مسائل وحلول - جبر للمرحلة الثانوية

[أحمد سعد الدين]

مسائل وحلول

جبر للمرحلة الثانوية

[أحمد سعد الدين]

اذا كان س^2 ص ع = 12 ، س ص ^2 ع = 6 ، س ص ع^2 = 18

أوجد قيمة
(1 ) س ص ع

( 2) س + ص + ع



ص ع س^2 = 12 ... ... ... (1)

س ع ص^2 = 6 ... ... ... .(2)

س ص ع^2 = 18 ... ... ... (3)

من المعادلتين (1) ، (2) ... ... س/ص = 2

من المعادلتين (2) ، (3) ... ... ع/ص = 3

من المعادلتين (1) ، (3) ... ... ع/س = 3/2

بالتعويض عن قيم ص ، ع بدلالة س فى المعادلة (1)

س^2 * س/2 * 3 س/2 = 3/4 * س^4 = 12

س^4 = 4 * 12 / 3 = 16

س = + أو - 2

بالتعويض عن قيم س ، ع بدلالة ص فى المعادلة (2)

ص = + أو - 1

بالتعويض عن قيم س ، ص بدلالة ع فى المعادلة (3)

ع = + أو - 3

فتكون قيم س ، ص ، ع التى تحقق المعطيات بالمعادلات الثلاث هى :

( 2 ، 1 ، 3 ) أو ( - 2 ، - 1 ، - 3 )

س * ص * ع = 6 أو - 6

س + ص + ع = 6 أو - 6

[أحمد سعد الدين]

حل المعادلــــــــــــــة

3 س^4 - 5 س^2 - 2 = صفر



(3س^2 + 1)(س^2 - 2) = 0

إما(3س^2 + 1) = 0 ... ... ... س = + أو - ت/جذر3

أو (س^2 - 2) = 0 ... ... ... س = + أو - جذر2

[أحمد سعد الدين]

أوجد قيمة الثابت ( ك )

الذي يجعل باقي قسمة

د ( س ) = ( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 + ك

علي ( س - 2 ) تساوي 9

بالخطوات التفصيلية


نضع مقدار الدالة على الصورة :

( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 + ك - 9 ك + 9 ك =

( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 - 8 ك + 9 ك =

( س - 2 )*[ (ك + 1) س^2 + 2 ك س + 4 ك ] + 9 ك

لكى يكون باقى قسمة الدالة على ( س - 2 ) = 9

يكون قيمة الثابت ك = 1

للتحقق

[( ك + 1 ) س^3 - 2 س^2 + ك]/(س - 2) =

[ 2س^3 - 2س^2 + 1]/(س -2) = 2*(س - 1)(س + 2) + 9/(س - 2)

[أحمد سعد الدين]

اثبت أن :

[(ن + 1)(ن + 2)(ن + 3) .... (2 ن)]/[1*2*3* ... *(2 ن - 1)] = 2^ن

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/35991.jpg

[أحمد سعد الدين]

حل في المجموعة ح المعادلة:

[ (س+1)/(س-1)]^3 -3 [ (س+1)/(س-1)]^2 +[ (س+1)/(س-1)]+1 = 0



نضع [(س + 1)/(س - 1)] = ص

ص^3 - 3 ص^2 + ص + 1 = 0

(ص - 1)(ص^2 - 2 ص - 1) = 0

ص = 1
(س + 1)/(س - 1) = 1 ... ... ، غير مقبول

(ص^2 - 2 ص + 1) = 0
ص = 1 + جذر 2 ... ، أو ص = 1 - جذر 2

(س + 1)/(س - 1) = 1 + جذر 2
س + 1 = (1 + جذر 2)* س - 1 - جذر 2
س = جذر 2 + 1

(س + 1)/(س - 1) = 1 - جذر 2
س + 1 = (1 - جذر 2)* س - 1 + جذر 2
س = جذر 2 - 1

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36206.gif

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36207.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/2037/36810.jpg



ص = 1/2*(س + ع) = الوسط الحسابى بين س ، ع

أ^2 = س*ص
ب^2 = ص*ع

أ*ب/ص = جذرس*ع = الوسط الهندسى بين س ، ع

الوسط الحسابى أكبر من الوسط الهندسى ( بشرط الحدود موجبة )

ص > أ*ب/ص

[أحمد سعد الدين]

أثبت أن: [(ن + 1) ( ن + 2 ) *.......................*2ن ] / [ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )] = 2^ن


[(ن + 1) ( ن + 2 ) *.......................*2ن ] = 2ن! / ن!

[ 1*3*5*........(2ن ــ 1 )] = (2ن - 1)! / 2^(ن - 1) * (ن - 1)!

المقدار = [2ن! / ن!] ÷ [(2ن - 1)! / 2^(ن - 1) * (ن - 1)!]

= [ 2ن! * (ن - 1)! * 2^(ن - 1) ] ÷ [ن! * (2ن - 1)!]

= [2ن*(2ن - 1)! * (ن - 1)! * 2^(ن - 1)] ÷ [ن*(ن - 1)! *(2ن - 1)!]

= 2^ن

[أحمد سعد الدين]

اذا كانت س=أ + ب ، ص = أω + ب ω2 ، ع= أ ω2+ بω
حيث 1 ، ω ، ω2 هي الجذور التكعيبية للواحد الصحيح
فاثبت أن : س ص ع = أ3 + ب3



http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_cubicroot.GIF

[أحمد سعد الدين]

حل المعادلة :

( لو ص + 1 ) لو ( ص/10 ) = 3


(لو ص + 1) (لو ص - 1) = 3

(لو ص)^2 - 1 = 3

(لو ص)^2 = 4

لو ص = + 2 ـــــــــــــــــــــــــــــ> ص = 100

لو ص = - 2 ـــــــــــــــــــــــــــــــ> ص = 1/100

[أحمد سعد الدين]

عدد مكون من ثلاث أرقام تكون متتابعةحسابية وعند

قسمة هذا العدد علي مجموع أرقامة يكون الناتج مساويا ً 48

والفرق بين هذا العدد وبين 198 هو عدد مكون من نفس الأرقام السابقة

مكتوبة بعكس الترتيب الأول أوجد هذا العدد



نفرض أن أرقام العدد بالترتيب هو :

رقم الآحاد = أ ، رقم العشرات = (أ + د) ، رقم المئات = (أ + 2 د)

مجموع أرقام العدد = [3*أ + 3*د]

قيمة العدد = [1 × أ] + [10 × (أ + د)] + [100 × (أ + 2 د)] = [111 *أ + 210*د]

[111 *أ + 210*د] ÷ [3*أ + 3*د] = 48

ومنها : أ = 2*د

أرقام العدد المكون من نفس أرقام العدد السابق بترتيب عكسى هو :

رقم الآحاد = (أ + 2 د) ، رقم العشرات = (أ + د) ، رقم المئات = (أ)

وقيمته = [1 × (أ + 2 د)] + [10 × (أ + د)] + [100 × أ] = [ 111*أ + 12*د]

إذن :

[111 *أ + 210*د] - 198 = [ 111*أ + 12*د]

ومنها : د = 1

إذن :

أرقام العدد على الترتيب هى : 2 ، 3 ، 4

ويكون العدد هو : 432

للتحقق :

432 - 198 = 234
وهو نفس أرقام العدد (432) بترتيب عكسى

[أحمد سعد الدين]

مجموع ثلاث أعداد موجبة يساوي 11/18

والمعكوسات الضربية لهذة الأعداد الثلاثة تكون متتابعة حسابية

فإذا كان مجموع هذة المعكوسات = 18

أوجد الأعداد الثلاثة ؟




نفرض أن الأعداد هى : س ، ص ، ع

س + ص + ع = 11 / 18 ................................... ............... (1)

1/س + 1/ص + 1/ع = 18 ................................... ............. (2)

1/س + 1/ع = 2/ص ................................... ............... ...... (3)

من (2) ، (3) ـــــــــــــــــــــــــــــــــــ ـ> ص = 1 / 6

بالتعويض بقيمة ص فى المعادلة (1) ، (3)

س + ع = 4 / 9 ................................... ............... ............. (4)

1/س + 1/ع = 12 ................................... ............... .......... (5)

من المعادلتين (4) ، (5) ينتج أن :

س = 1/3
ع = 1/9

للتحقق :

س + ص + ع = 1/3 + 1/6 + 1/9 = 11 / 18

1/س + 1/ص + 1/ع = 3 + 6 + 9 = 18

1/س + 1/ع = 3 + 9 = 12 = 2*6 = 2*(1/ص)

[أحمد سعد الدين]

أوجد قيمة س في المعادلة

1 + 7 + 13 + ................ + س = 280


المعادلة هى متتابعة حسابية ، فيها :

الحد الأول = 1
الأساس = 6
مجموع الحدود = 280
الحد الأخير = س

نفرض أن :
عدد الحدود = ن

س = 1 + (ن - 1) × 6 = 6 ن - 5

280 = (ن/2)*[1 + 6 ن - 5] = (ن/2)*(6 ن - 4)
ومنها : ن = 10

س = 6 ن - 5 = 55

للتحقق :

أ = 1 ، د = 6 ، ن = 10

ج = (ن/2)*[2 أ + (ن - 1)*د] = (10/2)*[2 + (10 - 1)*6] = 5*56 = 280

[أحمد سعد الدين]

نعلم أن معادلة الدرجه الثانيه فى متغير واحد هى :
أس^2 + ب س + جـ = 0 ، أ=/= 0

أثبت أن هذه المعادله يمكن كتابتها على الصوره :
س^2 - ( مجموع الجذرين) س + حاصل ضربهما = 0


أس^2 + ب س + جـ = 0

بالقسمة على أ

س^2 + (ب/أ)*س + (ج/أ) = 0 ..................(1)

نفرض أن جذرى المعادلة هما : ل ، ع

(س _ ل)*(س - ع) = 0

س^2 - ل*س - ع*س + ل*ع = 0

س^2 - (ل + ع)*س + ل*ع = 0 ...................(2)

من (1) ، (2)

ب/ا = - (ل + ع) = - (مجموع جذرى المعادلة)

ج/أ = ل*ع = حاصل ضرب جذرى المعادلة

فتكون المعادلة على الصورة :

س^2 - (مجموع الجذرين)* س + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

[أحمد سعد الدين]

إذا كان أ ، ب ، جـ تكون متوالية عددية
وكان : أ ، س ، ص ، جـ تكون متوالية هندسية
إثبت أن : س^3 + ص^3 = 2 ب س ص


2 ب = أ + ج
س*ص = أ*ج

2 ب*س*ص = أ*ج (أ + ج) = ج*أ^2 + أ*ج^2

فى المتوالية الهندسية :

نفرض أن : س = أ*ر ، ص = أ*ر^2 ، ج = أ*ر^3

س^3 + ص^3 = أ^3 × ر^3 + أ^3 × ر^6

= [أ^2 × أ ر^3] + [أ × (أ ر^3 )^2] = ج*أ^2 + أ*ج^2

= 2 ب*س*ص

[أحمد سعد الدين]

إذا كان : ل^2 ، م ^2 ، م^4 - ل^2

في تتابع هندسي فأثبت أن م^2 > 2



م^2 هو الوسط الهندسى للعددين ل^2 ، (م^4 - ل^2)

الوسط الحسابى = 1/2*(ل^2 + م^4 - ل^2) = 1/2*م^4

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى
(للأعداد الموجبة)

وحيث أن الأعداد هى مربعات أعداد ، فتكون موجبة وينطبق عليها متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى


إذن :

1/2*م^4 > م^2

م^2 > 2

[أحمد سعد الدين]

إذا كانت 3 أ ، 3 ب - أ ، 2 ب في تتابع حسابي

فأثبت أن : أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ ب


بشرط أن يكون كل من : 3 أ ، 2 ب أعداد موجبة
فيمكن تطبيق متفاوتة العلاقة بين الوسط الحسابى والوسط الهندسى لهما

الوسط الحسابى > الوسط الهندسى

3 ب - أ > جذر(6*أ*ب)

بالتربيع لكلا الطرفين

أ^2 + 9 ب^2 - 6*أ*ب > 6*أ*ب

أ^2 + 9 ب^2 > 12 أ*ب

[أحمد سعد الدين]

سار قطار 300 كم متر بسرعة منتظمة لو انها زادت خمسة كيلومترات في الساعة لنقص الزمن الذي استغرقه ساعتين .فما سرعة القطار؟



نفرض أن السرعة المنتظمة = ع كم/ساعة
والزمن المستغرق = ن ساعة

المسافة المقطوعة = السرعة المنتظمة × الزمن المستغرق
300 = ع × ن ...... ، ومنها : ن = 300 / ع

300 = (ع + 5)(ن - 2) = (ع + 5)(300/ع - 2)

ع^2 + 5 ع - 750 = 0
(ع - 25)(ع + 30) = 0

حيث السرعة المنتظمة فى اتجاه المسافة (قيمة موجبة)

سرعة القطار = 25 كم/س

[أحمد سعد الدين]

باع رجل حصانا بمبلغ 72 جنيها فوجد ان خسارته في المائة تساوي 1/8 عدد الجنيهات التي دفعها ثمنا للحصان .فبكم اشتري الحصان ؟



نفرض أن ثمن الشراء = س جنيها

قيمة الخسارة بالجنيه ( مع إهمال الاشارة السالبة ) = ثمن الشراء - قيمة البيع = س - 72 جنيها

النسبة المئوية للخسارة = [( قيمة الخسارة ) ÷ ( ثمن الشراء )] × 100 = [(س - 72)/(س)]×100

وهى تساوى 1/8 * ثمن الشراء

إذن :

[(س - 72)/(س)]×100 = س/8

س^2 - 800 س + 800×72 = 0

(س - 80)(س - 720) = 0

س = 80 أو س = 720

والقيمتان تحققان الشروط

وبالرغم من زيادة قيمة الخسارة بالجنيه عندما يكون ثمن الشراء 720 جنيه حيث = 720 - 72 = 648 جنيه

إلا أنه منطقى فقد يكون الحصان المباع مريضا أو هزيلا ففقد نفعه ، وتم بيعه لحديقة الحيوان لاطعام السباع مثلا .

أما عن ثمن الشراء بمبلغ 80 جنيه فهو لا يتناسب مع السعر المتداول بالسوق ، وقد يجوز أن يكون بأسعار منذ 30 عاما فأكثر

والله أعلم

[أحمد سعد الدين]

حوض يمكن ان تملأه حنفيتان في 100/3 من الدقائق فاذا كانت الحنفية الكبري تملأ الحوض في زمن اقل مما تملؤه فيه الصغري بمقدار 15 دقيقة .فما مقدار الزمن الذي تملأ كل منهما فيه الحوض بمفردها؟


نفرض أن :

حجم الحوض = (ح) لتر
معدل الملأ للحنفية الكبرى = (ك1) لتر/دقيقة
معدل الملأ للحنفية الصغرى = (ك2) لتر/دقيقة

الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = ن1 دقيقة = ح/ك1 ... ، ومنها : ك1 = ح/ن1

الزمن اللآزم لملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = ن2 = ح/ك2 دقيقة ... ، ومنها : ك2 = ح/ن2

ن1 = ن2 - 15

الزمن اللآزم لملأ الحوض بكلتا الحنفيتان فى نفس الوقت = 100/3 دقيقة = ح/(ك1 + ك2)

100/3 = ح/[(ح/ن1) + (ح/ن2)] = (ن1 × ن2) ÷ (ن1 + ن2)

3×ن1×ن2 = 100×ن1 + 100×ن2

3×(ن2 - 15)×ن2 = 100×(ن2 - 15) + 100×ن2

3(ن2)^2 - 45(ن2) = 100(ن2) - 1500 + 100(ن2)

3(ن2)^2 - 245(ن2) + 1500 = 0

باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد ، ينتج :

ن2 75 دقيقة أو ن2 = 20/3 دقيقة

عند ن2 = 75 ـــــــ> ن1 = 75 - 15 = 60 دقيقة

عند ن2 = 20/3 ـــــ> ن1 = 20/3 - 15 = - 25/3 ( مرفوضة)

ويكون :

زمن ملأ الحوض بالحنفية الكبرى منفردة = 60 دقيقة
زمن ملأ الحوض بالحنفية الصغرى منفردة = 75 دقيقة

للتحقق :

زمن ملأ الحوض بالحنفيتان سويا = (60×75) ÷ (60 + 75) = 100/3 دقيقة

[أحمد سعد الدين]

رجل يمكنه ان يقطع 24 كيلو مترا في نهر في 5 ساعات اذا جدف نصف المسافة مع التيار ومشي النصف الآخر علي الشاطئ ولو جدف نصف المسافة في الجهة المضادة للتيار لأحتاج الي 7 ساعات لقطع المسافة بأجمعها . أما اذا كان الماء راكدا فانه يستغرق في قطع المسافة بأجمعها 17/3 من الساعات اذا جدف نصف المسافة ومشي النصف الآخر علي الشاطئ .
فما سرعته اذا مشي وما سرعته اذا جدف وما سرعة التيار؟


نفرض أن :

سرعة المشى = ع كم/س
سرعة التجديف = ج كم/س
سرعة التيار = ت كم/س

السرعة منتظمة
فيكون : السرعة = المسافة المقطوعة / الزمن المستغرق



5 = [12 ÷(ج + ت)] + [12 ÷ ع]......... (1)

7 = [12 ÷(ج - ت)] + [12 ÷ ع]......... (2)

17/3 = 12/ج + 12/ع .................. (3)

وبحل المعادلات الثلاث ، ينتج أن :

سرعته إذا مشي 4 كيلو متر في الساعة

وسرعته إذا جدف 4.5 كيلو متر في الساعة

وسرعة التيار 1.5 كيلومتر في الساعة.

[أحمد سعد الدين]

ما العدد الذي إذا طرح من مربعه 119 يكون باقي الطرح مساويا لعشرة أمثال باقي طرح 8 من هذا العدد ؟


نفرض العدد = س

س^2 - 119 = 10×(س - 8) = 10 س - 80

س^2 - 10 س - 39 = 0
(س - 13)(س + 3) = 0

س = 13 أو س = - 3

ويحققان الشرط

[أحمد سعد الدين]

عمر رجل خمسة أمثال عمر ولده ومجموع مربعي عمريهما 2106 فما عمرهما ؟


نفرض أن :
عمر الأب = س عام
عمر الابن = ص عام

س = 5 ص
س^2 + ص^2 = 2106

26 ص^2 = 2106
ص^2 = 81

ص = 9 أعوام
س = 45 عام

[أحمد سعد الدين]

مجموع مقلوبي عددين متتالين ( 15 ÷ 56 ) فما العددان ؟



الحل بطريقة التحليل الرياضى :

15/56 = (8 + 7)÷ (8 × 7) = 1/7 ، 1/8
ويكون العددان هما : 7 ، 8

15/56 = [15 *(8 - 7)]÷ [8 × 7] = 15/7 - 15/8
ويكون العددان هما : 7/15 ، - 8/15


الحل بالطريقة الجبرية :

نفرض أن العددين هما : أ ، ب

أ - ب = 1 ........... ، ومنها : أ = 1 + ب

1/أ + 1/ب = 15/56

(أ + ب)/أ*ب = 15/56

(1 + 2 ب)× 56 = (ب + ب^2)× 15

15 ب^2 - 97 ب - 56 = 0

باستخدام القانون العام لحل معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد

ب = 7 ............. ، ومنها : أ = 8

أو

ب = - 8/15 ........ ، ومنها : أ = 7/15

[أحمد سعد الدين]

ما العدد الذي إذا أضيف إليه 17 يصير الناتج مساويا مقلوب هذا العدد ستين مرة؟


نفرض أن العدد = أ

أ + 17 = 60 / أ

أ^2 + 17 أ - 60 = 0
(أ - 3)(أ + 20) = 0

أ = 3 أو أ = - 20

تحققان الشروط


حل آخر :

معادلة الدرجة الثانية فى مجهول واحد على الصورة :

س^2 - (مجموع جذرى المعادلة)*س + (حاصل ضرب الجذرين) = 0

أ^2 + 17 أ - 60 = 0

أ^2 - (- 17)*أ + (- 60) = 0

- 17 = - 20 + 3
- 60 = - 20 × 3

أ = 3 أو أ = - 20

[أحمد سعد الدين]

ما العددان اللذان مجموعهما 9 أمثال فرقهما وفرق مربعيهما 81 ؟


نفرض أن العددان هما : أ ، ب

أ + ب = 9 (أ - ب)
أ^2 - ب^2 = 81

(أ - ب)(أ + ب) = 81
9 (أ - ب)^2 = 81
(أ - ب)^2 = 9
(أ - ب) = + 3 أو - 3

عند (أ - ب) = 3
يكون : (أ + ب) = 27
وينتج أن :
أ = 15 ، ب = 12

عند (أ - ب) = - 3
يكون : (أ + ب) = - 27
وينتج أن :
أ = - 15 ، ب = - 12

[أحمد سعد الدين]

حاصل جمع عدد ومربعه تسعة أمثال العدد الذي يليه في الكبر فما العدد ؟


نفرض أن العدد = أ

أ + أ^2 = 9 (أ + 1)
أ^2 - 8 أ - 9 = 0

أ^2 - [(9 + (- 1)]* أ + (9 × - 1) = 0

أ = 9 أو أ = - 1

يحققان الشروط

[أحمد سعد الدين]

لأى عددين حقيقيين س ، ص - برهن أن : س^2 +/- س*ص + ص^2 >/= 0


(س + ص)^2 = س^2 + ص^2 + 2 س*ص
س*ص = 1/2*[(س + ص)^2 - (س^2 + ص^2)]

(س - ص)^2 = س^2 + ص^2 - 2 س*ص
- س*ص = 1/2*[(س - ص)^2 - (س^2 + ص^2)]

إذن :

س^2 + س*ص + ص^2 = س^2 + 1/2*[(س + ص)^2 - (س^2 + ص^2)] + ص^2
= 1/2*[(س + ص)^2 + (س^2 + ص^2)] > 0

س^2 - س*ص + ص^2 = س^2 + 1/2*[(س - ص)^2 - (س^2 + ص^2)] + ص^2
= 1/2*[(س - ص)^2 + (س^2 + ص^2)] > 0

وتساوى الصفر فى حالة س = ص = 0

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/43786.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/45772.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/45773.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/45805.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/45806.jpg

[أحمد سعد الدين]

إذا كان :
لو (س+1) للأساس 3 + لو (ص+4) للأساس 3 = 1 + لو 7 للأساس 3
لو (2س-1) للأساس 9 + لو (ص-2) للأساس 9 = 1/2
فأوجد قيمة س ، ص

لو (س+1) للأساس 3 + لو (ص+4) للأساس 3 = 1 + لو 7 للأساس 3
لو[(س + 1)(س + 4)] للأساس 3 = لو[3 × 7] للأساس 3
ومنها :
(س + 1)(س + 4) = 21 ........................... (1)

لو (2س-1) للأساس 9 + لو (ص-2) للأساس 9 = 1/2
لو[(2س - 1)(س - 2)] للأساس 9 = 1/2 = لو[9^1/2] للأساس 9
ومنها :
(2س - 1)(س - 2) = 9^1/2 = 3 ................... (2)

بحل المعادلتين (1) ، (2) فى مجهولين س ، ص
ينتج أن :
س × ص = 6
وبالتعويض عن قيمة ص = 6/س فى المعادلة (2)
4 س^2 - 11 س + 6 = 0
وباستخدام القانون العام لايجاد جذرى المعادلة من الدرجة الثانية فى مجهول واحد س
فيكون :
س = 2 ــــــــــــــــــــــ> ص = 3
أو
س = 3/4 ــــــــــــــــــــ> ص = 8

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3443/43656.jpg

[أحمد سعد الدين]

حل معادلتين فى متغيرين

1) س + ص = 5 ، س2 + ص2 = 13

2) س + ص = 7 ، س2 + ص2 ــ س ص = 19

3) س + 2ص = 5 ، س2 ــ س ص + ص2 = 3

4) ص = 3 + س ، س2 + ص2 = 17

5) س + ص = 3 ، س ص ــ 2 = 0

6) س ــ 3 ص ــ 1 = 0 ، س2 ــ 2 س ص + 9 ص2 = 17

7) 2 س ــ 3 ص = 0 ، س ص = 54


الأولى :

س + ص = 5 ـــــــ> ( س + ص )^2 = 25
ومنها : س^2 + ص^2 + 2 س ص = 25
وحيث : س^2 + ص^2 = 13
إذن : 2 س ص = 25 - 13 = 12 ـــــ> س ص = 6
بالتعويض عن قيمة س = 5 - ص ـــــ> ص^2 - 5 ص + 6 = 0
وهى معادلة من الدرجة الثانية فى متغير واحد
بالتحليل :
( ص - 2 ) ( ص - 3 ) = 0
ومنها :
ص = 2 ــــــ> س = 3
أو
ص = 3 ـــــــ> س = 2

مجموعة الحل : ( 2 ، 3 ) ، ( 3 ، 2 )


الثانية :

نفس طريقة الحل السابقة ، ينتج أن :

مجموعة الحل : ( 2 ، 5 ) ، ( 5 ، 2 )


الثالثة :

س + 2 ص = 5 ـــــ> س = 5 - 2 ص
بالتعويض عن قيمة س بدلالة ص فى المعادلة : س^2 - س ص + ص^2 = 3
ينتج أن :
7 ص^2 - 25 ص + 22 = 0
( ص - 2 ) ( 7 ص - 11 ) = 0
إذن :
ص = 2 ، ومنها : س = 5 - 2 × 2 = 1
ص = 11 / 7 ، ومنها : س = 13 / 7
وتكون مجموعة الحل : ( 1 ، 2 ) ، ( 13 / 7 ، 11 / 7 )


الرابعة :

ص = 3 + س .............................. (1)
س^2 + ص^2 = 17 ......................... (2)
بالتعويض عن قيمة ص بدلالة س من (1) فى (2)
ينتج أن :
س^2 + 3 س - 4 = 0
( س - 1 ) ( س + 4 ) = 0
إذن :
س = 1 ــــــــ> ص = 4
س = - 4 ـــــــ> ص = - 1
مجموعة الحل : ( 1 ، 4 ) ، ( - 4 ، - 1 )


الخامسة :

س + ص = 3
س ص - 2 = 0 ـــــ> س = 2 / ص
إذن :
2 / ص + ص = 3
ومنها : ص^2 - 3 ص + 2 = 0
( ص - 1 ) ( ص - 2 ) = 0
ص = 1 ، ومنها : س = 2
ص = 2 ، ومنها : س = 1
مجموعة الحل : ( 1 ، 2 ) ، ( 2 ، 1 )


السادسة :

س - 3 ص - 1 = 0 ـــــ> ( س - 3 ص )^2 = 1
س^2 - 6 س ص + 9 ص^2 = 1
س^2 + 9 ص^2 = 6 س ص + 1 ..................... (1)
وحيث : س^2 - 2 س ص + 9 ص^2 = 17
ومنها : س^2 + 9 ص^2 = 2 س ص + 17 ............ (2)
من (1) ، (2)
س ص = 4 ـــــ> س = 4 / ص
إذن :
4 / ص - 3 ص - 1 = 0
3 ص^2 + ص - 4 = 0
( ص - 1 ) ( 3 ص - 4 ) = 0
ص = 1 ، ومنها : س = 4
ص = - 4 / 3 ، ومنها : س = - 3
مجموعة الحل : ( 4 ، 1 ) ، ( - 3 ، - 4 / 3 )


السابعة :

2 س - 3 ص = 0 ـــــــ> س = 3 ص / 2
إذن :
( 3 ص / 2 ) × ص = 54 ـــــــــــ> ص^2 = 36
وتكون :
ص = 6 ، ومنها : س = 9
ص = - 6 ، ومنها : س = - 9
مجموعة الحل : ( 9 ، 6 ) ، ( - 9 ، - 6 )

[أحمد سعد الدين]

مستطيل طوله س و عرضه ص و مساحته 77 سم2 ، إذا نقص طوله بمقدار 2 سم، زاد عرضه بمقدار 2سم لأصبح مربع . أوجـــد بعدي المستطيل ؟

مساحة المستطيل = الطول × العرض
س ص = 77 .............................. (1)
المربع أبعاده متطابقة
إذن :
( س - 2 ) = ( ص + 2 )
س = ص + 4 .............................. (2)
من (1) ، (2)
( ص + 4 ) × ص = 77
ص^2 + 4 ص - 77 = 0
( ص - 7 ) ( ص + 11 ) = 0
ص = 7 ، ومنها : س = 11
ص = - 11 ، مرفوض للقيمة السالبة
ويكون :
بعدى المستطيل : 11 ، 7

[أحمد سعد الدين]

عددان مجموعهما الواحد الصحيح ، و مجموع مربعيهما 41 فما هما العددان ؟

نفرض أن العددين هما : س ، ص
إذن :
س + ص = 1 ــــ> ( س + ص )^2 = 1
س^2 + ص^2 + 2 س ص = 1
وحيث :
س^2 + ص^2 = 41
فيكون :
41 + 2 س ص = 1 ـــــ> س ص = - 20
بالتعويض عن قيمة س = 1 - ص
( 1 - ص ) × ص = - 20
ص^2 - ص - 20 = 0
( ص - 5 ) ( ص + 4 ) = 0
ص = 5 ـــــــ> س = - 4
أو
ص = - 4 ــــــ> س = 5

العددان هما : - 4 ، 5

[أحمد سعد الدين]

عددان مجموعهما 8 و حاصل ضربهما 12 فما هما العددان ؟

نفرض أن العددين هما : س ، ص
س + ص = 8
س ص = 12

بنفس الطرق السابقة بالتعويض عن قيمة متغير بدلالة الآخر
س = 8 - ص
( 8 - ص ) × ص = 12
ص^2 - 8 ص + 12 = 0
( ص - 2 ) ( ص - 6 ) = 0
ص = 2 ــــــــــــ> س = 6
ص = 6 ــــــــــــ> س = 2
ويكون العددين هما : 2 ، 6

[أحمد سعد الدين]

ضع الاعداد من 1 الي 16 في خط افقى
بحيث كل عددين متتاليين مجموعهما مربع كامل
وهل يمكن
الكتابة على شكل دائرة وليس خط افقى


إذا فحصنا الأعداد فسنجد أن هذا الشرط متوقر فى جميع الأعداد من 1 الى 16 عدا عددين ، وهما : 8 ، 16

فالعدد 8 لا يرتبط سوى بعدد واحد فقط ليكون مربع كامل وهو العدد 1

والعدد 16 أيضا لا يرتبط سوى بعدد واحد فقط ليكون مربع كامل وهو العدد 9

وبالتالى يمكن الترتيب على خط مستقيم
ويستحيل وضع السلسلة فى شكل دائرة مقفلة



http://up.arabsgate.com/u/1524/3544/47316.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3544/47352.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49228.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49229.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://www.al3ez.net/upload/d/ahmad_saadeldin_32 propotion.JPG

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49346.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49407.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49557.jpg

#################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49558.jpg

#######################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49578.jpg


############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49942.jpg


####################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/49943.jpg

##################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/51148.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/51526.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/51527.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/52301.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/52884.jpg

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/54485.gif

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/55058.gif


####################

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/1524/4022/56810.gif

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59709.gif

###########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59715.gif

##########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59751.gif

############

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/62711.gif

#########

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين



http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/62728.gif

#######

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ أشرف محمد - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/63194.gif

$$$$$$$$

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ أبو صبا - طالب نهائى كلية التربية بالسعودية

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4725/70865.gif

########

[أحمد سعد الدين]

تمرين ( 74 )

تمرين للأستاذ سمير وهدان - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/70969.gif

#######

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ على حسين

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4855/72310.gif

#######

[أحمد سعد الدين]

تمرين للأستاذ أشرف محمد - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين


http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/59113.gif

#############

[أحمد سعد الدين]

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73962.gif

#######