مسائل وحلول - الديناميكا [الأرشيف] - منتدى الفيزياء التعليمي

المساعد الشخصي الرقمي

مشاهدة النسخة كاملة : مسائل وحلول - الديناميكا

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:40 PM

حلول تمارين

فى

الديناميكا

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:41 PM

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:41 PM

س ، ص نقطتان علي طريق افقي بدات سياره ا الحركه نحو ص مبتداه من س من و السكون

وبعجله منتظمه 10 متر علي الثانيه تربيع وفي نفس اللحظه

كانت تتحرك سياره ب من ص نحو س بسرعه منتظمه 54 كيلومتر علي الساعه

فاذا كانت السرعه النسبيه للسياره ا بالنسبه للسياره ب لحزة التقائهما تساوي 162 كيلو متر علي الساعه

اوجد الزمن الذي تاخذه كل من السارتان

من لحظة تحركهما معا حتي لحظة التقائهما

السيارة ب :

السرعة المنتظمة = 54 كم/ساعة

السيارة أ :

السرعة الابتدائية = 0
السرعة عند نقطة التقابل مع السيارة ب = 162 - 54 = 108 كم/ساعة
عجلة التسارع = 10 متر/ثانية مربعة

السرعة عند نقطة التقابل = عجلة التسارع * زمن الوصول
108 * 10^3 / 60^2 = 10 * الزمن

الزمن = 3 ثانية

يمكن ان نضيف للتمرين سؤال عن طول المسافة بين السيارتين قبل التلاقي وكم قطعت كل منهما حتى يتلاقيان.؟

المسافة التى تقطعها السيارة (ب) حتى نقطة التقابل = ع*ن = ( 54 * 10^3 / 60^2 )*3 = 45 مترا

المسافة التى تقطعها السيارة (أ) حتى نقطة التقابل = 1/2 * عجلة التسارع * مربع الزمن = 1/2 * 10 * 3^2 = 45 مترا

المسافة بين السيارتين عند بدء التحرك = 45 + 45 = 90 مترا

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:42 PM

وضع جسم كتلته ك كيلوجرام عند قمة مستوي مائل خشن طوله عشرين سم ويميل علي الافقي بزاويه قياسها ثلاثين درجه اوجد سرعة الجسم عندما يصل الي اسفل نقطه في المستوي اذا عليم ان المقاومه له التي يلاقيها الجمي تساوي ربع وزنه

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_2.JPG

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/34972.gif

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:43 PM

وضع جسم كتلته 100 جم عند قمة مستوي مائل خشن ارتفاعه 100 سم فانزلق

ووصل علي قاعدة المستوي بسرعه 3 م / ث احسب الشغل المبذول ضد مقاومة

المستوي للحركه ؟؟؟

الطاقة الكلية ثابتة لا تتغير ويمكن تحويلها من شكل الى آخر

فى حالة المسألة :

الطاقة الكلية = مجموع طاقتى الوضع والحركة

عند بدء الانزلاق من حالة السكون :

طاقة الوضع = 0.1 كجم * 9.8 م/ث^2 * 1 م = 0.98 نيوتن.متر ( جول )

السرعة = 0 م/ث ... ( الكتلة تنزلق من وضع السكون )

طاقة الحركة = 0 جول

الطاقة الكلية عند بدء الانزلاق = 0.98 جول

عند قاعدة المستوى :

طاقة الوضع = 0 جول

طاقة الحركة ناتجة من تأثير قوتين :

أ - القوة المحركة فى اتجاه الحركة ( بتأثير وزن الجسم )
ب - قوة خارجية إضافية فى اتجاه معاكس للحركة ( تمثل مقاومة السطح الخشن للحركة )

السرعة الفعلية الناتجة من تأثير القوتين = 3 م/ث

طاقة الحركة الناتجة من تأثير القوتين المؤثرتين على الجسم ( وزن الجسم - مقاومة السطح الخشن )

= 1/2 * 0.1 كم * (3 م/ث)^2 = 0.45 جول

ملحوظة هامة :
يتلاحظ أنه بتأثير القوة الخارجية الحادثة أثناء الحركة ولم تكن موجودة عند البدء ، فقد أضافت الى الطاقة الكلية عند بدء الحركة شغلا مبذولا من تأثير هذه القوة الخارجية

الطاقة الكلية عند نهاية المستوى = الطاقة الكلية عند بدء الحركة + الشغل المبذول من تأثير القوة الخارجية الحادثة أثناء الحركة

0.98 جول + ( الشغل المبذول ضد مقاومة المستوي للحركه ) = طاقة الوضع عند نهاية المستوى + طاقة الحركة عند نهاية المستوى الناتجة من تأثير القوتين المؤثرتين على الجسم ( وزن الجسم - مقاومة السطح الخشن ) = 0 + 0.45 جول = 0.45 جول

الشغل المبذول ضد مقاومة المستوي للحركه = 0.45 جول - 0.98 جول = - 0.53 جول ( قيمة سالبة لأنها عكس اتجاه الحركة )

تنويه :

فى مسائل الديناميكا يعتمد الحل على تحديد القوى المؤثرة على الحركة واتجاهاتها وأزمنة تأثيرها

مفاهيم :

ما نطلق عليه طاقة الوضع فهى ترجمة خاطئة للمصطلح الأصلى Potential energy

والترجمة الصحيحة هى الطاقة الكامنة ، ويمكن تسميتها بالطاقة المخزّنة

والطاقة الكامنة Potential energy تعرف بأنها الطاقة المخزنة بالجسم نتيجة الشغل المبذول من قوة معينة مثل : قوة الجاذبية الأرضية ، القوة الكهربية بالكولون ، ...
لانتقالها من موضع لآخر ، فتتغير الطاقة الكامنة بالجسم نتيجة هذا التغير فى الوضع

والتغير الحادث فى الطاقة الكامنة يساوى الشغل المبذول

والطاقة الكامنة لها أشكال متعددة تبعا لنوعية القوة المحدثة للشغل

والشغل المبذول من كل نوع من القوى المؤثرة يعتبر طاقة كامنة

فالشغل المبذول من قوة الجاذبية الأرضية يسمى : الطاقة الكامنة للجاذبية الأرضية gravitational potential energy

والشغل المبذول من القوة المرنة ( مثل قوة ضغط زنبرك أو قوة شد خيط مطاطى ) ، يسمى : الطاقة الكامنة المرنة elastic potential energy

والشغل المبذول من القوة الكهربية بالكولون تسمى : الطاقة الكامنة الكهربية electric potential energy

والشغل المبذول من القوة المغناطيسية يسمى : magnetic potential energy

وإذا قامت بتغيير ترتيب الذرات والالكترونات فتسمى : الطاقة الكامنة الكيميائية Chemical potential energy

وهكذا الشغل المبذول من القوة النووية فيسمى : الطاقة الكامنة النووية nuclear potential energy

والشغل المبذول من القوة المرنة يسمى : الطاقة الكامنة المرنة elastic potential energy

أمثلة :

- عند رفع جسم من الأرض الى منضدة مرتفعة عن الأرض ، تعمل قوة الجاذبية الأرضية شغل بالسالب ( عكس اتجاه الحركة ) ، وفى حالة رجوع الجسم الى الأرض فتعمل قوة الجاذبية الأرضية شغلا مساو موجبا

- إذا وقع الجسم من المنضدة الى الأرض ، فالشغل يسمى الطاقة الكامنة ويعمل على تحريك الجسم ويسمى فى هذه الحالة " طاقة الحركة " kinetic energy

- عندما يصطدم الجسم بالأرض ( بدون ارتداد ) تتحول طاقة الحركة الى طاقة حرارية وطاقة صوتية نتيجة التصادم

- عندم يتم شد خيط مطاطى / زنبرك فتعمل قوة الشد على استطالة طول الخيط / الزنبرك ، هذا الشغل المبذول يعمل على انتقال الطاقة وتخزينها بالخيط / الزنبرك ، ويتحول الشغل المبذول الى طاقة مخزنة ( طاقة كامنة) elastic potential energy

- عند فك الشد على الخيط المطاطى فتتحول الطاقة الكامنة الى حركة ينشأ منها طاقة حركة Kinetic energy
فيطير الخيط فى الهواء ، وبالتالى فالطاقة الكامنة قد تحوّلت الى طاقة حركة

- لعبة الأطفال المسماة باليويو عند بدء السقوط ( لحظة سكون ) لأسفل نحو الأرض يكون بها طاقة مخزنة ( طاقة كامنة ) نتيجة وضعها بفعل قوة الجاذبية الأرضية ، وتكون الطاقة الكامنة أقصى قيمة فى هذا الوضع
وعندما تبدأ فى السقوط فيبدء تحول الطاقة الكامنة الى طاقة حركة
وعندما تكون فى أسفل وضع ، فتكون الطاقة المخزنة قد تحولت الى طاقة حركة ، وتكون طاقة الحركة أقصى قيمة فى هذا الوضع

وبتطبيق هذه المفاهيم على المسألة المعروضة :

عند لحظة بدء الحركة ( لحظة سكون ) :

الجسم أعلى المستوى المائل على ارتفاع 100 سم من مستوى الأرض

القوى المؤثرة على الجسم هى :

الوزن = 0.1 * 9.8 = 0.98 نيوتن ( واتجاه القوة رأسى لأسفل )

رد فعل المستوى على الجسم وهو مساو للوزن وفى عكس الاتجاه

كون الجسم يرتفع عن الأرض فتعمل قوة الجاذبية الأرضية شغلا يتم تخزينه فى الجسم كطاقة مخزنة ( طاقة كامنة ) = 0.98 نيوتن * 1 متر = 0.98 جول

أثناء الحركة للجسم :

عند تحرك الجسم فيبدء تحول الطاقة الكامنة الى طاقة حركة وتكسب الجسم حركة تتزايد كلما اقترب من مستوى الأرض ويقابلها نقص بنفس المقدار للطاقة الكامنة بفعل قوة الجاذبية الأرضية ( الطاقة المخزنة )

والقوى المؤثرة على الجسم هى :

الوزن = 0.1 * 9.8 = 0.98 نيوتن ( واتجاه القوة رأسى لأسفل )

رد فعل المستوى على الجسم وهو مساو للوزن وفى عكس الاتجاه

مقاومة السطح الخشن لحركة الجسم ( مع إهمال المقاومات الأخرى كمقاومة الهواء .. ) ولا تبدأ عملها إلا أثناء حركة الجسم الفعلية ، وهى عكس اتجاه الحركة
وتبذل شغلا ( بالسالب ) ويمكن تسميته بطاقة الحركة للمقاومة

عند وصول الجسم الى أسفل المستوى :

فتكون الطاقة المخزنة قد تحولت الى طاقة حركة ، وتكون طاقة الحركة أقصى قيمة فى هذا الوضع

والآن : ماهى القوى المؤثرة على الجسم التى بذلت شغلا لتحريكه وفاكتسب طاقة حركته ؟

قوة الوزن = 0.98 نيوتن ( واتجاه القوة رأسى لأسفل )
ومركبتها فى اتجاه الحركة = 0.98 جاهـ نيوتن
حيث زاوية هـ = زاوية ميل المستوى

قوة المقاومة فى عكس اتجاه الحركة ( غير معلومة )

الطاقة المخزنة عندما كان الجسم أعلى المستوى = طاقة الحركة الفعلية المكتسبة للجسم عند وصوله أسفل المستوى + طاقة مستنفذة ناتجة عن شغل قوة المقاومة والتى تحوّلت الى طاقة حرارية وصوتية

طاقة الحركة الفعلية = 1/2 * 0.1 * 3*2 = 0.45 جول

0.98 جول = 0.45 جول + الشغل المبذول من قوة المقاومة والتى تحولت الى طاقة حرارية وصوتية

الشغل المبذول من قوة المقاومة = 0.98 - 0.45 = 0.53 جول

ويمكن حل المسألة بقوانين الحركة لنيوتن :

القوى المؤثرة على الجسم وأكسبته الحركة فى اتجاه المستوى هى :

مركبة وزن الجسم فى اتجاه المستوى لأسفل = 0.1 * 9.8 * جاهـ = 0.98 جاهـ نيوتن
حيث زاوية هـ = زاوية ميل المستوى على الأفقى

قوة المقاومة فى اتجاه المستوى لأعلى = م = مجهولة

0.98 جاهـ - م = 0.1 ج
حيث ج = عجلة تسارع الجسم أثناء تحركه الى أسفل المستوى

الشغل المبذول من القوى المحركة = 0.1 ج* ف
حيث ف = مسافة التحرك فى اتجاه المستوى لأسفل = 0.1 / حاهـ

مربع سرعة الجسم أسفل المستوى = مربع السرعة الابتدائية + 2 ج * ف

3*2 = 0 + 2 ج * ف

ج = 9 /( 2 ف )

الشغل المبذول من القوى المحركة فى اتجاه الحركة = 0.1 *( 9/2 ف )* ف = 0.45

= 0.98 * ف جاهـ - م*ف = ( 0.98 * 1) - (الشغل المبذول من قوة المقاومة)

الشغل المبذول من قوة المقاومة = 0.98 - 0.45 = 0.53 جول

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:44 PM

وضع جسم عند قمة مستوي مائل
طوله 15 متر
وارتفاعه 9 متر
وترك ليهبط علي المستوي ضد مقاومات
تعادل ربع وزنه فبلغت
طاقة حركته عند اسفل نقطه في المستوي 2,1 كجم متر
اوجد كتله الجسم
ومقدار اكبر سرعه له ؟؟

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_3.JPG

فى مسائل الحركة يلزم تحديد القوى المؤثرة على الجسم المتحرك وإتجاهاتها، ومن ثم تحليل تلك القوى فى إتجاه حركة الجسم

مركبات القوى فى إتجاه الحركة تكون موجبة ، وفى عكس إتجاه الحركة تكون سالبة

أما القوى فى إتجاه عمودى على حركة الجسم فهى فى حالة اتزان

نفرض أن

كتلة الجسم = ك كجم

ثقل الجسم = و ث.كجم = 9.8 ك نيوتن

عجلة التسارع = ج متر/ث^2

السرعة = ع متر/ث

المسافة = ف متر

طاقة الحركة = ح نيوتن متر

الطريقة الأولى : باستخدام قوانين الحركة لنيوتن

[(3/5) - (1/4)]* 9.8 ك = ك*ج

ج = 3.43 متر/ث^2

ع^2 = 2ج*ف = 2*3.43*15 = 102.9 متر^2 /ث^2

طاقة الحركة = 2.1 ث كجم.متر = 2.1 *9.8 نيوتن.متر = ا/2 * ك * ع^2

ك = 0.4 كجم = 400 جم

وأكبر سرعة عند أسفل المستوى = ع = جذر102.9 = 10.14 متر/ث

الطريقة الثانية : باستخدام قوانين الطاقة

من المعلوم أن الطاقة الكلية تكون ثابتة فى جميع الأحوال ، ولكنها تتغير من نوع الى آخر

فالطاقة الداخلية ( والتسمية الشائعة طاقة الوضع ) تتحول الى طاقة حركة عند تحرك الجسم ، والشغل المبذول من المقاومة يتحول الى طاقة حرارية وضوئية ، وهكذا

وفى جميع الأوضاع تكون الطاقة الكلية ثابتة

قبل بدء الحركة :

الجسم ساكن

الطاقة الكلية = الطاقة الداخلية نتيجة ارتفاع الجسم عن سطح الأرض = 9.8 ك * 9 نيوتن.متر

عند بدء الحركة :

تعمل المقاومة ضد إتجاه الحركة
الشغل المبذول من المقاومة = 1/4 * 5/3 * 9.8 ك *9 = 5/12*9.8 ك *9 نيوتن.متر

ويتحول جزء من الطاقة الداخلية نتيجة اقتراب الجسم من سطح الأرض الى طاقة حركة ، ومقابل شغل المقاومة

عند الوصول الى سطح الأرض :

تكون الطاقة الداخلية قد تحولت الى :

طاقة الحركة = 2.1*9.8 نيوتن.متر

وطاقة مستنفذة فى شغل المقاومة والتى تحولت الى طاقة حرارية وضوئية

إذن :

9.8 ك * 9 نيوتن.متر = 2.1*9.8 نيوتن.متر + 5/12*9.8 ك*9 نيوتن.متر

ك = 0.4 كجم = 400 جم

أكبر سرعة عند أكبر طاقة حركة أى عند لحظة وصولها الى سطح الأرض

طاقة الحركة = 2.1 ث كجم.متر = 2.1 *9.8 نيوتن.متر = ا/2 * 0.4 * ع^2

ع^2 = 102.9

ع = 10.14 متر/ث

تنويه :

فى معادلات قوانين الحركة وقوانين الطاقة يكون وحدات القياس كالآتى :

القوة أو الوزن : نيوتن وهو يساوى كجم.متر/ث^2

الطاقة أو الشغل : جول وهو يساوى نيوتن.متر

وعلى ذلك :

فإذا كانت معطيات التمرين لوحدة قياس القوة أو الوزن بالثقل كجم

فعند تطبيق قانون الحركة لنيوتن :

القوة ( مقاسة بالنيوتن ) = الكتلة( مقاسة بالكجم ) * عجلة التسارع ( مقاسة بالمتر/ث^2 )

والنيوتن = كجم.متر/ث^2

ووحدات الطرف الأيسر لمعادلة الحركة = كجم.مثر/ث^2

وشرط صحة تطبيق القانون هو التقيد بوحدات القياس لعناصره

فيلزم تحويل وحدات قياس

القوة من الثقل كجم الى نيوتن.متر

والثقل كجم = 9.8 نيوتن = 9.8 كجم.مثر/ث^2

والكتلة من الجرام مثلا لتكون بالكجم

وعجلة التسارع من سم/ث^2 مثلا الى متر/ث^2

وكذلك قوانين الطاقة :

فمثلا : طاقة الحركة ( مقاسة بالجول وهو يساوى نيوتن.متر ) = 1/2 * الكتلة ( مقاسة بالكجم ) * مربع السرعة ( والسرعة مقاسة بالمتر/ث )

ووحدات الطرف الأيسر لمعادلة الطاقة = كجم.متر^2/ث^2 = ( كجم.متر/ث^2 ) *متر = نيوتن.متر = جول

فيلزم تحويل وحدات القياس الى الوحدات المبينة لشرط صحة تطبيق القانون

فيتم تحويل وحدات قياس

الطاقة من ث كجم.متر الى نيوتن.متر

والسرعة الى متر/ث

وحدة قياس الشغل هى الجول = نيوتن.متر

الشغل المبذول من المقاومة ( مقاسة بالنيوتن.متر) = قوة المقاومة ( مقاسة بالنيوتن )* المسافة المقطوعة ( مقاسة بالمتر )

وحدات القياس للطرف الأيسر للقانون = نيوتن * متر

فلتطبيق القانون كما أسلفت ، يلزم التقيد بوحدات القياس

فيتم تحويل وحدة قياس القوة من الثقل كجم الى نيوتن

القوة بالنيوتن = القوة بالثقل كجم * عجلة الجاذبية بالمتر/ث^2

وفى حالة الوزن :

مقياس الوزن [و] بالثقل كجم = قيمة الكتلة بالكجم = ك

ويكون الوزن بالنيوتن = قيمة الكتلة * عجلة الجاذبية بالمتر/ث^2 = 9.8 ك نيوتن

الشغل المبذول من المقاومة ( مقاسة بالنيوتن.متر) = قوة المقاومة ( مقاسة بالنيوتن )* المسافة المقطوعة ( مقاسة بالمتر )

قوة المقاومة = 1/4 * الوزن ( مقاس بالثقل كجم ) = 1/4 *9.8 ك نيوتن

الشغل المبذول من المقاومة ( مقاسة بالنيوتن.متر) = (1/4 * 9.8 ك ) * 15

تنويه :

الجول = نيوتن.متر

وهو وحدة قياس الطاقة أو الشغل عدا العزوم وبعض أنواع الطاقة مثل الطاقة الكهربية والطاقة الحرارية والطاقة الكيميائية ...

وأود أو أُنبِّه أبنائى الطلبة الى ضرورة التقيد بوحدات القياس لقوانين الحركة وقوانين الطاقة

ولزيادة التأكد ، يتم مراجعة وحدات القياس لكل من طرفى المعادلة ويلزم تطابق وحدات القياس لكليهما

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:50 PM

بالون كتلته 560 كجم يصعد راسيا الي اعلي بسرعه منتظمه

سقط منه جسما كتلته

70 كجم اوجد مقدار واتجاه العجله التي يتحرك بها البالون بعد سقوط الجسم

فى الحالة الأولى : البالون يصعد بسرعة منتظمة

فتكون قوة الصعود = وزن البالون = 560 ث.كج

فى الحالة الثانية : البالون يصعد بعجلة منتظمة

فتكون محصلة القوى المؤثرة فى الاتجاه الرأسى = كتلة البالون * عجلة التسارع

70 * 9.8 = (560 - 70) * ج

ج = عجلة التسارع = 1.4 متر/ث^2

حل آخر :

قبل السقوط البالون يتحرك بسرعة منتظمة
ق = ك ء
ق = 560 * 9.8 نيوتن
بعد السقوط الجسم يتحرك بعجلة منتظمة
ق ـــ ك ء = ك جـ
560*9.8 ـــ 490*9.8 = 490 جـ ....( حيث كتلة البالون الجديدة = 560 ــ 70 = 490 كم )
جـ = 1.4 م / ث 2 لأعلى ....

تنويه :

وعلى الطالب أن يفهم جيدا فى حركة الأجسام ، ما يلى :

1 - البحث جيدا عن جميع القوى المؤثرة على حركة الجسم ومركباتها فى اتجاه الحركة أو عكسها عند كل حالة معطاة بالتمرين
والقوى فى اتجاه الحركة موجبة ، وعكس اتجاه الحركة سالبة

2 - عند تحرك الجسم بسرعة منتظمة فتكون محصلة القوى المؤثرة على الجسم = 0

3 - عند نحرك الجسم بعجلة منتظمة فتكون المحصلة بالنيوتن = كتلة الجسم بالكج * عجلة التسارع بالمتر/ث^2
مع مراعاة الوحدات لصحة قانون نيوتن
وهذا مصدر خطأ كثير من الطلاب على ما أذكر

فى التمرين بين أيدينا

الحالة الأولى : الجسم ( المنطاد ) يتحرك بسرعة منتظمة لأعلى

القوى المؤثرة على المنطاد

القوة المحركة للمنطاد فى اتجاه الحركة لأعلى = + ق

وزن المنطاد فى اتجاه الحركة لأسفل = - و = - ك د = - 9.8 * 560 ( بالنيوتن )

ومنها :

ق - و = 0 ... ... ... ق بالنيوتن = 9.8 * 560

الحالة الثانية : المنطاد يتحرك بعجلة ثابتة لأعلى

القوى المؤثرة على المنطاد

القوة المحركة للمنطاد فى اتجاه الحركة لأعلى = + ق بالنيوتن = 9.8 * 560
وهى ثابتة ( تقريبا لتسهيل التمرين لمستوى الدراسة الثانوية ، أما فى حسابات هندسة الطيران فالأمر يختلف )
لأنها ناتجة عن قوة الدفع للمنطاد ( سواء بمحرك دفع نفاث أو الدفع نتيجة فرق كثافة الغاز داخل المنطاد وكثافة المحيط الخارجى من هواء ومعدن جسم المنطاد .. )

وزن المنطاد فى اتجاه الحركة لأسفل = - ( 560 - 70 ) * 9.8
لأن الوزن فى الحالة الثانية قد انخفض بمقدار كتلة الحمولة التى تم اسقاطها وهى 70 كجم

المحصلة فى اتجاه الحركة = + 9.8 * 560 - ( 560 - 70 ) * 9.8 = + 70 * 9.8 نيوتن

وهذا يستلزم تطبيق قانون الحركة لنيوتن مع مراعاة الوحدات

المحصلة فى اتجاه الحركة بالنيوتن = ك بالكجم * ج بالمتر/ث^2

70 * 9.8 نيوتن = ( 560 - 70 )* ج

ومنها نوجد قيمة عجلة التسارع كما سبق

أرجو أن أكون قد استوفيت الشرح

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:51 PM

تؤثر القوي المستويه التي مقاديرها ق ،3 ج2 ، 2 ج3 ، ج3 نيوتين في نقطه ماديه
بحيث كانت القوه الاولي تعمل في اتجاه الشرق وقياس الزاويه بين القوه الاولي والثانيه 45
وبين القوه الثانيه والثالثه 105 وبين القوه الثالثه والرابعه 120 فاذا كان مقدار محصلة هذه
القوي يساوي 3 ج2 نيوتين فاوجد قيمة ق وقياس الزاويه بين خط عمل المحصله
والقوه الاولي ؟

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_sumpowers.JPG

مركبة المحصلة فى إتجاه الشرق = مجموع مركبات القوى فى نفس الاتجاه

= ق + 3جذر2 *جتا45 + 2جذر3 *جتا(45 + 105) = ق نيوتن

مركبة المحصلة فى الاتجاه العمودى على الشرق ( الشمالى ) = مجموع مركبات القوى فى نفس الاتجاه

= 3جذر2 *جا45 + 2جذر3 *جا(45 + 105) - جذر3 = 3
نيوتن
مربع قيمة المحصلة = مجموع مربعات مركبتيها فى إتجاه الشرق والعمودى عليه

(3جذر2)^2 = ق^2 + 3^2

ومنها : ق = 3 نيوتن

قياس الزاويه بين خط عمل المحصله والقوه الاولي = هـ
حيث القوة الأولى (ق) فى إتجاه الشرق

ظاهـ = قيمة مركبة المحصلة فى الاتجاه العمودى / قيمة مركبة المحصلة فى اتجاه الشرق

= 3/3 = 1

زاوية هـ = 45 درجة

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:52 PM

قوتان مجموع مقدايهما 4 نيوتن وعندما يكون قياس الزاويه بينهما 60 فان مقدار المحصله
يساوي جذر13 نيوتن اوجد مقدار كل من القوتين ؟

ق1 + ق2 = 4 نيوتن

ح^2 = ق1^2 + ق2^2 + 2ق1 .ق2 جتا60

13 = (4 - ق2)^2 + ق2^2 + (4 - ق2)*ق2

= 16 + ق2^2 - 8ق2 + ق2^2 + 4ق2 - ق2^2

ق2^2 - 4ق2 + 3 = 0

ق2 = 3 أو 1

ق1 = 1 أو 3

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:53 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/34973.jpg

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_dynamic.JPG

الازاحة كمية متجهة ويلزم بيان الاتجاه
وحيث أننى اعتمدت على الرسم عاليه لبيان الاتجاه
ولكننى سأقوم ببيان إشارة الاتجاه
الازاحة ف = ف1 - ف2 = - 180 م ( فى إتجاه الغرب )
والسرعة فى اتجاه الازاحة

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_dynamic1.JPG

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:55 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/34974.jpg

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_dynamic2.JPG

المسألة (5) (ب) : سبق حله بالتمرين رقم (6)

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:56 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35085.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35086.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:56 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35087.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:57 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35089.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:58 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35090.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 05:59 PM

بدأ جسيم حركته فى إتجاه ثابت بسرعة 12 سم/ث ، وعجلة منتظمة 4 سم/ث^2 فى نفس إتجاه سرعته
إحسب :
أ - المسافة التى يقطعها الجسيم فى الثانية الخامسة فقط
ب - المسافة التى يقطعها الجسيم فى الثانيتين السادسة والسابعة معا

السرعة والعجلة فى نفس الاتجاه .... الاتجاه الموجب
ع0 = 12 سم/ث ، ج = 4 سم/ث^2 ، المسافة ف

ف = ع0*ن + 1/2*ج*ن^2

المسافة التى يقطعها الجسيم فى الثانية الخامسة فقط = المسافة المقظوعة خلال 5 ث - المسافة المقطوعة خلال 4 ث
= 12*(5 - 4) + 1/2*4*(5^2 - 4^2) = 30 سم

المسافة التى يقطعها الجسيم فى الثانيتين السادسة والسابعة معا = المسافة المقطوعة خلال 7 ث - المسافة المقطوعة خلال 5 ث
12*(7 - 5) + 1/2*4*(7^2 - 5^2) = 72 سم

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:00 PM

تحرك جسيم بسرعة ابتدائية فى اتجاه ثابت وبعجلة منتظمة
فإذا قطع فى الثانية الخامسة من حركته 48 سم ، وفى الثانية التاسعة والعاشرة 84 سم
احسب عجلة الجسيم ، والسرعة الابتدائية له

طريقة للحل باستخدام السرعة المتوسطة

السرعة المتوسطة عند منتصف الثانية الخامسة أى عند الثانية 4.5 ث = المسافة المقطوعة فى الثانية الخامسة / الزمن = 48/1 48 سم/ث

السرعة المتوسطة = ع0 + 1/2*ج*ن = 1/2*ج*(4.5)

السرعة المتوسطة خلال الثانية التاسعة والعاشرة = 84/2 = 42 سم/ث

بحل المعادلتين ـــــــــــــــــــ ج = 4/3 سم/ث^2 ، ع0 = 54 سم/ث

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:01 PM

قذفت كرة صغيرة بسرعة 200 سم /ث ، فتحركت فى خط مستقيم حركة تقصيرية بعجلة منتظمة 10 سم/ث^2
أوجد :
أ - متى تسكن الكرة لحظيا
ب - ما هو بعدها عن نقطة القذف
ج - متى تكون الكرة على بعد 1500 سم من نقطة القذف

ع = ع0 + ج ن
0 = 200 - 10 ن ــــــــــــــــــــــ ن = 20 ث
أى أن الكرة تسكن لحظيا بعد 20 ث

ف = ع0*ن + 1/2 ج ن^2 = 200 - 1/2* 10*20^2 = 2000 سم

الكرة تكون على بعد 1500 سم من نقطة القذف
إما فى اتجاه الحركة + 1500 سم ، أو فى عكس الحركة - 1500 سم

عند ف = 1500 سم
ف = ع0 ن + 1/2 ج ن^2
1500 = 200 ن - 1/2*10*ن^2
ن = 30 ث أو ن = 10 ث

عند ف = - 1500 سم
- 1500 = 200 ن - 1/2*10*ن^2
ن = (20 + 10 جذر7 ) ث أو ن = ( 20 - 10 جذر7 ) ث

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:02 PM

تحرك جسيم من السكون فى خط مستقيم فقطع مسافة مسافة 125 متر بعجلة منتظمة 10 م/ث^2
ثم انقطعت العجلة وسار الجسيم بالسرعة التى اكتسبها مسافة أخرى قدرها 400 متر
ثم سار بتقصير منتظم 5 م/ث^2 حتى سكن
أوجد الزمن الكلى للمسافة المقطوعة فى الحالات الثلاث

المرحلة الأولى : عجلة تسارعية
ع0 = 0 ، ف = 125 م ، ج = 10 م/ث^2

ع^2 = ع0^2 + 2 ج ف = 0 + 2*10*125 ـــــــــــــــــــ ع = 50 م/ث

ع = ع0 + ج ن
50 = 0 + 10 ن ـــــــــــــــــــــــ ن1 = 5 ث

المرحلة الثانية : سرعة منتظمة
ع = ف/ن
50 = 400 / ن ــــــــــــــــــــــــ ن2 = 8 ث

المرحلة الثالثة : عجلة تقصيرية
ع^2 = ع0^2 + 2 ج ف
0 = 50^2 - 2 *5*ف ـــــــــــــــــــ ف = 250 م

ف = ع0 ن + 1/2*ج*ن^2
250 = 50 ن - 1/2*5*ن^2 ـــــــــــــ ن3 = 10 ث

الزمن الكلى = 5 + 8 + 10 = 23 ث

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:04 PM

أطلقت رصاصة أفقيا بسرعة 30 م/ث على حاجز خشبى فسكنت بعد أن غاصت مسافة 15 سم
فإذا فرض أن الرصاصة تحركت داخل الحاجز الخشبى بتقصير منتظم
أوجد :
السرعة التى تخرج بها الرصاصة إذا أطلقت بنفس السرعة على حاجز خشبى سمكه 25/3 سم
علما بأن العجلة التى تتحرك بها الرصاصة فى الحالتين واحدة

فى الحالة الأولى :
ع0 = 30 م/ث ، ع = 0 ، ف = 0.15 متر

ع^2 = ع0^2 + 2 ج ف
0 = 30^2 - 2*0.15*ج ـــــــــــــــــــــــ ج = 3000 م/ث^2

فى الحالة الثانية :
ع0 = 30 م/ث ، ف = 25/300 م ، ج = - 3000 م/ث^2

ع^2 = ع0^2 + 2 ج ف = 30^2 - 2*3000*25/300
ع = 20 م/ث

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:04 PM

يتحرك جسمان على خط مستقيم واحد وفى اتجاه واحد
الأول بسرعة منتظمة 60 كم/س ، والثانى بعجلة منتظمة 10 سم/ث^2

فإذا تجاور الجسمان عند نقطة أ عندما كانت سرعة الجسم الثانى 24 كم/ث
فبرهن أنهما يتجاوران مرة أخرى عند نقطة ب بعد زمن 20 ث
وأوجد المسافة بين أ ، ب

عند النقطة أ : الجسمان متجاوران
سرعة الجسم الأول = 60 كم/س = 60*10^3/60^2 م/ث ــــــ سرعة منتظمة
سرعة الجسم الثانى = 24 كم/س = 24*10^3/60^2 م/ث ــــ عجلة منتظمة

عند النقطة ب : الجسمان متجاوران
المسافة المقطوعة بين أ ، ب = ف لكلا الجسمان
الزمن لكلا الجسمان لقطع المسافة ف = ن

السرعة المنتظمة للجسم الأول * ن = ع0 ن + 1/2 ج ن^2 للجسم الثانى

60*10^3/60^2 *ن = 24*10^3/60^2 *ن + 1/2 *0.1*ن^2
ن = 20 ث

ف = 60*10^3/60^2 *20 = 1000/3 متر

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:05 PM

سيارتان أنطلقتا في أتجاه بعضهما لتقطع مسافة 1000م سرعة السياره الاولى 20كم/ساعه والثانيه 14كم/ساعه حسابين وبالرسم البياني اين تتقابل السيارتان ؟

http://www.al3ez.net/upload/a/ahmad_saadeldin_problem%20mech.GIF

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:05 PM

حلول مسائل امتحانات ميكانيكا

ثانيا : الديناميكا

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35282.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:06 PM

حل السؤال 1 - أ

كمية الحركة = الكتلة * السرعة = 5 ع كجم.متر

السرعة = معدل الازاحة بالنسبة للزمن = د ف/د ن

ع = 4 + 2/3*ن

السرعة عند زمن 3 ثانية = 6 مثر/ث

كمية الحركة = 5 * 6 = 30 كجم.متر

حل السؤال 1 - ب

السرعة قبل الغوص فى الرمال
ع^2 = ع0^2 + 2 د ف = 0 + 2*9.8*20 = 392

عجلة الحركة التقصيرية فى الرمال = ج
ع^2 = ع0^2 + 2 ج ف
0 = 392 + 2*ج*0.2
ج = - 980 م/ث^2

م = ك(ج - د) = 3*(980 - 9.8) /9.8 = 297 ث.كجم

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:06 PM

حل السؤال 2 - أ

كتلة السيارة = 4 طن = 4 × 1000 = 4000 كجم

عندما تصل الحركة الي السرعة القصوى ==> يتحرك الجسيم بسرعة منتظمة

ع = 27 كم / س = 27 × 5/18 = 7.5 م / ث

المقاومة لكل طن = 30 × 4 = 120 ثقل كجم

جيب زاوية الميل = 5 / 100 = 1 / 20

الجسم يتحرك بسرعة منتظمة

ق - م = ك د جا هـ

ق = م + ك د جا هـ = 120 + 30 × 1/20 = 121.5 ثقل كجم

القدرة = القوة × السرعة

= ( 121.5 × 7.5 ) / 75 = 12.15 حصان

حل السؤال 2 - ب

من قانون الدفع والتصادم

ك1ع1 + ك2 ع2 = ك ع ( السرعة المشتركة ) بفرض أن أتجاة الكرة التي كتلتها 400 جم

موجب

200 × - 6 + 400 × 6 = 600 ع

ع = 1200 / 600 = 2 م /ث وفي أتجاه الحركة الموجب ==> السرعة المشتركة

دفع الكرة الأولي علي الثانية

= معدل التغير في كمية الحركة للثانية

= ك ( ع - ع0 ) = 400 ( 2 - 6 ) = - 1600 كجم م /ث

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:07 PM

حل السؤال 3 - أ

http://up.arabsgate.com/u/1524/1976/35314.jpg

حل السؤال 3 - ب

طاقة الوضع عند ارتفاع 40 متر من سطح الأرض = 10 * 9.8 * 40 = 3920 نيوتن متر ( جول )

الطاقة الكلية ثابتة

مجموع طاقتى الوضع والحركة عند بدء السقوط = مجموعهما عند موضع ف متر من سطح الأرض

عند بدء الحركة :

طاقة الوضع = 3920 جول
طاقة الحركة = 0

عند ارتفاع ف متر من سطح الأرض :

طاقة الوضع = ط جول
طاقة الحركة = 2940 جول

3920 + 0 = ط + 2920
ط = 980 جول

980 = 10 * 9.8 * ف
ف = 10 متر فوق سطح الأرض

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:07 PM

كرة غولف كتلتها 50 غم قذفت بزاوية 45 لتقطع مسافة 200م احسب ::
1-الدفع
2-افترض ان زمن التماس الكرة مع المضرب 4.5*10^-4 ث احسب القوة المتوسطة
[/CENTER]

كمية الحركة = الكتلة × السرعة = ك × ع
وهى كمية متجهة لها نفس اتجاه السرعة
والوحدة تقاس بـ كجم . متر / ثانية

الدفع = التغير فى كمية الحركة = القوة المؤثرة × زمن التأثير = ك × ( ع - ع0 ) = ق × ن

والقوة المؤثرة = ق = تمثل معدل التغير فى كمية الحركة = ك × ( ع - ع0 )/ ن = ك × ج
حيث ج = عجلة التسارع ووحدتها بالمتر / ث^2
والوحدة تقاس بالنيوتن أو كجم . م/ث^2

حيث أنه عمليا لا يمكن قياس المسافة فى اتجاه الحركة ( بزاوية 45 درجة على الاتجاه الأفقى ) ، فسأعتبر المسافة المقاسة = 200 متر فى الاتجاه الأفقى
والتى يمكن عمليا قياسها من نقطة قذف الكرة الى نقطة السقوط

ونفرض أنه لا توجد قوى خارجية مؤثرة على الكرة أثناء الحركة ( مقاومات ، قوة الرياح ، ... )

وسنستخدم فى حل التمرين قانونى نيوتن الأول والثانى

http://up.arabsgate.com/u/1524/3183/39184.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:08 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3544/47560.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:09 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48063.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:10 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48384.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:10 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48404.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:11 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48577.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:12 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48667.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:13 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48797.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:13 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48799.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:15 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49484.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:16 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3679/49570.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:17 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50101.jpg

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50102.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:18 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50110.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:18 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50109.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:19 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50113.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:20 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3709/50265.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:23 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/51844.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:24 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/52413.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:24 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3769/53460.jpg

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:25 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/55464.gif

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:26 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3879/55487.gif

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:26 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/55569.gif

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:27 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/55691.gif

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:28 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3980/55713.gif

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:30 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/58167.gif

###########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:31 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/4052/58190.gif

#############

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:31 PM

تمرين للأستاذ مجدى عبد السلام - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58295.gif

#########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:32 PM

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58756.gif

#########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:33 PM

تمرين للأستاذ غلى حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/58878.gif

##########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:33 PM

تمرين للأستاذ أشرف محمد - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4109/59112.gif

##########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:35 PM

تمرين للأستاذ على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59325.gif

##########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:35 PM

تمرين للأستاذ على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/59734.gif

############

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:38 PM

تمرين للأستاذ / محمد السعودى

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4140/60615.gif

$$$$$$$$$$$$$

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:38 PM

تمرين للأستاذ / على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/61557.gif

#########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:39 PM

تمرين للأستاذ / على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/61684.gif

########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:40 PM

تمرين للأستاذ / على حسين - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/62155.gif

##########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:41 PM

تمرين للأستاذ / أحمد الديب - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4225/62525.gif

#########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:42 PM

للأستاذ أحمد الديب - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرينين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/63071.gif

http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/63072.gif

#########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:43 PM

تمرين للأستاذ / مصطفى سعفان - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/63229.gif

#########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:44 PM

تمرين للأستاذ مصطفى سعفان - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/63573.gif

########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:45 PM

تمرين للأستاذ مصطفى سعفان - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/63586.gif

#########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:45 PM

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/63935.gif

#########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:46 PM

تمرين للأستاذ أشرف محمد - مدرس رياضيات

ومرفق حلى للتمرين
وبيان صحته كرد على اعتراضات بعض المدرسين

http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/63997.gif

http://up.arabsgate.com/u/1524/4358/63998.gif

##########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:52 PM

تمرين للأستاذ سامح الدهشان

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/7221/4725/69816.gif

##########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:53 PM

تمرين للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71179.gif

######

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:54 PM

ثلاثة مسائل للأستاذ سامح الدهشان
ثالثة ثانوى

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4801/71961.gif

########

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 06:57 PM

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 07:05 PM

أحمد سعد الدين

02-08-2010, 08:21 PM

http://up.arabsgate.com/u/1524/3626/48773.jpg

أحمد سعد الدين

02-13-2010, 10:02 AM

مسألة للأستاذ صلاح ماضى - موجه رياضيات

ومرفق حلى

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73664.gif

أحمد سعد الدين

02-24-2010, 09:30 PM

تمرين للأستاذة جورى - مدرسة رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73848.gif

أحمد سعد الدين

02-27-2010, 10:57 PM

تمرين للأستاذة جورى - مدرسة رياضيات

ومرفق حلى للتمرين

http://up.arabsgate.com/u/7221/4909/73956.gif