مسائل وحلول - المتتابعات الحسابية والهندسية

[أحمد سعد الدين]

مسائل وحلول

المتتابعات الحسابية والهندسية

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 1 )


متتابعه حسابيه فيها
ح(س+1) = م ، ح(ص+1)= ك ، ح(ع+1)= ى
اثبت ان
م( ص-ع) +ك(ع- س)+ى(س- ص) =0


نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
إذن :
م = أ + س د
ك = أ + ص د
ى = أ + ع د

م( ص-ع) + ك(ع- س)+ ى(س- ص) =
= (أ + س د)(ص - ع) + (أ + ص د)(ع - س) + (أ + ع د)(س - ص)
= أ[ ص - ع + ع - س + س - ص] + د[ س ص - س ع + ص ع - س ص + س ع - ص ع] = أ × 0 + د × 0 = 0
حيث أ ، د لا تساويان الصفر

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 2 )

متتابعة غير تقليدية
( 2/ 9 ، 9 ، 2/ 3 ، 3 ، 2 ، 1 ، 0000000)
اذا كان مجموع عدد فردى من تللك الحدود = 283 /3
فما عدد حدودها ؟

المتسلسلة هى متتابعتين هندسيتين :

الأولى : 2 /9 ، 2 /3 ، 2 ، 6 ، 18 ، 45 ، ....
حدها الأول = 2 / 9
الأساس = 3

الثانية : 9 ، 3 ، 1 ، 1 /3 / 1/9 ، ...
حدها الأول = 9
الأساس = 1 /3

نفرض أن عدد الحدود الفردية = 2 ن + 1
فيكون :
عدد الحدود من المتتابعة الأولى = ن + 1
عدد الحدود من المتتابعة الثانية = ن

283 /3 = [ 2 /9 ( 3^{ن + 1} - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] + [ 9 ( 1 - (1 /3)^ن) ] / [ 1 - (1 /3) ]

وهى معادلة من الدرجة الثانية فى المتغير 3^ن
وبحلها بالقانون العام ــــ> 3^ن = 243 ، ومنها : ن = 5

فيكون عدد حدود المتسلسلة = 2 ن + 1 = 11 حدا

للتحقق :

عدد حدود المتتابعة الهندسية الأولى = ن + 1 = 6
مجموعها = [ 2 /9 ( 3^6 - 1 ) ] / [ 3 - 1 ] = 728 / 9

عدد حدود المتتابعة الهندسية الثانية = ن = 5
مجموعها = [ 9 ( 1 - ( 1/3)^5 ) ] / [ 1 - ( 1 /3 ) ] = 121 /9

اجمالى المجموع = 728 /9 + 121 /9 = 849 /9 = 283 /3

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 3 )

متتابعة غير تقليدية
( 3 ، 18 ، س ، 1 ، 12 ، 1/ 2 س ، 1/ 3 ، 8 ، 1/ 4 س ، 0000000 )
اذا كان مجموعها الى اللانهاية = 23.5
فما قيمة س ؟


المتسلسلة تتكون من حدود ثلاثة متتابعات هندسية لانهائية

الأولى : 3 ، 1 ، 1 /3 ، ....
حدها الأول = 3
الأساس = 1 /3
مجموعها= 3 / (1 - (1 /3)) = 4.5

الثانية : 18 ، 12 ، 8 ، ...
حدها الأول = 18
الأساس = 2 /3
مجموعها = 18 / [ 1 - (2 /3) ] = 54

الثالثة : س ، س /2 ، س /4 ، ...
حدها الأول = س
الأساس = 1 /2
مجموعها = س / [ 1 - (1 /2) ] = 2 س

23.5 = 4.5 + 54 + 2 س

ومنها : س = - 17.5

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 4 )


ح(ن) متتابعة حسابية
ح(6) = 16 ، ح(20) = - 26
أوجد المتتابعة
ثم أوجد مجموع 20 حدا الأولى منها


نفرض أن :
الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ
الأساس = د

ح(6) = أ + 5 د ................... (1)
ح(20) = أ + 19 د ................... (2)
بحل المعادلتين جبريا ، ينتج أن :
د = - 3 ، أ = 31
وتكون المتتابعة : 31 ، 28 ، 25 ، ...

مجموع 20 حدا الأولى = 20 /10 [ 2 × 31 + 19 × - 3 ] = 50

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 5 )


أربعة أعداد تكون متتابعة حسابية مجموعها 32
الحد الرابع يزيد عن الحد الثانى بمقدار 4
أوجد هذه الأعداد ؟

نفرض أن الأعداد هى : أ ، (أ + د) ، (أ + 2 د) ، (أ + 3 د)

(أ + 3 د) - (أ + د) = 4 ...... ، ومنها : د = 2
4 أ + 6 د = 32 ................ ، ومنها : أ = 5
وتكون الأعداد هى : 5 ، 7 ، 9 ، 11

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 6 )


إذا كان مجموع 11 حدا من متتابعة حسابية يساوى مربع حدها السادس
وكانت حدودها الرابع ، والسابع ، والحادى عشر تكون متتابعة هندسية
أوجد المتتابعة الحسابية ؟

نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
ج(11) = 11 /2 [ 2 أ + 10 د ] = ( أ + 5 د )^2
11 ( أ + 5 د ) = ( أ + 5 د )^2
( أ + 5 د )( أ + 5 د - 11 ) = 0
فيكون :
أ + 5 د = 11
أو :
أ + 5 د = 0

( أ + 6 د )^2 = ( أ + 3 د )( أ + 10 د )
أ^2 + 12 أ د + 36 د^2 = أ^2 + 13 أ د + 30 د^2
6 د^2 - أ د = 0
د ( 6 - أ ) = 0
أ = 6 ، حيث د لاتساوى الصفر فى المتتابعات

وتكون : د = 1
للتحقق من الشروط :
الشرط الأول
ج(11) = 11 /2 [ 2 × 6 + 10 × 1 ] = 121
[ ح(6) ]^2 = [ 6 + 5 × 1 ]^2 = 121
الشرط الثانى
ح(4) = 6 + 3 ×1 = 9
ح(7) = 6 + 6 ×1 = 12
ح(11) = 6 + 10 × 1 = 16
ح(7) / ح(4) = 12 /9 = 4 /3
ح(11) / ح(7) = 16 /12 = 4 /3
يتحقق الشرطان عند أ = 6 ، د = 1
وتكون المتتابعة الحسابية : 6 ، 7 ، 8 ، 9 ، 10 ، 11 ، 12 ، 13 ، 14 ، 15 ، 16 ، ...

أو د = - 6 /5
للتحقق من الشروط :
الشرط الأول
ج(11) = 11 /2 [ 2 × 6 + 10 × - 6 /5 ] = 0
[ ح(6) ]^2 = [ 6 + 5 × - 6 /5 ]^2 = 0
الشرط الثانى
ح(4) = 6 + 3 × - 6 /5 = 12 /5
ح(7) = 6 + 6 × - 6 /5 = - 6 /5
ح(11) = 6 + 10 × - 6 /5 = - 6
ح(7) / ح(4) = - 1 /2
ح(11) / ح(7) = 5
لا تحقق الشرط الثانى

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 7 )

متتابعة هندسية متزايدة وجميع حدودها موجبة
فإذا كان الوسط الحسابى بين حديها الثانى والرابع = 68
والوسط الهندسى الموجب لهما = 32
أوجد المتتابعة

ح(2) + ح(4) = 2 × 68 = 136 ـــــ> ح(2) = 136 - ح(4)
ح(2) × ح(4) = 32^2 = 1024
بالتعويض عن قيمة ح(2) بدلالة ح(4)
[ 136 - ح(4) ] × ح(4) = 32^2 = 1024
وبحل المعادلة جبريا وهى معادلة من الدرجة الثانية فى ح(4) ، باستخدام القانون العام ، ينتج أن :
ح(4) = 128 ...... ، ومنها : ح(2) = 8

نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الهندسية = أ ، الأساس = ر
أ × ر = 8
أ × ر^3 = 128
بالقسمة : ــــــ> ر = 4 ، ومنها : أ = 2

المتتابعة هى :

2 ، 8 ، 32 ، 128 ، ...

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 8 )


متتابعة حسابية حدها الثالث يزيد عن ضعف حدها السادس بمقدار 1
ومربع حدها الثامن يزيد عن حدها الرابع بمقدار 2
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد عدد الحدود الذى يعطى أكبر مجموع للمتتابعة
وأوجد هذا المجموع

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = د
أ + 2 د = 2 ( أ + 5 د ) + 1
ومنها : أ = - ( 1 + 8 د )

( أ + 7 د )^2 = ( أ + 3 د ) + 2
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة د
د ( 7 + د ) = 0 ـــــــــــ> د = - 7 ، ومنها : أ = 55

المتتابعة الحسابية :
55 ، 48 ، 41 ، 34 ، 27 ، 20 ، 13 ، 6 ، - 1 ، ...

أكبر مجموع للمتتابعة هو مجموع الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول
نفرض أن ح(ن) = 0
أ + (ن - 1) × د = 55 + (ن - 1) × - 7 ــــ> ن = 8 + 6 /8
إذن :
ح(9) = أ + 8 د = 55 - 8 × 7 = - 1
ح(8) = أ + 7 د = 55 - 7 × 7 = 6
ويكون : عدد الحدود الموجبة اعتبارا من الحد الأول = 8
ج(8) = 8 /2 [ 2 أ + 7 د ] = 4 [ 2 × 55 - 7 × 7 ] = 244

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 9 )


ح(ن) متتابعة هندسية حدودها موجبة
ح2 + ح3 = 72 ، ح2 × ح4 = 324
أوجد المتتابعة
ثم أوجد مجموع حدودها الى مالانهاية

نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الهندسية = أ ، الأساس = ر
أ ر + أ ر^2 = 72 ــــ> أ = 72 / (ر + ر^2)
أ ر × أ ر^3 = أ^2 ر^4 = 324
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة ر
[ 72 / (ر + ر^2) ]^2 × ر^4 = 324
15 ر^4 - 2 ر^3 - ر^2 = 0
ر^2 ( 15 ر^2 - 2 ر - 1 ) = 0
ومنها : ر = 1 /3 ــــ> أ = 162
وتكون المتتابعة : 162 ، 54 ، 18 ، 6 ، 2 ، ...

مجموع الحدود الغير منتهية = أ / (1 - ر) = 162 × 3 /2 = 243

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 10 )

إذا أُدخِلت عدة أوساط حسابية بين عددين : 50 ، - 20
وكانت النسبة بين مجموع الوسطين الأوليين الى مجموع الوسطين الأخيرين = - 17 : 5
أوجد عدد الأوساط
ثم أوجد ح8

نفرض أن :
الحد الأول = أ ، الأساس = د
عدد الأوساط الحسابية = ن
فيكون عدد حدود المتتابعة الحسابية = ن + 2
الحد الأول = أ = 50
الحد الأخير = ح(ن + 2) = 50 + (ن + 1) د = - 20 ........ (1)
الوسطين الأوليين هما :
ح2 = 50 + د ، ح3 = 50 + 2 د
الوسطين الأخيرين هما :
ح(ن) = 50 + (ن - 1) د ، ح(ن + 1) = 50 + ن د

[ 50 + د + 50 + 2 د ] / [ 50 + (ن - 1) د + 50 + ن د ] = - 17 /5
[ 100 + 3 د ] / [ 100 + (2 ن - 1) د ] = - 17 /5 ...... (2)
بحل المعادلتين (1) ، (2) جبريا ، ينتج أن :
ن = عدد الأوساط الحسابية = 13
د = - 5

وتكون الأوساط : 45 ، 40 ، ...... ، - 10 ، - 15

والمتتابعة هى :
50 ، 45 ، 40 ، 35 ، 30 ، 25 ، 20 ، 15 ، 10 ، 5 ، 0 ، - 5 ، - 10 ، - 15 ، - 20

الحد الثامن فى المتتابعة = أ + 7 د = 50 + 7 × - 5 = 50 - 35 = 15

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 11 )

ح(ن) متتابعة حسابية
مجموع التسعة حدود الأولى منها = 73 × مجموع الثلاثة حدود الأولى منها
الوسط الحسابى بين حديها الثانى والثالث = 15
أوجد المتتابعة ؟

نفرض أن الحد الأول فى المتتابعة الحسابية ح(ن) = أ ، الأساس = د
( أ + د ) + ( أ + 2 د ) = 2 × 15
أ = 15 - 3 د /2 .................................. (1)
ج9 = (9 /2)[ 2 أ + 8 د ] = 9 × ( أ + 4 د )
بالتعويض عن قيمة أ من (1)
ج9 = 9 × [ 15 + 5 د /2 ] ......................... (2)
ج3 = (3 /2)[ 2 أ + 2 د ] = 3 × ( أ + د )
بالتعويض عن قيمة أ من (1)
ج3 = 3 × [ 15 - د /2 ] ........................... (3)

9 × [ 15 + 5 د /2 ] = 73 × 3 × [ 15 - د /2 ]
ومنها :
د = 1050 /44 = 525 /22 ........................... (4)
أ = 15 - 3 × 525 /22 = - 915 /44 ................. (5)

المتتابعة هى : - 915 /44 ، 135 /44 ، 1185 /44 ، ....

للتحقق :
الوسط الحسابى بين ح2 ، ح3 = 1/2 × ( 2 أ + 3 د )
= 1/2 × ( 2 × - 915 /44 + 3 × 525 /22 ) = 1/2 × 660/22 = 15

ج9 = (9 /2)[ 2 أ + 8 د ] = (9/2)[ 2 × - 915 /44 + 8 × 525 /22 ] = 29565 /44
ج3 = (3 /2)[ 2 أ + 2 د ] = (3/2) [ 2 × - 915 /44 + 2 × 525 /22 ] = 405 /44
ج9 / ج3 = (29565 /44) / (405 /44) = 73

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 12 )

كم حدا يلزم أخذها من المتتابعة الهندسية : 1 ، 2 ، 4 ، ....
ابتداء من الحد الأول حتى يكون مجموع هذه الحدود = 1023

ج ن = أ [ ر^ن - 1 ]/[ ر - 1 ] = [ 2^ن - 1 ] = 1023
2^ن = 1024 = 2^10
ن = 10

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 13 )


متتابعة حسابية حدها الأول = 12 ، الحد الأخير = - 26 ، مجموع حدودها = - 140
أوجد المتتابعة ؟

مجموع المتتابعة = ن/2 × ( الحد الأول + الحد الأخير ) = ن/2 × - 14 = - 140
ن = 20 حدا

الحد الأول = أ = 12
الحد الأخير = أ + (ن - 1) د = 12 + 19 د = - 26
ومنها : الأساس = د = - 2

المتتابعة : 12 ، 10 ، 8 ، ..... ، - 26

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 14 )

ح(ن) متتابعة حسابية ، فيها ح15 = 64
ح4 ، ح9 ، ح19 تكون متتابعة هندسية
أوجد المتتابعة الحسابية ؟
ثم أوجد مجموع 15 حدا الأولى منها

نفرض أن الحد الأول فى المتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
أ + 14 د = 64 ـــــــــــــــــ> أ = 64 - 14 د ...... (1)

(أ + 8 د)^2 = (أ + 3 د)(أ + 18 د)
5 د ( 2 د - أ ) = 0 ـــــــــــــ> أ = 2 د ........... (2)
من (1) ، (2)
أ = 8 ، د = 4

المتتابعة الحسابية : 8 ، 12 ، 16 ، .....

ج15 = 15/2 × [ 2 × 8 + 14 × 4 ] = 540

للتحقق :
ح15 = أ + 14 د = 8 + 14 × 4 = 8 + 56 = 64

ح4 = أ + 3 د = 8 + 3 × 4 = 20
ح9 = أ + 8 د = 8 + 8 × 4 = 40
ح19 = أ + 18 د = 8 + 18 × 4 = 80
ح4 × ح19 = 20 × 80 = 1600 = (40)^2 = (ح9)^2

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 15 )


فى متتابعة هندسية
الوسط الحسابى للحدين ح2 ، ح5 = 9
الوسط الحسابى للحدين ح2 ، ح3 = 12
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموعها الى مالانهاية

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = ر
أ ر + أ ر^4 = 2 × 18 .................... (1)
أ ر + أ ر^2 = 2 × 24 .................... (2)
من (1) ، (2) بشرط ر لاتساوى - 1
أ = 32
ر = 1/2

ج = أ/(1 - ر) = 32/(1 - 1/2) = 64

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 16 )


متتابعة حسابية
مجموع ح1 + ح5 = 2
مجموع ح3 + ح4 = 5/4
أوجد مجموع الأربعين حدا الأولى منها ؟

نفرض أن الحد الأول فى المتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
أ + أ + 4 د = 2 ـــــ> أ = 1 - 2 د ................... (1)
أ + 2 د + أ + 3 د = 5/4 ــــ> أ = (5 - 20 د) /8 ........ (2)
من (1) ، (2)
أ = 5/2 ، د = - 3/4

المتتابعة : 5/2 ، 7/4 ، 1 ، 1/4 ، - 1/2 ، ...

مجموع 40 حدا الأولى = 40/2 × [ 2 × 5/2 + 39 × - 3/4 ] = - 485

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 17 )


متتابعة حسابية
الحد الأول = 19
الحد الأخير = 95
مجموعها = 1140
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموع 12 حدا الأخيرة منها

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = د ، الحد الأخير = ل
أ = 19
ل = 95 = أ + (ن - 1) د = 19 + (ن - 1) د ............... (1)
ج ن = 1140 = ن/2 × [ أ + ل ] = ن/2 × [ 19 + 95 ] = ن/2 × 114
ومنها : ن = 20 ................................... .... (2)
بالتعويض فى (1)
ينتج أن : د = 4 ................................... ... (3)

المتتابعة : 19 ، 23 ، 27 ، ...... ، 95

مجموع 12 حدا الأخيرة = مجموع المتتابعة حدودها 20 حدا - مجموع 8 حدا الأولى منها
= 1140 - 8/2 × [ 2 × 19 + 7 × 4 ] = 1140 - 264 = 876

أو
12 حدا الأخيرة :
حدها الأول = ح9 فى المتتابعة الحسابية = أ + 8 د = 19 + 8 × 4 = 51
حدها الأخير = ل = 95
وعدد حدوها = 12
مجموعها = 12/2 × [ 51 + 95 ] = 876

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 18 )

متتابعة هندسية لانهائية
حدها الثانى = 2/3
مجموعها = 8/3
أوجد رتبة الحد الذى قيمته = 1/24

نفرض أن الحد الأول = أ ، الأساس = ر
أ ر = 2/3 ـــــــــــــــ> أ = 2/(3 ر) ............. (1)
أ/( 1 - ر) = 8/3
بالتعويض من (1)
2/[ 3 ر (1 - ر) = 8/3
4 ر^2 - 4 ر + 1 = 0
ومنها : ر = 1/2 ــــــــ> أ = 4/3
المتتابعة : 4/3 ، 2/3 ، 1/3 ، 1/6 ، 1/12 ، 1/24 ، ......

نفرض أن رتبة الحد الذى قيمته = 1/24 هو ن
1/24 = أ ر^(ن - 1) = 4/3 × (1/2)^(ن - 1)
(1/2)^(ن - 1) = 1/32 = (1/2)^5
ن - 1 = 5 ــــــــــــ> ن = 6
ويكون هو الحد السادس

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 19 )


ح(ن) متتابعة هندسية
ح1 = 32
الحد الأخير = 1/4
مجموع حدودها = 255/4
أوجد عدد حدود المتتابعة ؟
اثبت أنه يمكن جمع عدد غير متناه من حدودها ، وأوجد هذا المجموع

نفرض أن الحد الأول = أ ، الحد الأخير = ل ، الأساس = ر ، عدد الحدود = ن
أ = 32
ل = 1/4 = 32 ر^(ن - 1) ــــ> ر^ن = ر/128
ج(ن) = 255/4 = 32 [ ر^ن - 1 ]/[ر - 1] = 32 [ ر/128 - 1 ]/[ر - 1]
ومنها : ر = 1/2
ل = 1/4 = أ ر(ن - 1) = 32 ر^(ن - 1)
ر^(ن - 1) = 1/128 = (1/2)^7
ن = 8
والمتتابعة : 32 ، 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1 ، 1/2 ، 1/4

حيث : ا ر ا < 1 ــــ> يمكن إيجاد مجموع حدود لامتناهى من المتتابعة الهندسية
= أ/(1 - ر) = 64

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 20 )

ح(ن) متتابعة حسابية
ح2 = 13
مجموع العشرة حدود الأولى منها = 235
أوجد المتتابعة ؟

أ + د = 13
10/2 × [ 2 أ + 9 د ] = 235
بحل المعاداتين جبريا : ــــــ > أ = 10 ، د = 3
المتتابعة : 10 ، 7 ، 4 ، 1 ، - 2 ، ...

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 21 )


متتابعة هندسية حدودها موجبة
ح2 = 6
ح3 = ح1 + 9
أوجد مجموع 12 حدا الأولى منها ؟

أ ر = 6
أ ر^2 = أ + 9
بحل المعادلتين جبريا
2 ر^2 - 3 ر - 2 = 0
( 2 ر + 1 )( ر - 2 ) = 0
ر = - 1/2 ....... مرفوض حيث حدود المتتابعة موجبة
ر = 2 ــــــــ> أ = 3

المتتابعة : 3 ، 6 ، 12 ، 24 ، ....

مجموع 12 حدا الأولى = أ(ر^12 - 1)/(ر - 1) = 3 (2^12 - 1) = 12285

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 22 )


ح(ن) متتابعة حسابية
مجموع 7 حدود الأولى = 217
مجموع 6 حدود الأولى = 69
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد أقل عدد من الحدود يمكن أخذه ابتداء من الحد الأول ليكون المجموع سالب

الحد السابع = ح7 = ج7 - ج6 = 217 - 69 = 148 = أ + 6 د .............. (1)
ج6 = 96 = 6/2 × [ 2 أ + 5 د ] ........................ (2)
من (1) ، (2)
أ = - 86
د = 39
المتتابعة :
- 86 ، - 47 ، - 8 ، 31 ، 70 ، 109 ، 148 ، ...

عندما يكون المجموع = 0
0 = ن/2 × [ 2 × - 86 + (ن - 1) × 39 ] ــــ> ن = 5.4
وتكون ن = 5 عندما يكون المجموع سالب

للتحقق :
ج5 = 5/2 × [ 2 × - 86 + 4 × 39 ] = - 40
ج6 = 6/2 × [ 2 × - 86 + 5 × 39 ] = 69

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 23 )


ح(ن) متتابعة حسابية
ح2 = 8
ح7 + ح10 = 55
أوجد المتتابعة ؟

أ + د = 8
أ + 6 د + أ + 9 د = 2 أ + 15 د = 55
ومنهما :
أ = 5 ، د = 3
المتتابعة : 5 ، 8 ، 11 ، 14 ، ...

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 24 )


أوجد قيمة ح24 من المتتابعة : 3 ، 5 ، 7 ، ...
ثم أوجد رتبة الحد الذى قيمته - 3 من المتتابعة : 43 ، 41 ، 39 ، ...

وإذا عُلِم أن مجموع 2 ن حدا من المتتابعة الأولى = مجموع ن حدا من المتتابعة الثانية
فأوجد قيمة ن

المتتابعة الأولى هى متتابعة حسابية حدها الأول = 3 ، الأساس = 2
ح24 = أ + 23 د = 3 + 23 × 2 = 49

المتتابعة الثانية هى متتابعة حسابية حدها الأول = 43 ، الأساس = - 2
- 3 = أ + (ن - 1) د = 43 - 2 (ن - 1)
2 (ن - 1) = 46
رتبة الحد الذى قيمته - 3 من المتتابعة = ن = 24

ج(2ن) من المتتابعة الأولى = 2 ن/2 × [ 2 × 3 + (2 ن - 1) × 2 ]
ج(ن) من المتتابعة الثانية = ن/2 × [ 2 × 43 - 2 (ن - 1) ]
ومنهما :
ن = 8
للتحقق :
ج16 من المتتابعة الأولى = 16/2 × [ 2 × 3 + 15 × 2 ] = 288
ج8 من المتتابعة الثانية = 8/2 × [ 2 × 43 - 2 × 7 ] = 288

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 25 )

ح(ن) متتابعة هندسية حدودها موجبة
الحد الثالث = 4
مجموع الثلاثة حدود الأولى منها = 28
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموعها الى مالانهاية

أ ر^2 = 4 ــــــــــــ> أ = 4/ر^2
أ + أ ر + أ ر^2 = 28
أ ( ر^2 + ر + 1 ) = 28
4/ر^2 × ( ر^2 + ر + 1 ) = 28
7 ر^2 = ر^2 + ر + 1
6 ر^2 - ر - 1 = 0
( 2 ر - 1 )(3 ر + 1 ) = 0
ر = 1/2 ــــــــــــــــــــــــ> أ = 16
ر = - 1/3 ..... ، مرفوض حيث حدود المتتابعة موجبة

المتتابعة : 16 ، 8 ، 4 ، 2 ، 1 ، 1/2 ، ...

مجموع عدد غير متناهى من الحدود = أ /( 1 - ر ) = 32

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 26 )

4 ، ب ، ج فى تتابع حسابى
2 ، (ب + 3) ، 5 ج فى تتابع هندسى
أوجد : ب ، ج
ثم أوجد مجموع حدود غير متناهية من المتتابعة : 5 ج ، (ب + 3) ، 2 ، ...

2 ب = 4 + ج ــــــــــــ> ج = 2 ب - 4
(ب + 3)^2 = 2 × 5 ج = 10 ج

ب^2 + 6 ب + 9 = 10 (2 ب - 4) = 20 ب - 40
ب^2 - 14 ب + 49 = 0
(ب - 7)^2 = 0 ـــــــــــ> ب = 7 ، ج = 10

المتتابعة : 5 ج ، (ب + 3) ، 2 ، ... هى : 50 ، 10 ، 2 ، ...
وهى متتابعة هندسية حدها الأول = 50 ، الأساس = 1/5
مجموع عدد غير متناهى من حدودها = 50 /(1 - 1/5) = 125/2 = 62.5

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 27 )


متتابعة هندسية غير متناهية
ح4 = 4
الوسط الحسابى بين حديها ح3 ، ح5 = 5
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد مجموعها الى مالانهاية

أ ر^3 = 4 ـــــــــــــــــ> أ ر^2 = 4/ر
أ ر^2 + أ ر^4 = 2 × 5 ـــــ> أ ر^2 ( 1 + ر^2 ) = 10
إذن :
4/ر × ( 1 + ر^2 ) = 10
2 ر^2 - 5 ر + 2 = 0
( 2 ر - 1 )( ر - 2 ) = 0
ر = 2 ........ مرفوض حيث المتتابعة غير منتهية ، فبلزم ا ر ا < 1
ر = 1/2 ـــــ> أ = 32

مجموع عدد لانهائى من حدودها = 32 /(1 - 1/2) = 64

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 28 )

ثلاثة أعداد تكون متتابعة هندسية مجموعها = 21
وكانت : 4 ح1 ، 3 ح2 ، 2 ح3 تكون متتابعة حسابية
أوجد الأعداد الثلاثة ؟

ح1 + ح2 + ح3 = 21 ................................... .. (1)
(ح2)^2 = ح1 × ح3 ................................... ... (2)
6 ح2 = 4 ح1 + 2 ح3 ــــ> 3 ح2 = 2 ح1 + ح3 ........... (3)
بحل المعادلات الثلاثة جبريا :
ح1 = 3
ح2 = 6
ح3 = 12

للتحقق :
ح1 + ح2 + ح3 = 3 + 6 + 12 = 21
(ح2)^2 = (6)^2 = 36 ، ح1 × ح3 = 3 × 12 = 36
6 ح2 = 6 × 6 = 36 ، 4 ح1 + 2 ح3 = 12 + 24 = 36

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 29 )

متتابعة هندسية
ح1 + ح3 = 20
ح2 + ح4 = 40
أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد رتبة أول حد قيمته > 500

أ + أ ر^2 = 20 ـــــــــــ> أ ( 1 + ر^2 ) = 20
أ ر + أ ر^3 = 40 ـــــــــ> أ ر ( 1 + ر^2 ) = 40
ر = 2
أ = 4
المتتابعة : 4 ، 8 ، 16 ، 32 ، 64 ، 128 ، 256 ، 512 ، ...

أ ر^(ن - 1) > 500
4 × 2^(ن - 1) > 500
2^(ن - 1) > 125
2^7 = 128
ن - 1 = 7
ن = 8

ح8 = أ ر^7 = 4 × 2^7 = 512

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 30 )


متتابعة هندسية
ح3 = 4
ح5 = 1
أوجد مجموعها الى مالانهاية ؟

ح3 = أ ر^2 = 4
ح5 = أ ر^4 = 1
ومنها :
أ = 16
ر = 1/2

ج = أ/(1 - ر) = 16 ÷ (1 - 1/2) = 32

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 31 )


متتابعة حسابية تناقصية ، فيها :
ح10 = 6
ح4 ، ح10 ، ح13 فى تتابع هندسى

أوجد المتتابعة ؟
ثم أوجد عدد الحدود اللآزم أخذها ابتداء من الحد الأول حتى يتلاشى مجموعها

أ + 9 د = 6 ــــــــ> أ = 6 - 9 د
( ح10 )^2 = ح4 × ح13
36 = ( أ + 3 د ) ( أ + 12 د )
بالتعويض عن قيمة أ بدلالة د
36 = ( 6 - 9 د + 3 د )( 6 - 9 د + 12 د ) = ( 6 - 3 د )( 6 + 3 د )
ومنها : د = - 1 ــــ> أ = 15

ج = 0 = ن/2 × [ 2 × 15 - (ن - 1) ] ــــ> ن = 31 حدا

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 32 )


متتابعة حسابية
ح2 = 13
مجموع العشرة حدود الأولى = 235
أوجد المتتابعة ؟

أ + د = 13 ـــــــ> أ = 13 - د
235 = 10/2 × [ 2 أ + 9 د ]
ومنها :
د = 3 ، أ = 10
المتتابعة : 10 ، 13 ، 16 ، 19 ، ...

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 33 )


متتابعة هندسية
ح2 = 40
مجموع مالانهاية من حدودها = 160
أوجد المتتابعة
ثم أوجد العدد الذى يضاف الى كل من ح2 ، ح3 ليكون :
ح1 ، ح2 ، ح3 فى تتابع حسابى

أ ر = 40 ـــــــــــ> أ = 40/ر
160 = أ/(1 - ر) = 40/ر(1 - ر) ــــــ> ر = 1/2 ، أ = 80
المتتابعة : 80 ، 40 ، 20 ، ...

نفرض أن العدد = ك
الأعداد فى تتابع حسابى : ح1 ، (ح2 + ك) ، (ح3 + ك)
ـــــــــــــــــــــ> 80 ، (40 + ك) ، (20 + ك)
2 × (40 + ك) = 80 + (20 + ك) ـــــ> ك = 10
وتكون الأعداد فى تتابع حسابى هى : 80 ، 50 ، 30

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 34 )


متتابعة حسابية 53 ، 47 ، 41 ، ...
أوجد أول حد سالب ؟
وأوجد عدد الحدود التى تؤخذ ابتداء من الحد الأول لتعطى أكبر مجموع ممكن ، وأوجد هذا المجموع

أ = 53 ، د = - 6
نفرض أن أول حد سالب هو ح(ن) = أ + (ن - 1) د
53 + (ن - 1) × - 6 = 53 - 6 ن + 6 = 59 - 6 ن
فيكون : 59/6 - ن < 0 ــــ> ن > 59/6 ـــ> ن = 10
ح10 = 53 - 9 × 6 = - 1

ح9 = 53 - 8 × 6 = 5
أكبر مجموع هو مجموع جميع الحدود الموجبة ح1 ، ح2 ، .....، ح9
وعددها 9 حدا
ج9 = 9/2 × [ 2 × 53 - 8 × 6 ] = 261

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 35 )

متتابعة حسابية
عدد حدودها = 21
مجموع الحدود الثلاثة الوسطى = 129
مجموع الحدود الثلاثة الأخيرة = 237
أوجد المتتابعة ؟

الحدود الثلاثة الوسطى : ح10 ، ح11 ، ح12
الحدود الثلاثة الأخيرة : ح19 ، ح20 ، ح21

3/2 × [ (أ + 9 د) + (أ + 11 د) ] = 129 ــــ> أ + 10 د = 43
3/2 × [ (أ + 18 د) + (أ + 20 د) ] = 237 ــــ> أ + 19 د = 79

أ = 3 ، د = 4
المتتابعة : 3 ، 7 ، 11 ، ...

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 36 )


الوسط الهندسى للعددين أ ، ب = 4
الوسط الحسابى للعددين 1/(أ + 1) ، 1/(ب - 2) = 1/4
أوجد قيمة كل من أ ، ب

أ × ب = 4^2 = 16 ـــــ> ب = 16/أ
1/(أ + 1) + 1/(ب - 2) = 2 × 1/4 = 1/2
بالتعويض عن قيمة ب بدلالة أ
أ^2 - 4 أ + 4 = 0 ـــــ> أ = 2 ، ومنها : ب = 8

وتكون :
2 ، 4 ، 8 فى تتابع هندسى
1/(2 + 1) = 1/3
1/(8 - 2) = 1/6
1/3 ، 1/4 ، 1/6 فى تتابع حسابى

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 37 )


ح(ن) متتابعة حسابية
ح1 + ح2 = 9
ح5 = 22
أوجد المتتابعة ؟
ومجموع 10 حدود الأولى منها

2 أ + د = 9
أ + 4 د = 22
ومنهما : ـــــــ> أ = 2 ، د = 5
المتتابعة : 2 ، 7 ، 12 ، ...
ج10 = 10/2 × [ 4 + 9 × 5 ] = 245

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 38 )

متتابعة هندسية لانهائية
كل حد فيها = ضعف مجموع الحدود التالية الى مالانهاية
ومجموع مكعبات حدودها = 27/26
أوجد المتتابعة ؟

نفرض أن المتتابعة : أ ، أ ر ، أ ر^2 ، أ ر^3 ، .... الى مالانهاية

أ = 2 × أ ر /(1 - ر) ــــ> ر = 1/3

أ^3 + أ^3 ر^3 + أ^3 ر^6 + أ^3 ر^9 + .... الى مالانهاية = 27/26
متتابعة هندسية لانهائية ، حدها الأول = أ^3 ، الأساس = ر^3
27/26 = أ^3 / ( 1 - ر^3 ) = أ^3 / ( 1 - {1/3}^3 ) = 27 أ^3 / 26
ومنها : أ = 1
مع اهمال الجذرين التكعيبين المترافقين للواحد الصحيح

وتكون المتتابعة : 1 ، 1/3 ، 1/9 ، 1/27 ، ...

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 39 )


متتابعة هندسية
ح3 = 9
ح6 = 243
أوجد المتتابعة ؟
وأوجد مجموع الستة حدود الأولى منها

أ ر^2 = 9
أ ر^5 = 243
بالقسمة : ــــــــــــ> ر^3 = 243/9 = 27 = 3^3
ر = 3 ، ومنها : أ = 1
المتتابعة : 1 ، 3 ، 9 ، 27 ، ...

ج6 = أ(ر^6 - 1)/(ر - 1) = 364

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 40 )


متتابعة حسابية
ح3 = 40
ح5 = 32
أوجد المتتابعة ؟
وأوجد مجموع 20 حدا الأولى منها

أ + 2 د = 40
أ + 4 د = 32
بحل المعادلتين جبريا ـــــــــــــ> د = - 4 ، أ = 48
المتتابعة :
48 ، 44 ، 40 ، 36 ، 32 ، ...

ج20 = 20/2 × [ 2 × 48 - 19 × 4 ] = 200

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 44 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48193.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48194.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 45 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48195.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 46 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48196.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 47)

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49010.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 48 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49052.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 49 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49053.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 50 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49054.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 51 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49055.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 52 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49056.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 53 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49171.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 54 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49336.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 55 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49344.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 56 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49345.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الأولى

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49354.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الثانية


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49380.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الثالثة


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49381.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الرابعة


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49382.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الخامسة

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49383.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة السادسة

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49386.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة السابعة


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49393.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الثامنة

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49412.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة التاسعة


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49414.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة العاشرة


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49433.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الحادية عشر

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49464.gif

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الثانية عشر


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49473.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الثالثة عشر


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49472.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الرابعة عشر

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49487.jpg

[أحمد سعد الدين]

المجموعة الخامسة عشر

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49488.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 57 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49521.jpg

بشرط ص > 0 حتى تكون لـو ص قيمة محددة

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 58 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49585.jpg

حل آخر

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49609.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 59 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50282.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 60 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50283.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 61 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50284.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 62 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50285.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 63 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50286.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 64 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50287.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 65 )

في متوالية هندسية توجد 4 اعداد. مجموع الاعداد الثلاثة الاخيرة اكبر بأربع مرات من مجموع الاعداد الثلاثة الاولى. مجموع العددين الاول والثاني هو 5

أوجد حدود المتوالية

نفرض أن الأعداد التى فى تتبابع هندسى هى :
أ ، أ ر ، أ ر^2 ، أ ر^3

أ ر + أ ر^2 + أ ر^3 = 4 ( أ + أ ر + أ ر^2 )
أ ر [ 1 + ر + ر^2 ] = 4 أ [ 1 + ر + ر^2 ]
ومنها : ر = 4

أ + أ ر = 5 ـــــــ> أ = 1

الأعداد هى : 1 ، 4 ، 16 ، 64

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 66 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50848.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 67 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56467.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 68 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56468.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 69 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56469.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 70 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56470.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 71 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56471.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 72 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/56472.gif

[أحمد سعد الدين]

تمارين للأستاذ محسن فؤاد - مدرس أول رياضيات
ومرفق حلولى للتمارين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57287.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57283.gif

###################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57284.gif

################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57285.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57286.gif

###############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57288.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57289.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57290.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57291.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57292.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57295.gif

################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57296.gif

#############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57297.gif

#############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57298.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57299.gif

#############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57300.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57301.gif

###############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57302.gif

###############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/57303.gif

################

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57831.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57833.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سامح الدهشان - مصرى يعمل مدرس رياضيات بدولة قطر

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57841.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ سامح الدهشان - مصرى يعمل مدرس رياضيات بدولة قطر

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57842.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57847.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57951.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57963.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/57987.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/58121.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ عاطف أبو خاطر - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58222.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ عاطف أبو خاطر - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58223.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ عاطف أبو خاطر - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58224.gif

########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58296.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58341.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58405.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58408.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58411.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمارين مجمعة من الامتحانات بواسطة الأستاذ عاطف أبو خاطر

ومرفق حلى لكل تمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58659.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58661.gif

############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58672.gif

############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58698.gif

############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58705.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58944.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58953.gif

############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58995.gif

$$$$$$$$$$$$$

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58994.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/59004.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/59007.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/59008.gif

##############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59245.gif

###############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59294.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59417.gif

############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59491.gif

#############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59611.gif

#############

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 74 )

تمرين للأستاذ على - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/60614.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 75 )

تمرين للأستاذ على - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/61067.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 76 )

تمرين للأستاذ أحمد الديب - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/61842.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 77 )

تمرين للأستاذ أبو صبا

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4725/70085.gif

#######

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 78 )

تمرين للأستاذ أبو صبا

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4725/70091.gif

#######

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 79 )


http://up.arabsgate.com/u/1524/3544/47353.jpg

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 80 )


متتابعه حسابيه فيها
ح(س+1) = م ، ح(ص+1)= ك ، ح(ع+1)= ى
اثبت ان
م( ص-ع) +ك(ع- س)+ى(س- ص) =0


نفرض أن الحد الأول للمتتابعة الحسابية = أ ، الأساس = د
إذن :
م = أ + س د
ك = أ + ص د
ى = أ + ع د

م( ص-ع) + ك(ع- س)+ ى(س- ص) =
= (أ + س د)(ص - ع) + (أ + ص د)(ع - س) + (أ + ع د)(س - ص)
= أ[ ص - ع + ع - س + س - ص] + د[ س ص - س ع + ص ع - س ص + س ع - ص ع] = أ × 0 + د × 0 = 0
حيث أ ، د لا تساويان الصفر

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 81 )

http://up.arabsgate.com/u/1524/3544/47386.jpg

[أحمد سعد الدين]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

اليك الحلول ، وبالتوفيق والنجاح

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71674.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71676.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71675.gif

######

[أحمد سعد الدين]

استاذي الغالي هذه اول مشاركه لي ارجو افادتي ولكم الشكر

متتابعه حسابيهمجموع الحدود السبعه الاولى منها 35/2 خمسه وثلاثون على اثنان وحدودها الاول والثالث والسابع تكون متتابعه هندسيه جد المتتابعه

متتابعه حسابيه اساسها 3 وحدودها الثاني والرابع والثامن تكون متتابعه هندسيه جد المتتابعه الهندسيه

مع اجمل تحيه اخي الغالي


السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

إليك الحل ، وبالتوفيق والنجاح


http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71847.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71848.gif

########

[أحمد سعد الدين]

اخي الغالي ممكن كم سؤال ولو احنا كثرنا الاسئله ولكن انت اهل للطيب والعلم

ثلاث اعداد تكون متتابعه هندسيه مجموعها 14 وحاصل ضربها 64 فما هي هذه الاعداد

ما عدد الاوساط الهندسيه بين 1536 ، 3 اذا كان الوسط الرابع 48

يودع رجل مبلغ 5 ملاين ريال في مصرف ليربح ربحا مركبا بسعر 5% فما مقدار رصيده في نهايه السنه السادسه مع العلم ان لو3767=3.5767 ، لو105 = 2.0212

وجزيت كل الخير

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71872.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71873.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71874.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

وعليكم السلام ورحمة الله وبركاته

لا عليك ، ضع أسئلتك واستفساراتك فى أى وقت

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71894.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71895.gif

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71896.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71934.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73257.gif

########