الإحداثيات القطبية الكروية

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

والصلاة والسلام على رسول الله "محمد بن عبد الله"

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام

تحية طيبة إليكم وكل عام وأنتم بخير

*****

نتابع تقديم موضوع:

*** ( أنظمـــة الإحداثيـــات ) ***

بأسلوب الشرح المباشر المقتبس من الأخ الفاضل "الرائع جداً" الأستاذ / الصادق وذلك حتى يمكن لزوار المنتدى أن يستفيدوا منه، وأرجو من الله أن ينال إعجابكم.

والآن مع:

*** ( الإحداثيات القطبية الكروية ) ***

The Spherical Polar Coordinates

يوضح الشكل التالي الإحداثيات القطبية الكروية وفيه نجد أن السطوح الإحداثية هي مجموعات من:

1. كرات متحدة المركز حول نقطة الأصل
http://www.tinyfotos.com/images/34770145852104464327.jpg
2. مخروطات دائرية قائمة رأسها عند نقطة الأصل ومحورها على طول المحور العيني
http://www.tinyfotos.com/images/47903932901339188410.jpg
3. أنصاف مستويات من المحور العيني
http://www.tinyfotos.com/images/94294689501856588443.jpg

ويتحدد موضع نقطةٍ ما P(x,y,z) بتحديد نصف قطر الكرة r التي تقع عليها، وخط العرض المتمم (الزاوية ثيتا)، وخط الطول (السمت) (الزاوية فاي) على الكرة.

http://www.tinyfotos.com/images/50310323704955442061.jpg

ومن الشكل السابق ينتج أن:

http://www.tinyfotos.com/images/12387080513565882321.jpg

ومعكوساتها:

http://www.tinyfotos.com/images/75264296927291940820.jpg

وعليه يمكن أن نضع:

http://www.tinyfotos.com/images/29593802563495667784.jpg

والآن يمكن أن يُصاغ متجه الموضع على الصورة:

http://www.tinyfotos.com/images/83241073646215304223.jpg

إذاً:

http://www.tinyfotos.com/images/06095826421637912676.jpg

وبالتالي:

http://www.tinyfotos.com/images/02264378122739857604.jpg

وأيضاً:

http://www.tinyfotos.com/images/56421454396427219437.jpg
<>
http://www.tinyfotos.com/images/28705823120460748873.jpg

(يتبع) ******

http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif

[رجب مصطفى]

* ومنها يمكن إثبات الخصائص التالية (سنكتفي بإثبات واحدة من كل خاصية):

1. طول أي متجه وحدة يساوي الواحد الصحيح، حيث:

http://www.tinyfotos.com/images/10797678731962725786.jpg

2. الضرب القياسي، حيث:

http://www.tinyfotos.com/images/39362704947191065320.jpg

3. الضرب الإتجاهي، حيث:

http://www.tinyfotos.com/images/14706938503984703922.jpg

4. العلاقات العكسية التالية:

http://www.tinyfotos.com/images/79322237795598030367.jpg

(يتبع) ******

http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif

[رجب مصطفى]

* أما صور المؤثرات التفاضلية المختلفة فنحصل عليها من خلال التعويض بالمعادلات (31) و (32) في المعادلات المقابلة، أي:

1. المجال:

http://www.tinyfotos.com/images/32164886045602263113.jpg

2. التباعد:

http://www.tinyfotos.com/images/90470644708455527221.jpg

3. اللابلاسيان:

http://www.tinyfotos.com/images/21974505777432548518.jpg

4. الدوران:

http://www.tinyfotos.com/images/84473500113444773578.jpg

5. عنصر الطول:

http://www.tinyfotos.com/images/92970853679740254739.jpg

* وعليه يكون عنصر الطول في الإحداثيات القطبية هو:

http://www.tinyfotos.com/images/03663983917758744621.jpg

حيث

http://www.tinyfotos.com/images/70124315966178453691.jpg

6. عنصر المساحة:

http://www.tinyfotos.com/images/80631614158738797651.jpg

7. عنصر الحجم:

http://www.tinyfotos.com/images/49283106662986612149.jpg

(يتبع) ******

http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif

[رجب مصطفى]

* إيجاد متجهات السرعة والعجلة:

لإيجاد كلاً من السرعة والعجلة في الإحداثيات الكروية، نوجد أولاً القيم:

http://www.tinyfotos.com/images/12192584115203327234.jpg

على النحو التالي:

http://www.tinyfotos.com/images/12986905323645315675.jpg
<>
http://www.tinyfotos.com/images/71344699492610117093.jpg
<>
http://www.tinyfotos.com/images/30289234052922389130.jpg

وبالتعويض بالمعادلات (33) و (34) في المعادلات (42)، نحصل على:

http://www.tinyfotos.com/images/79155104614821634967.jpg

حيث:

http://www.tinyfotos.com/images/02864435499443625786.jpg

ولكن:

http://www.tinyfotos.com/images/38590372804066617051.jpg

و:

http://www.tinyfotos.com/images/87713204094496573919.jpg

لذا فإن متجه السرعة في الإحداثيات الكروية هو:

http://www.tinyfotos.com/images/65901440787473911759.jpg

(يتبع) ******

http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif

[رجب مصطفى]

وحيث أن متجه العجلة يعطى من العلاقة:

http://www.tinyfotos.com/images/50222581528344140795.jpg

فإن:

http://www.tinyfotos.com/images/86699859864504146614.jpg
<>
http://www.tinyfotos.com/images/74348016365623051607.jpg
<>
http://www.tinyfotos.com/images/03417626658191964215.jpg
<>
http://www.tinyfotos.com/images/90965206166530372273.jpg
<>
http://www.tinyfotos.com/images/73843047925588151111.jpg

وبإعادة ترتيب المركبات المختلفة نجد أن متجه العجلة في الإحداثيات الكروية هو:

http://www.tinyfotos.com/images/42151333515935597815.jpg

(يتبع) ******

http://www.tinyfotos.com/images/87500144712435329060.jpg

http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif

[تغريد]

أشكرك أخي الكريم رجب على الجهد المميز و العطاء الرائع

بارك الله فيك و جعله في موازين حسناتك

[حامل فكر]

ده طلع علم :):):)

انا كنت بستخدم النظام ده لتحويل التكاملات اللى مبعرفش احدد مساحتها للنوع ده

شكرا ليك عالموضوع

[هيفاء]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
طرح جميل شيق
لموضوع رياضي جميل
جزاكم الله خيرا وبارك فيكم
يا للأسف لا يوجد لدي مكتسع من الوقت الآن لأطلع على الموضوع بأكمله لكن غن شاء الله لي عودة

[شحنة المحبة]

جزاك الله الجنة ..
وأطال عمرك بصحة وعافية..

[الزقزوق]

شكرا استاذ رجب علي هذا المجهود
وبارك الله فيك

[الحسن الخطيب]

شكرا جزيلا لك أستاذ رجب على جهدك الرائع و طبعا أيضا الشكر للدكتور الصادق المتميز دوما

لكن هل المعادلات ظاهرة ؟ يبدو أنها حذفت أم أن هذا مشكلة من عندي ؟

[nafyyy]

thankssssssssssssssssssssssssssssss sssssssssssssssssssssssssssssssssss sssssssssssssssssss

[mohamedalmaz]

ممتاز ممتاز ممتاز...بارك الله فيكم

[الموحدة لله]

بارك الله فيكم وجزاكم الله عنا خيرا


الموضوع مهم جدا بالنسبة لي وسررت كثيرا عندما وجدته

ولكن

المعادلات غير ظاهرة عندي

هل المشكلة عندي ام ان المعادلات قد حذفت ؟؟؟