الصادق
02-02-2010, 04:44 AM
وحدات البناء الاساسية
1- الفئة Set : هى عبارة عن ثُلة collection من الاشياء التى ليس من الضروري ان يربط بينها رابط مشترك او تحقق اى خواص اضافية فمثلاً ثُلة من n شخص تمثل فئة من الاشخاص و كذلك ايضاً ثُلة من n نقطة تمثل فئة من النقاط. و عدد العتاصر n فى الفئة يمكن ان يكون منتهياً او لانهائياً.
................................... ................................... ................................... ......................
2-الزمرة Group :
نقول ان G تمثل زمرة اذا كان لدينا:
a- فئة من العناصر تنتمي للزمرة http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_1,g_2,...,g_n\in%20G
b-عملية ثنائية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\otimes تسمى بعملية الضرب على الزمرة
وتحققت الشروط :
A1- الاغلاق Closure
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_i\in%20G,%20g_j\in%20G% 20\Rightarrow%20g_i\otimes%20g_j%20 \in%20G
A2-العملية التجميعية Associativity
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_i\otimes%20(g_j\otimes% 20g_k)=(g_i\otimes%20g_j)%20\otimes %20g_k
A3-وجود عنصر محايد http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_1\otimes%20g_i=g_i\otim es%20g_1=g_i%20\qquad%20\forall%20g _i\in%20G
A4- وجود معكوس وحيد
لكل عنصر http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_\ell%20\in%20G يوجد معكوس وحيد http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_k%20\in%20G يرمز له بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_k=g_\ell^{-1} و بحيث
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{\ell}\otimes%20g_k=g_k \otimes%20g_{\ell}=g_1
مثال(1):
فئة كل التبديلات الممكنة للنقاط 1, 2 , 3 تشكل زمرة تسمى بزمرة التباديل http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_3
لاحظ ان العنصر المحايد هو عملية عدم اجراء التبديل اى ان النقطة 1 تتحول لمكان النقطة 1 والنقطة 2 تتحول الى مكان النقطة 2 و اخيراً النقطة 3 تتحول الى مكان النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كل لدينا الترتيب (123) وبعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (123) و بالطبع فان هذا التأثير يمثل العنصر المحايد ونرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?e:\quad (123)\to%20(123)
يمكن تبديل النقطتين 1 و 2 وترك النقطة 3 فى مكانها اى ان النقطة 1 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 3 تتحول الى النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كان لدينا الترتيب (123) و بعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (213) وهذا العنصر يرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{12}:\quad%20(123)\to%2 0(213)
يمكن تثبيت النقطة 2 و تبديل النقاط 1 و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{13}:\quad%20(123)\to%2 0(321)
ويمكن ايضاً تثبيت النقطة 1 و تبديل النقاط 2و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{23}:\quad%20(123)\to%2 0(132)
يمكن تبديل جميع النقاط بحيت تتحول اى نقطة الى مكان النقطة التالية فى الترتيب اى تتحول النقطة 1 الى النقطة 2 و تتحول النقطة 2 الى النقطة 3 و تتحول النقطة 3 الى النقطة 1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{123}:\quad%20(123)\to% 20(312)
و اخيراً تبديل جميع النقاط بحيث ان اى نقطة تتحول الى مكان النقطة السابقة لها فى الترتيب فمثلاً النقطة 3 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 1 تتحول الى النقطة 3 اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{132}:\quad%20(123)\to% 20(231)
هل يمكن اضافة عنصر آخر؟
اوجد حاصل الضرب http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{12}\otimes%20g_{12} . ما الذى يمكن استنتاجه؟
اوجد حاصل الضرب http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{123}\otimes%20g_{132} . ماذا تستنتج؟
ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_4
مثال(2):
فئة الاعداد الحقيقية تشكل زمرة تحت عملية الجمع الاعتيادي +
العنصر المحايد هو الـ0
لكل عدد حقيقي a يوجد عدد وحيد حقيقي a- يمثل معكوسه الجمعي
مثال(3) فئة الاعداد الحقيقة باسثناء الـ 0 تشكل زمرة تحت عملية الضرب الاعتيادي
العنصر المحايد هو الـ 1
لكل عنصر a يوجد عنصر وحيد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{a} يمثل المعكوس الضربي
سؤال: لماذا تم استبعاد الـ 0 ؟
مثال(4):
فئة كل المصفوفات الحقيقية المربعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?n%20\times%20n الغير شاذة http://latex.codecogs.com/gif.latex?Gl(n) تشكل زمرة تحت عملية ضرب المصفوفات
العنصر المحايد هو مصفوفة الوحدة
طالما ان هذه المصفوفات غير شاذة فان لكل مصفوفة يوجد معكوس
فى الزمر التى فى الامثلة 2 و 3 نجد ان الترتيب الذى نجري به العملية الثنائية غير مهم و لذلك نقول انها زمر ابدالية
A5- الخاصية التبادلية commutativity: اذا حققت الزمرة الخاصية http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_i\otimes%20g_j=g_j\otim es%20g_i%20\qquad%20\forall%20g_i,g _j\in%20G
فاننا نقول ان الزمرة G زمرة ابدالية Abelian
ومن الواضح ان الزمر فى الامثلة 1 و 4 هى زمر غير ابدالية (تأكد منها بنفسك)
1- الفئة Set : هى عبارة عن ثُلة collection من الاشياء التى ليس من الضروري ان يربط بينها رابط مشترك او تحقق اى خواص اضافية فمثلاً ثُلة من n شخص تمثل فئة من الاشخاص و كذلك ايضاً ثُلة من n نقطة تمثل فئة من النقاط. و عدد العتاصر n فى الفئة يمكن ان يكون منتهياً او لانهائياً.
................................... ................................... ................................... ......................
2-الزمرة Group :
نقول ان G تمثل زمرة اذا كان لدينا:
a- فئة من العناصر تنتمي للزمرة http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_1,g_2,...,g_n\in%20G
b-عملية ثنائية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\otimes تسمى بعملية الضرب على الزمرة
وتحققت الشروط :
A1- الاغلاق Closure
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_i\in%20G,%20g_j\in%20G% 20\Rightarrow%20g_i\otimes%20g_j%20 \in%20G
A2-العملية التجميعية Associativity
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_i\otimes%20(g_j\otimes% 20g_k)=(g_i\otimes%20g_j)%20\otimes %20g_k
A3-وجود عنصر محايد http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_1\otimes%20g_i=g_i\otim es%20g_1=g_i%20\qquad%20\forall%20g _i\in%20G
A4- وجود معكوس وحيد
لكل عنصر http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_\ell%20\in%20G يوجد معكوس وحيد http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_k%20\in%20G يرمز له بـ http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_k=g_\ell^{-1} و بحيث
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{\ell}\otimes%20g_k=g_k \otimes%20g_{\ell}=g_1
مثال(1):
فئة كل التبديلات الممكنة للنقاط 1, 2 , 3 تشكل زمرة تسمى بزمرة التباديل http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_3
لاحظ ان العنصر المحايد هو عملية عدم اجراء التبديل اى ان النقطة 1 تتحول لمكان النقطة 1 والنقطة 2 تتحول الى مكان النقطة 2 و اخيراً النقطة 3 تتحول الى مكان النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كل لدينا الترتيب (123) وبعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (123) و بالطبع فان هذا التأثير يمثل العنصر المحايد ونرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?e:\quad (123)\to%20(123)
يمكن تبديل النقطتين 1 و 2 وترك النقطة 3 فى مكانها اى ان النقطة 1 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 3 تتحول الى النقطة 3
اذن قبل اجراء التبديل كان لدينا الترتيب (123) و بعد التبديل اصبح لدينا الترتيب (213) وهذا العنصر يرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{12}:\quad%20(123)\to%2 0(213)
يمكن تثبيت النقطة 2 و تبديل النقاط 1 و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{13}:\quad%20(123)\to%2 0(321)
ويمكن ايضاً تثبيت النقطة 1 و تبديل النقاط 2و 3 و هذا العنصر يرمز له بـ
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{23}:\quad%20(123)\to%2 0(132)
يمكن تبديل جميع النقاط بحيت تتحول اى نقطة الى مكان النقطة التالية فى الترتيب اى تتحول النقطة 1 الى النقطة 2 و تتحول النقطة 2 الى النقطة 3 و تتحول النقطة 3 الى النقطة 1
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{123}:\quad%20(123)\to% 20(312)
و اخيراً تبديل جميع النقاط بحيث ان اى نقطة تتحول الى مكان النقطة السابقة لها فى الترتيب فمثلاً النقطة 3 تتحول الى النقطة 2 و النقطة 2 تتحول الى النقطة 1 و النقطة 1 تتحول الى النقطة 3 اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{132}:\quad%20(123)\to% 20(231)
هل يمكن اضافة عنصر آخر؟
اوجد حاصل الضرب http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{12}\otimes%20g_{12} . ما الذى يمكن استنتاجه؟
اوجد حاصل الضرب http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_{123}\otimes%20g_{132} . ماذا تستنتج؟
ماذا تتوقع ان يكون عدد عناصر زمرة التبديل http://latex.codecogs.com/gif.latex?P_4
مثال(2):
فئة الاعداد الحقيقية تشكل زمرة تحت عملية الجمع الاعتيادي +
العنصر المحايد هو الـ0
لكل عدد حقيقي a يوجد عدد وحيد حقيقي a- يمثل معكوسه الجمعي
مثال(3) فئة الاعداد الحقيقة باسثناء الـ 0 تشكل زمرة تحت عملية الضرب الاعتيادي
العنصر المحايد هو الـ 1
لكل عنصر a يوجد عنصر وحيد http://latex.codecogs.com/gif.latex?\frac{1}{a} يمثل المعكوس الضربي
سؤال: لماذا تم استبعاد الـ 0 ؟
مثال(4):
فئة كل المصفوفات الحقيقية المربعة http://latex.codecogs.com/gif.latex?n%20\times%20n الغير شاذة http://latex.codecogs.com/gif.latex?Gl(n) تشكل زمرة تحت عملية ضرب المصفوفات
العنصر المحايد هو مصفوفة الوحدة
طالما ان هذه المصفوفات غير شاذة فان لكل مصفوفة يوجد معكوس
فى الزمر التى فى الامثلة 2 و 3 نجد ان الترتيب الذى نجري به العملية الثنائية غير مهم و لذلك نقول انها زمر ابدالية
A5- الخاصية التبادلية commutativity: اذا حققت الزمرة الخاصية http://latex.codecogs.com/gif.latex?g_i\otimes%20g_j=g_j\otim es%20g_i%20\qquad%20\forall%20g_i,g _j\in%20G
فاننا نقول ان الزمرة G زمرة ابدالية Abelian
ومن الواضح ان الزمر فى الامثلة 1 و 4 هى زمر غير ابدالية (تأكد منها بنفسك)