46)


تحقق أن:
ظا5 س + ظا5 س × ظا7 س × ظا2 س = ظا 7 س - ظا 2 س
س عدد حقيقي من أجله المساواة محققة.


ظا5 س = ظا(7 س - 2 س) = [ظا7 س - ظا2 س]/[1 + ظا7 س ظا2 س]

ومنها : [1 + ظا7 س ظا2 س] = [ظا7 س - ظا2 س]/ظا5 س

الطرف الأيمن للمعادلة

ظا5 س + ظا5 س × ظا7 س × ظا2 س = ظا5 س*[1 + ظا7 س ظا2 س]

= [ظا7 س - ظا2 س]*ظا5 س/ظا5 س

= [ظا7 س - ظا2 س] ... ، بشرط
س عدد حقيقى ولا تساوى ك ط أو (2 ك + 1) ط/2
حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...

[أحمد سعد الدين]

تمرين (47)

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36442.jpg


[جاأ + جاب + جاج] ÷ [جتاأ + جتاب + جتاج] = جاب / جتاب

جاأ جتاب + جاب جتاب + جاج جتاب = جاب جتاأ + جاب جتاب + جاب جتاج

جاأ جتاب + جاج جتاب = جاب جتاأ + جاب جتاج ... ... ... (1)

جتاب*[جاأ + جاج] = جاب*[جتاأ + جتاج]

ظاب = [جاأ + جاج] ÷ [جتاأ + جتاج] = [2*جا(أ + ج)*جتا(أ - ج)/2] ÷ 2*جتا(أ + ج)/2*جتا(أ - ج)/2]

ظاب = ظا(أ + ج)/2 ... ... ... ... (2)

زاوية ب = ك*ط + (أ + ج)/2 ... ... حيث ك = 0 ، 1 ، 2 ، ..

عند ك = 0
ب = (أ + ج)/2
وتكون زاوية ب هى الوسط الحسابى بين الزاويتين أ ، ج


وأيضا من المعادلة (1) :

جاب جتاأ - جتاب جاأ = جاج جتاب - جتاج جاب

جا(ب - أ) = جا(ج - ب)

إما ب - أ = ج - ب
أى ب = (أ + ج)/2

وهى تحقق المعادلة رقم (2)
وتكون زاوية ب هى الوسط الحسابى بين الزاويتين أ ، ج


أو

(ب - أ) = ك ط - (ج - ب)
وهى لا تحقق المعادلة رقم (2)

[أحمد سعد الدين]

تمرين (48)


يقف رجل طوله 175 سم امام يافطه محل طولها مترين وترتفع 4 امتار عن سطح الارض
فأذا كان بعد الرجل عن المحل = س من الامتار اوجد زاويه ابصار الرجل لليافطه بدلاله س
ثم اوجد زاويه الابصار عندما يكون الرجل على بعد 6 متر من المحل


http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36890.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (49)


أثبت أن :

ظــا(س + ص) = [جــا²(س) - جــا²(ص)]/[جــا(س)×جـتــا(س) - جــا(ص)×جـتــا(ص)]


جا^2 س - جا^2 ص = 1/2*[(1 - جتا2 س) - (1 - جتا2 ص)] =
= 1/2*[جتا2 ص - جتا2 س] = 1/2*- 2*جا(ص + س)*جا(ص - س)
= جا(س + ص)*جا(س - ص)

جا س جتا س - جا ص جتا ص = 1/2*[جا2 س - جا2 ص)
= 1/2*2*جتا(س + ص) جا(س - ص) = جتا(س + ص) جا(س - ص)

الطرف الأيسر = [جا^2 س - جا^2 ص] / [جا س جتا س - جا ص جتا ص]
= [جا(س + ص)*جا(س - ص)] / [جتا(س + ص) جا(س - ص)] = ظا(س + ص) = الطرف الأيمن

[أحمد سعد الدين]

تمرين (50)


إذا كان حاأ+حاب+حاحـ = 0 , حتاأ+حتاب+حتاحـ =0
فأثبت أن :
1) حا2أ+حا2ب+حا2حـ = 0
2) حتا2أ + حتا2ب + حتا2حـ =0



http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_proo4.JPG
http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_proo5.JPG
http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_proo6.JPG

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 51 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39378.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 52 )


عين طول نصف قطر دائرة مرسومة خارج المثلث ( إثباتا )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39585.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 53 )


عين طول نصف قطر الدائرة المرسومة دأخل المثلث ( إثباتا )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39586.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 54 )


حل المعادلة : ظاس + 4 قاس = -8

في الفترة ] 0 ، 1200 [



ظا س = - 4 *(2 + قا س)
ظا^2 س = 16* (4 + 4 قا س + قا^2 س) = 64 + 64 قا س + 16 قا^2 س
وحيث : قا^2 س - ظا^2 س = 1
15 قا^2 س + 64 قا س + 65 = 0
(5 قا س + 13) (3 قا س + 5) = 0
قاس = - 13/5 ـــــــــــــــــــــــــــــ> جتا س = - 5/13 ،
ومنها : س = 112.62 فى الربع الثانى أو س = 247.38 فى الربع الثالث ( فى الدورة الأولى )
أو
قا س = - 5/3 ــــــــــــــــــــــــــــــ> جتا س = - 3/5
ومنها : س = 126.87 فى الربع الثانى أو س = 233.13 فى الربع الثالث (فى الدورة الأولى)

قيم س التى تحقق المعادلة وتقع بين [0 ، 1200] هى : ( بالدرجة الستينية )

112.62
112.62 + 2 ط = 472.62
112.62 + 4 ط = 832.62
112.62 + 6 ط = 1192.62

247.38
247.38 + 2 ط = 607.38
247.38 + 4 ط = 967.38

أو

126.87
126.87 + 2 ط = 486.87
126.87 + 4 ط = 846.87

233.13
233.13 + 2 ط = 593.13
233.13 + 4 ط = 953.13

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 55)


http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39596.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 56)


إثبت صحة المتطابقة

( 1 - جا^2 س ) ( 1 + ظا^2 س ) = 1



( 1 - جا^2 س ) ( 1 + ظا^2 س ) = جتا^2 س × قا^2 س = 1

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 57 )


أوجد قيمة

جتا^4 ( أ / 2 ) بدلالة جتا أ ، جتا2 أ


جتا 2 أ = 2 جتا^2 أ - 1 ــــــــــــــــــــــــــــــــــ> جتا^2 أ = 1/2* (1 + جتا 2أ)
جتا أ = 2 جتا^2 (أ/2) - 1 ــــــــــــــــــــــــــــــ> جتا^2 (أ/2) = 1/2* (1 + جتا أ)

جتا^4 (أ/2) = [1 /2* (1 + جتا أ) ]^2 = 1/4* [1 + 2 جتا أ + جتا^2 أ ]

= 1/4* [1 + 2 جتا أ + 1/2* (1 + جتا 2أ) ] = 1/8* [جتا 2أ + 4 جتا أ + 3 ]

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 58 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39766.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 59 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39893.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 60 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39892.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 61 )


أ ب جـ مثلث متساوي الساقين فيه أ ب = أ جـ = 68.6 سم
مرسوم دأخل دائرة طول نصف قطرها = 50 سم
أوجد طول ب جـ ، ومساحة سطح المثلث أ ب جـ


2 نق = أ ب / جاج = ب ج / جاأ
جاج = 68.6 ÷ (2 × 50 ) = 0.686
زاوية ج = 43.314 درجة
زاوية أ = 180 - 2*43.314 = 93.371 درجة
جاأ = 0.998
ب ج = 2*50*0.998 = 99.8 سم

مساحة المثلث أ ب ج = 1/2*(ب ج)(أ ب)*جاب

= 1/2*99.8*68.6*0.686 = 2348.274 سم^2

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 62 )

أ ب جـ مثلث فيه قياس زاوية ( ب أ جـ ) = 120 درجة
، جا ب + جا جـ = جا 70
أوجد زاويتي ب ، جـ وإذا كان ب جـ = 15 سم
أوجد طول كلا من الضلعين الأخرين

جاب + جاج = 2 جا(ب + ج)/2 . جتا(ب - ج)/2 = جا70

وحيث زاوية ب + زاوية ج = 180 - 120 = 60 درجة

2*جا30*جتا(ب - ج)/2 = جا70

جتا(ب - ج)/2 = جا70 = جتا(90 - 70) = جتا20

ب - ج = 2*20 = 40 درجة

ب + ج = 60 درجة

زاوية ب = 50 درجة ، زاوية ج = 10 درجة


ب ج/جا120 = أ ج/جا50 = أ ب/جا10

جا120 = 0.866 ، جا50 = 0.766 ، جا10 = 0.173

ومنها :

أ ج = 13.267 = 13 سم تقريبا

أ ب = 2.996 = 3 سم تقريبا

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 63 )



أ ب جـ مثلث فيه أ جـ = 1080 سم ، جتا ب = 40 / 41
ظا جـ = 7 / 24
أوجد قيمة كلا من أ ب ، ب جـ

جتاب = 40/41 ــــــــــــــ> جاب = 9/41

ظاج = 7/24 ــــــــــــــــ> جاج = 7/25 ، جتاج = 24/25

زاوية أ = 180 - (ب + ج)
جاأ = جا(ب + ج) = جاب جتاج + جتاب جاج
= 9/41 × 24/25 + 40/41 × 7/25 = 0.4839

أ ج/جاب = أ ب/جاج = ب ج/جاأ

1080*41/9 = (أ ب)*25/7 = (ب ج)/0.4839

ومنها :

أ ب = 1377.6 سم

ب ج = 2380.788 = 2380.8 سم تقريبا

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 64 )



أ ب جـ مثلث محيطه = 16 سم ، ق ( أ ) = 50 درجة

ق ( ب ) = 56 درجة أوجد أطوال أضلاع المثلث



ق (ج) = 180 - ( 50 + 56 ) = 74 درجة

جا أ = 0.766 ، جا ب = 0.829 ، جا ج = 0.9612

أَ/جاأ = بَ/جاب = جَ/جاج = (أَ + بَ + جَ)/(جاأ + جاب + جاج)

أ/0.766 = بَ/0.829 = جَ/0.9612 = 16/2.556

ومنها :

أَ = 4.8 سم ، بَ = 5.2 سم ، جّ = 6 سم

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 65 )


أ ب جـ مثلث فيه أ َ = 5 سم ، ق ( ب ) = 120 درجة

ومساحة سطح المثلث = 10 جذر3 سم مربع أحسب طول جـ


مساحة المثلث = 1/2*أَ*جَ جاب

10 جذر3 = 1/2 × 5 × جَ × جذر3 ÷ 2

جَ = 8 سم

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 66 )


أ ب جـ مثلث فيه أ َ = 7 سم ، ب َ = 9 سم ، جـ َ = 12 سم

أوجد

* قياسات أكبر زواياه

* طول نصف قطر الدائرة المارة برؤوسه

* مساحة سطح المثلث أ ب جـ



أكبر زاوية تقابل أطول ضلع فى المثلث = زاوية ج

جَ^2 = أَ^2 + بَ^2 - 2 أَ.بّ جتاج

144 = 49 + 36 - 84 جتاج ... ومنها : جتاج = - 0.707

زاوية ج = 135 درجة

2 نق = جَ / جاج = 12 / 0.707 ... ومنها : نق = 8.5 سم تقريبا

مساحة المثلث = 1/2*أَ.بَ جاج = 1/2 × 7 × 6 × 0.707 = 14.85 سم^2 تقريبا

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 67 )


أ ب جـ مثلث فيه أ َ : ب َ : جـ َ = 3 : 5 : 7

أوجد النسبة بين 2 جا أ : 3 جا ب : 5 جا جـ


نفرض أن :

أَ = 3 م ، بَ = 5 م ، ج = 7 م

أَ/جاأ = بَ/جاب = جَ/جاج

3 م/جاأ = 5 م/جاب = 7 م/جاج

جاب = 5 جاأ/3 .... ومنها : 3 جاب = 5 جاأ

جاج = 7 جاأ/3 .... ومنها : 5 جاج = 35 جاأ/3

2 جاأ : 3 جاب : 5 جاج = 2 جاأ : 5 جاأ : 35 جاأ/3

= 6 : 15 : 35

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 68 )


أ ب جـ د متوازي أضلاع فيه ق ( أ ) = 120

ومحيطه = 15 سم وطول القطر الأكبر = 7 سم

أوجد طول كلا من أ ب ، ب جـ


القطر الأكبر يقابل الزاوية 120 درجة

(ب د)^2 = (أ ب)^2 + (أ د)^2 - 2 (أ ب)(أ د) جتاأ

حيث :
(أ د) = (ب ج) ، (ب د) = 7 سم ، زاوية أ = 120 درجة
(أ ب) + (ب ج) = 15/2 ... ومنها : (ب ج) = 15/2 - (أ ب)

49 = (أ ب)^2 + (15/2 - أ ب)^2 + (أ ب)(15/2 - أ ب)

4 (أ ب)^2 - 30 (أ ب) + 29 = 0

باستخدام القانون العام لحل المعادلات من الدرجة الثانية ، ينتج أن :

أ ب = 6.36 أو 1.14

ويكون أحدهما طول (أ ب) ، والقيمة الأخرى طول (ب ج)

للتحقق :

المحيط = 2 (أ ب + ب ج) = 2 (6.36 + 1.14) = 2 × 7.5 = 15 سم

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 69 )


أ ب جـ مثلث فيه أ َ : ب َ = 2 : 3 ، أ َ : جـ َ = 1 : 2

أوجد قياس ( أ )



أَ/بَ= 2/3 ، أَ/جَ = 1/2 ، ومنها : بَ/جَ = 3/4

أَ : بَ : جَ = 2 : 3 : 4

نفرض أن :

أَ = 2 م ، بَ = 3 م ، جَ = 4 م

أَ^2 = بَ^2 + جَ^2 - 2 أَ.بَ جتاأ

(2 م)^2 = (3 م)^2 + (4 م)^2 - 2 (3 م)(4 م).جتاأ

ومنها : جتا أ = 1/2

زاوية أ = 60 درجة

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 70 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39975.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 71 )


أ ب قطر في دأئرة طوله = 20سم رسم الوتر أ جـ بحيث قياس
زاوية ( ب أ جـ ) = 48 درجة
أوجد طول القوس الأصغر ( أ جـ )


نق = 20/2 = 10 سم

القوس الأصغر (أ ج) يقابل الزاوية الحادة أ ب ج
حيث زاوية أ ج ب نصف قطرية = 90 درجة = ط/2 بالتقدير الدائرى

زاوية أ ب ج = ط/2 - 48 ط/180 = 7 ط /30

طول القوس الأصغر أ ج = نق*(7 ط/30) = 10 × 7 × 22/7 ÷ 30 = 22/3 سم

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 72 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40134.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3283/40135.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 73 )

اثبت أن : ظا^-1 (أ) + ظا^-1 (ب) = ظا^-1 [(أ + ب)/(1 - أ.ب)]
حيث : ظا^-1 بمعنى الزاوية التى ظلها


نفرض أن :
ظا^-1 (أ) = س ـــ> ظاس = أ
ظا^-1 (ب) = ص ــــ> ظاص = ب
ظا^-1 [(أ + ب)/(1 -أ.ب)] = ع ــــ> ظاع =(أ + ب)/(1 -أ.ب)

المطلوب اثبات أن : س + ص = ع

ظا(س + ص) = (ظاس + ظاص)/(1 - ظاس ظاص)= (أ + ب)/(1 - أ.ب) = ظاع

إذن :

س + ص = ع
أو
س + ص = ط + ع

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 74 )


اذا كان

(1+ طا 1)(1+ طا 2).......(1+طا 45 )= 2^س فما قيمة س


المقدار = (1 + ظا1)(1 + ظا2) ... (1 + ظا22)(1 + ظا(45-22)) ... (1 + ظا(45-2)(1 + ظا(45-1))(1 + ظا45)

فنجد أن الحدود الـ 22 الأولى
(1 + ظا1)(1 + ظا2) ... (1 + ظا22)

والحدود الـ 22 التالية
(1 + ظا(45-22)) ... (1 + ظا(45-2)(1 + ظا(45-1))

وحيث :
(1 + ظا(45-22)) = 1 + [(ظا45 - ظا22)/(1 + ظا45 ظا22) = 1 + [(1 - ظا22)/(1 + ظا22)] = 2/(1 + ظا22)

وهكذا لبقية الحدود الـ 22 التالية

فيكون : المقدار = 2^22 × (1 + ظا45) = 2^22 × 2 = 2^23

إذن : س = 23

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 75 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3329/41723.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3329/41724.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 76 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3329/42050.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 77 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3329/42505.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 78 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3329/42507.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 79 )


اثبت أن : جتا(ط/9)× جتا(2ط/9)× جتا(4ط/9) = 1/8


بالضرب والقسمة على المقدار جا(ط/9)

[(جا(ط/9). جتا(ط/9)) × جتا(2ط/9) × جتا(4ط/9)] ÷ جا(ط/9)

= 1/2*[(جا(2ط/9).جتا(2ط/9)) × جتا(4ط/9)] ÷ جا(ط/9)

= 1/4*[جا(4ط/9).جتا(4ط/9)] ÷ جا(ط/9)

= 1/8*[جا(8ط/9)] ÷ جا(ط/9)

= 1/8

حيث : جا(8ط/9)= جا[ط - (8ط/9)ٍ] = جا(ط/9)

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 80 )


أوجد بدون استخدام الجداول الرياضية أو الآلة الحاسبة لاستخراج قيمة النسب المثلثية قيمة المقدار :

(جا18)^2 × (جتا36)^2


بالضرب والقسمة للمقدار بالقيمة (جتا18)^2

إذن :

المقدار = (جا18 . جتا18 )^2 × (جتا36)^2 ÷ (جتا18)^2 =
= (1/2*جا36)^2 × (جتا36)^2 ÷ (جتا18)^2 =
= (جا36 . جتا36)^2 ÷ 4*(جتا18)^2 =
= [ 1/2*(جا72)]^2 ÷ 4*(جتا18)^2 = (جا72)^2 ÷ 16*(جتا18)^2

وحيث : جا72 = جا(90 - 18) = جتا18 ـــ> (جا72)^2 = (جتا18)^2

المقدار = 1/16 = 0.0625

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 81 )


فى اى مثلث اثبت ان
جا أ + جا ب > جا(أ+ب)


جاأ / أَ = جاب / بَ = جاج / جَ
( جاأ + جاب ) / ( أَ + بَ ) = جاج / جَ
( جاأ + جاب ) = [ ( أَ + بَ ) / جَ ] × جاج
حيث : جاج = جا( أ + ب ) ، ( أَ + بَ ) > جَ ـــ> ( أَ + بَ ) / جَ > 1
إذن :
جاأ + جاب > جا( أ + ب )

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 82 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/43668.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 83 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/43675.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 84 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/43821.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 85 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/44967.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 86 )


اذا كانت ظاس +ظاص= 25
ظتا س+ظتاص=30
اوجد قيمه ظا (س+ص)


ظتاس + ظتاص = [ظاس + ظاص]/(ظاس.ظاص)
ومنها:
ظاس.ظاص = [ظاس + ظاص]/[ظتاس + ظتاص] = 25 ÷ 30 = 5 /6

ظا(س + ص) = [ظاس + ظاص]/[1 - ظاس.ظاص] = 150

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 87 )

اثبت ان

2 جا 9 + 2جتا 9 = جذر( 3 + جذر ( 5 ))


بتربيع الطرف الأيمن ـــ>

( 2 جا9 + 2 جتا9 )^2 = 4 (جا9 )^2 + 4 (جتا9 )^2 + 8 جا9 . جتا9

= 4 + 4 جا18

نفرض أن س=18 ..... 5 س=90 ......2س+3س=90 .......2س=90-3س
جا2س = جا(90-3س) = جتا3س
2جاس جتاس = 4جتا^3س - 3جتاس
2جاس = 4 جتا^2س - 3 = 4(1- جا^2س) - 3
2جاس = 4 - 4جا^2س - 3
4جا^2س+ 2جاس - 1= صفر
باستخدام القانون العام لحل معادله الدرجه الثانبة
جاس = (-1+جذر5)/4 أو جاس = (-1-جذر5)/4 مرفوض لآن 18درجه فى الربع الاول
جا18 = (جذر5-1)/4

فيكون
( 2 جا9 + 2 جتا9 )^2 = 4 + (جذر5-1) = 3 + جذر5

إذن :
2 جا9 + 2 جتا9 = جذر{3 + جذر5}

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 88 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/48952.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 89 )

اذا كان 8 جاهـ + 3 جتا هـ = ع جا( هـ - أ)
أوجد قيمة ع ، ظا أ


جا( هـ - أ) = جاهـ جتاأ - جتاهـ جاأ
8 جاهـ + 3 جتاهـ = {ع جتاأ).جاهـ + (-ع جاأ).جتاهـ
إذن :
ع جتاأ = 8
ع جاأ = - 3
ومنها :
ظاأ = - 3 /8 ــــ> جاأ = - 3 /جذر73
ع = جذر73

[أحمد سعد الدين]

تمرين (94)


http://up.arabsgate.com/u/1524/3544/47489.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (95)


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48055.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (96)


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48203.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (97)


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48204.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (98)


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48205.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (99)


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48207.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (100)


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48208.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 101 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48209.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 102 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48352.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 103 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48406.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 104 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48419.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 105 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48471.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 106 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48474.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 107 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48476.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 108 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48477.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 109 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48512.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 110 )


إذا كانت : 0 < س < ط/2
فأوجد قيم س التى تحقق المعادلة : جاس + جتاس = جذر([2 + جذر3]/2)

جاس + جتاس = جذر([2 + جذر3]/2)
بالتربيع للطرفين
جا^2س + جتا^2س + 2 جاس جتاس = [2 + جذر3]/2
2 + 2 جا2س = 2 + جذر3
جا2س = جذر3 /2
2 س = ط /3 ـــــ> س = ط /6
أو
2 س = ط - ط /3 = 2 ط /3 ـــــ> س = ط /3

قيم س التى تحقق المعدلة : ط /6 ، ط /3

للتحقق :
س = ط /6
جاط/6 + جتاط/6 = 1/2 + جذر3/2 = [1 + جذر3]/2

س = ط /3
جاط/3 + جتاط/3 = جذر3/2 + 1/2 = [1 + جذر3]/2

علما بأن :

جذر[(2 + جذر3)/2] = جذر[(4 + 2 جذر3)/4]
= جذر[(1 + 3 + 2 جذر3)/4] = جذر[(1 + جذر3)^2 /2^2]
= (1 + جذر3)/2

[أحمد سعد الدين]

تمرين (111)

فى أى مثلث أ ب ج ، اثبت صحة العلاقة : جا{أ - ب}/2 = (أَ - بَ)/جَ × جتا{ج/2}
حيث أَ ، بَ ، جَ أطوال أضلاع المثلث


أَ/جاأ = بَ/جاب = جَ/جاج
(أَ - بَ)/(جاأ - جاب) = جَ/جاج
(أَ - بَ)/جَ = (جاأ - جاب)/جاج

(جاأ- جاب) = 2جتا{أ + ب}/2 × جا{أ - ب}/2
جاج = 2جا{ج/2} × جتا{ج/2} = 2جتا{أ + ب}/2 × جتا{ج/2}

(أَ - بَ)/جَ = [2جتا{أ + ب}/2 × جا{أ - ب}/2] ÷ [ 2جتا{أ + ب}/2 × جتا{ج/2}]
= [جا{أ - ب}/2] ÷ جتا{ج/2}
إذن :
جا{أ - ب}/2 = (أَ - بَ)/جَ × جتا{ج/2}

[أحمد سعد الدين]

تمرين (112)


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/48957.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (113)

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/48949.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (114)

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/48950.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين (115)

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/48951.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 116 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49071.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 117 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49224.jpg

[أحمد سعد الدين]

زوايا الارتفاع و الانخفاض


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49490.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49507.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49508.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49508.jpg


##################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49510.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49511.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49512.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49517.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49518.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49519.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49546.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49547.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49548.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49819.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49820.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49821.jpg

##########################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49830.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49831.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49832.jpg


#####################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49858.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49859.jpg

############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49802.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49805.jpg

##########################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49806.jpg


#####################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49860.jpg

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49862.jpg

################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49864.jpg

################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49865.jpg

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50044.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50157.jpg


####################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50158.jpg


####################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50159.jpg


################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/51096.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/51172.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/51173.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/51174.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/52713.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/52714.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/52808.jpg

$$$$$$$$$$$$$$$$

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/53590.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/54236.gif

[أحمد سعد الدين]

[CENTER]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/54248.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/54249.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/54269.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/54520.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/55376.gif

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/55377.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56056.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56555.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57235.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ بيومى عبد الله - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57443.gif


##################

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ بيومى عبد الله - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57444.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ بيومى عبد الله

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57446.gif


#############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ محمد خالد غزول

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57551.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ محمد خالد غزول

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57573.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ محمد خالد غزول

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57574.gif

###############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ محمد خالد غزول

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57576.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ محمد خالد غزول

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57615.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57797.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57806.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/58001.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/58004.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/58023.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/58032.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/58061.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ مجدى الصفتى - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4517/65924.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58675.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمارين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلولى للتمارين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/59015.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ محمد خالد غزول - مدرس رياضيات بسوريا الشقيقة

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59598.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سامح الدهشان - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/60508.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ مجدى الصفتى - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4517/65924.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ أبولونيوس

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/7221/4517/67013.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سامح الدهشان - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/60617.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سامح الدهشان - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/60634.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ خالد المعداوى - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/61251.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ محمد خالد غزول - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/64036.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ مجدى الصفتى - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4481/65327.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ أحمد الديب - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/64294.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ محمد خالد غزول - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4481/65258.gif

تنويه : ن = 0 ، 1 ، 2 ، 3 ، ...

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ أبو صبا

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4725/70017.gif

########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ أبو صبا

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4725/70070.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ مصطفى الردينى

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4725/70151.gif

#######

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ أبو صبا

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4725/70373.gif

#######

[أحمد سعد الدين]

تمرين للمهندس عبد الحميد السيد

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71264.gif

#######

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71285.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للمهندس عبد الحميد - من سوريا الشقيقة

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71398.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سمير وهدان

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71396.gif

[أحمد سعد الدين]

مقدمها المهندس واصف - من سوريا

ومرفق حلولى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71889.gif


#########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71890.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71891.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سمير وهدان

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71901.gif

########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سمير وهدان

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71902.gif

########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71910.gif


#######

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71909.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ أبو صبا

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71921.gif

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71922.gif

#####

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71970.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71969.gif

########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سمير وهدان

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71983.gif

########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سامح الدهشان

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73303.gif

########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57047.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57048.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57049.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58638.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58769.gif

$$$$$$$$$$$$$

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71591.gif

####

[أحمد سعد الدين]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71899.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4855/72410.gif

$$$$$$$$

[أحمد سعد الدين]

السلام عليكم ممكن كم سؤال حيرني

حل المعادلات الاتيه
cosx= 2sin^2 x/2

cos^3x=sin^3x

sinx+ cosx=1

وجزيتم كل الخير

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته




http://up.arabsgate.com/u/7221/4855/72582.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4855/72619.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ حسام وهبة - مدرس رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73462.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73676.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73828.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ امام مسلم - مدرس رياضيات

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73957.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/74068.gif

[MAS LESS]

الله يعطيك العافية




إلى الأمام

[chahrazad]

السلام عليكم ورحمة الله
مشكووووووووووووووور أخي على هداه المسائل
ولا كنني لم أفهم شيء لأنني أنا من المغرب لأنها مكتوبة بالعربية متلا لأنها مكتوبة بالعربية متلا:
ظا س ظا 2 س ظا 3 س = ظا 3 س - ظا 2 س - ظا س هده الكتابة لاأفهمها نحن نقرأها بالفرنسي
ولاكن 23 درجة ، 6 دقائق أفهمها
أتمنى أن لايكون كلامي سيء
لأنني أحب التمارين الرياضية جدا جدا جداااااااااااااااااا............... .

[أحمد سعد الدين]

السلام عليكم ورحمة الله
مشكووووووووووووووور أخي على هداه المسائل
ولا كنني لم أفهم شيء لأنني أنا من المغرب لأنها مكتوبة بالعربية متلا لأنها مكتوبة بالعربية متلا:
ظا س ظا 2 س ظا 3 س = ظا 3 س - ظا 2 س - ظا س هده الكتابة لاأفهمها نحن نقرأها بالفرنسي
ولاكن 23 درجة ، 6 دقائق أفهمها
أتمنى أن لايكون كلامي سيء
لأنني أحب التمارين الرياضية جدا جدا جداااااااااااااااااا............... .

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

لا حرج

ومعذرة فأنا لا أُجيد اللغة الفرنسية

ومما أتذكره

ظا = نسبة مثلثية تعنى ظل الزاوية ، وبالفرنسية tangente
جا = نسبة مثلثية نعنى جيب الزاوية ، وبالفرنسية Sinus

ويمكنك كتابة المصطلحات العربية التى لا تعرفها وسأقوم بترجمتها الى اللغة الانجليزية ، وعليك تحويلها الى اللغة الفرنسية

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ حسام وهبة - موجه رياضيات

ومرفق حلى


http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/74127.gif

[barhoma37]

الله يعطيك العافية




إلى الأمام الله يعطيك العافية




إلى الأمام

[الجزيرة]

شكراا على مجهودكم الرائع المتميز عن الجميع المواقع

[pupil]

i understood nothing!!!!coz i study it with frensh lang
what can i do???!!!

[عكاشة]

بسم الله الرحمن الرحيمهلا والله ومليون غلا تو مانور المنتدى