أنظمـــة الإحداثيـــات

[رجب مصطفى]

بسم الله الرحمن الرحيم

والصلاة والسلام على رسول الله "محمد بن عبد الله"

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته

إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام

تحية طيبة إليكم وكل عام أنتم بخير

*****

نقدم اليوم موضوع هام وهو:

*** ( أنظمـــة الإحداثيـــات ) ***

بأسلوب الشرح المباشر المقتبس من الأخ الفاضل "الرائع جداً" الأستاذ / الصادق وذلك حتى يمكن لزوار المنتدى أن يستفيدوا منه، وأرجو من الله أن ينال إعجابكم.

والآن مع:

*** أنظمة الإحداثيات ***

(المتجهات والإحداثيات الخطية المنحنية)

مقدمة:

بالرغم من كون طرق التحليل الإتجاهي مناسبة في النص على القوانين الفيزيائية إلا أنه يلزم في العادة إعادة كتابة المعادلات الإتجاهية بدلالة إحداثيات مناسبة قبل أن يمكننا الحصول على الحل النهائي لمسألة بعينها.
سنتناول هنا بيان كيفية صياغة مركبات المتجهات في نظام للإحداثيات الخطية المنحنية curvilinear coordinates.

والإحداثيات الأخيرة لها طبيعة عامة جداً لدرجة أنه من السهل التحويل منها إلى أي نوع من الأنواع المتعددة لأنظمة الإحداثيات الخاصة التي قد تثبت فائدتها في المسائل الفيزيائية.

الإحداثيات الخطية المنحنية:

من المعروف أنه في الإحداثيات الكارتيزية يتحدد موضع نقطةٍ ما P(x,y,z) بتقاطع ثلاثة مستويات متعامدة مثنى مثنى، أي أن:

http://www.tinyfotos.com/images/32761568971058441814.jpg

وعندما ترتبط x,y,z بثلاث كميات جديدة بالمعالات:

http://www.tinyfotos.com/images/99015139547978432879.jpg

والتي معكوسها:

http://www.tinyfotos.com/images/12677619609118469597.jpg

فإنه يمكن بيان أي نقطة معطاة بتحديد إما x,y,z أو u,v,w، إذ أن كل معادلة من (2) تمثل سطحاً وتقاطع ثلاثة من هذه الأسطح يعين موقع النقطة.

تسمى السطوح

http://www.tinyfotos.com/images/43759791112024721355.jpg

بـ "السطوح الإحداثية coordinates surfaces"، كما تسمى المنحنيات الفراغية التي تتكون من تقاطعها مثنى مثنى بـ "الخطوط الإحداثية coordinates lines"، وتتحدد "المحاور الإحداثية coordinates axes" بمماسات الخطوط الإحداثية عند تقاطع ثلاثة سطوح. وهذه المحاور، عموماً، ليست إتجاهات ثابتة في الفراغ كما هو الحال في الإحداثيات الكارتيزية البسيطة.

والشكل التالي يبين مثل هذا النوع من الإحداثيات،

http://www.tinyfotos.com/images/35541503765820188885.jpg

وفيه

http://www.tinyfotos.com/images/05739619163297978055.jpg

هذا، وتعرف الكميات u,v,w بـ "الإحداثيات الخطية المنحنية curvilinear coordinates" للنقطة P(x,y,z).

(يتبع) ******

http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif

http://www.tinyfotos.com/images/87500144712435329060.jpg

[محمد ابوزيد]

اشكرك جدا اخى رجب مصطفى

وننتظر باقى الموضوع واعتقد ان الفائدة ستضح اكثر مع بقية الموضوع


اخوكم / ابو آيه

[رجب مصطفى]

العلاقة بين الإحداثيات الكارتيزية والإحداثيات الخطية المنحنية

بفرض أن النقطة P(x,y,z) لها متجه الموضع

http://www.tinyfotos.com/images/06570508157969286376.jpg

بالنسبة لمجموعة الإحداثيات المتعامدة حيث:

http://www.tinyfotos.com/images/23950937724233048709.jpg

فإذا ما غيرنا إلى الإحداثيات u,v,w فإننا نحصل على متجه الموضع كدالة في u,v,w، ومن ثم فإن:

http://www.tinyfotos.com/images/44350359870371205285.jpg

هي مماسات لمنحنيات الإحداثيات، وبفرض أن:

http://www.tinyfotos.com/images/60284208229406869584.jpg

هي متجهات الوحدة في إتجاه الإحداثيات فسنجد أن:

http://www.tinyfotos.com/images/64914511967926465843.jpg

حيث:

http://www.tinyfotos.com/images/49150869239705319910.jpg

وبالتالي ستعطى متجهات الوحدة من العلاقة:

http://www.tinyfotos.com/images/79296820712130054842.jpg

ولكي تكون هذه الإحداثيات "متعامدة orthogonal" فيجب أن تتحقق العلاقات:

http://www.tinyfotos.com/images/61010605805502018951.jpg

وعليه فإن عنصر الطول في مثل هذه الإحداثيات يمكن أن يوضع على الصورة:

http://www.tinyfotos.com/images/80638303439798582351.jpg

وبالتعويض من (6):

http://www.tinyfotos.com/images/82058726807599202516.jpg

وبالتالي يكون مربع عنصر الطول الواصل بين النقطتين (u,v,w) و (u + du,v + dv,w + dw) هو:

http://www.tinyfotos.com/images/51033844825327701489.jpg

أما عنصر المساحة فيمكن أن يأخذ إحدى الصور التالية:

http://www.tinyfotos.com/images/09632511088613137635.jpg

بينما يعطى عنصر الحجم من العلاقة:

http://www.tinyfotos.com/images/29787740653240254665.jpg

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

والآن ... سنحاول الوصول إلى صيغ المؤثرات التفاضلية في الإحداثيات الخطية المنحنية، وسنبدأ مع:

أولاً: المجال (أو التدرج) Gradient (grad)

إذا كانت الدالة F (فاي) دالة قياسية، فإننا نفرض أن مجالها هو:

http://www.tinyfotos.com/images/81919604649003460011.jpg

ولكن:

http://www.tinyfotos.com/images/00567534098277786716.jpg

وذلك من خلال التعويض بـ (10) و (14). ولكن أيضاً:

http://www.tinyfotos.com/images/27945580022451958332.jpg

وبمقارنة المعادلتين (15) و (16) نجد أن:

http://www.tinyfotos.com/images/45354053787532732542.jpg

ومنها:

http://www.tinyfotos.com/images/65218866796115096236.jpg

وبالتعويض في (14) نحصل على معادلة المجال التالية:

http://www.tinyfotos.com/images/53212551811122839399.jpg

والمعادلة السابقة يمكن صياغتها بطريقة أخرى وهي:

http://www.tinyfotos.com/images/27661952246518786782.jpg

حيث:

http://www.tinyfotos.com/images/35387110403823139023.jpg

أو:

http://www.tinyfotos.com/images/65430681301472483701.jpg

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

ثانياً: التباعد Divergence (div)

إذا كانت

http://www.tinyfotos.com/images/07134453565698176584.jpg

دالة متجهه، حيث:

http://www.tinyfotos.com/images/96903051823180508722.jpg

فإن تباعدها يعطى من:

http://www.tinyfotos.com/images/60544968954389188225.jpg

وعليه سنعمل على إيجاد الحد الأول من الطرف اليمين من المعادلة على النحو التالي:

http://www.tinyfotos.com/images/31237955556677202280.jpg

وذلك باستعمال المعادلات ((3)8) و *(18). والمعادلة السابقة هي عبارة عن تفاضل حاصل ضرب دالتين، وعليه فإن:

http://www.tinyfotos.com/images/29733199695324163591.jpg

ولكن من قوانين التحليل الإتجاهي فإن الحد الثاني من الطرف الأيمن يساوي صفر، وبالتالي فإن:

http://www.tinyfotos.com/images/27385200205518435902.jpg

وذلك باستعمال المعادلات (18) و *(18). لذا:

http://www.tinyfotos.com/images/32239586062206473946.jpg

وذلك باستعمال المعادلة ((3)8). ولكن

http://www.tinyfotos.com/images/74401902167760658349.jpg

عبارة عن دالة قياسية مجالها يعطى من المعادلة (17)، لذا:

http://www.tinyfotos.com/images/52503323987705784813.jpg

وذلك باستعمال المعادلات ((1، 2)8). وبنفس الطريقة نحصل على الحدود:

http://www.tinyfotos.com/images/49186818180207531032.jpg

و:

http://www.tinyfotos.com/images/64864340738615523775.jpg

والآن بالتعويض بـالمعادلات (21)، (22) و (23) في المعادلة (20)، نحصل على معادلة التباعد التالية:

http://www.tinyfotos.com/images/78724807690333430509.jpg

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

ثالثاً: مؤثر اللابلاسيان Laplacian Operator (lap)

بفرض أن الدالة المتجهه

http://www.tinyfotos.com/images/40637562799464460535.jpg

هي عبارة عن مجال دالة قياسية ولتكن الدالة (إبساي)

http://www.tinyfotos.com/images/18271123774786800524.jpg

فإن:

http://www.tinyfotos.com/images/60440326325907987594.jpg

وعليه فإن:

http://www.tinyfotos.com/images/04432203112443815835.jpg

وبالتعويض في معادلة التباعد رقم (24)، نحصل على معادلة اللابلاسيان التالية:

http://www.tinyfotos.com/images/03299167387442972832.jpg

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

رابعاً: الدوران (الإلتفاف) Curl (or rot)

من المعروف أن دوران الدالة المتجهه

http://www.tinyfotos.com/images/08231484090741759380.jpg

المعطاة بالمعادلة (19) هو:

http://www.tinyfotos.com/images/65082386421753468861.jpg

أو:

http://www.tinyfotos.com/images/95681673220081588271.jpg

وكما فعلنا سابقاً سنعمل على إيجاد قيمة كل حد في الطرف الأيمن منفرداً على النحو التالي:

http://www.tinyfotos.com/images/67688094376624937226.jpg

وحيث أن الحد الثاني من الطرف الأيمن يساوي صفر، فإن:

http://www.tinyfotos.com/images/65086311375540552834.jpg

ولكن

http://www.tinyfotos.com/images/87778706598968140025.jpg

عبارة عن دالة قياسية مجالها هو:

http://www.tinyfotos.com/images/71356283961737627122.jpg

وعليه:

http://www.tinyfotos.com/images/35852212804878973101.jpg

إذاً:

http://www.tinyfotos.com/images/56417988135637034467.jpg

وبصورة أخرى:

http://www.tinyfotos.com/images/18512965207283542724.jpg

وبنفس الطريقة نحصل على الحدود:

http://www.tinyfotos.com/images/00004461785392533869.jpg

وبالتعويض بالمعادلات (26،27،28) في المعادلة (25) وإعادة ترتيب الحدود المشتركة نحصل على معادلة الدوران التالية:

http://www.tinyfotos.com/images/01081640385699544171.jpg

وهي نفسها المعادلة:

http://www.tinyfotos.com/images/51092322031479802021.jpg

وكتطبيق على ماسبق، سنعمل على إيجاد متجهات الوحدة، المؤثرات التفاضلية المختلفة، مربع عنصر الطول، عنصر المساحة وعنصر الحجم وأيضاً متجهات السرعة والعجلة في كلاً من الإحداثيات القطبية الكروية والإحداثيات الأسطوانية.

(يتبع) ******

http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif

http://www.tinyfotos.com/images/87500144712435329060.jpg

[رجب مصطفى]

الإحداثيات القطبية الكروية

http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?t=18855

*** *** *** ***

الإحداثيات الأسطوانية

http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?t=18857

[محمد ابوزيد]

اشكرك جدا على الموضوع

وهو يحتاج الى تبسيط نوعا ما

[رجب مصطفى]

وهو يحتاج الى تبسيط نوعا ما

أكثر من هذا تبسيط ... لا يوجد

الموضوع مطروح خطوة خطوة بالإثبات ... ولا يحتاج حتى إلى النظر في كتب أخرى ...

[محمد ابوزيد]

اهلا بك اخى رجب

ما تراه واضحا امامك قد لا يكون واضحا امام الاخرين

اسمح لى غدا ان شاء الله ان اقوم بطرح الموضوع هنا من جديد

مع الاعتراف انه موضوعك لاوضح وجهة نظرى

اخوكم / محمد ابوزيد

[رجب مصطفى]

جميل جداً ... الأخ الفاضل محمد ...

افعل ما تراه في مصلحة الجميع

http://www.tinyfotos.com/images/66958553452145692846.gif

[محمد ابوزيد]

واضح اخى رجب ان الموضوعات الثلاثة

الموضوع الاصلى بالاضافة الى الرابطان

هم موضوعات متكاملة


اخوكم / محمد ابوزيد

[تغريد]

أشكرك أخي الكريم رجب على الموضوع الرائع و المهم

الحقيقة أن هذه الأمور الرياضية هي من اهم نقاط ضعفي

لذا سأحاول المتابعة وبالتأكيد عندي أسئلة

و لكني سأعرضها حين أقرأ الموضوع مرات عديدة لألم ما استطعت بجوانبه


سلمت يداك أخي لإثارة هذا الموضوع القيم و على الجهد المبذول و بارك الله فيك

[شحنة المحبة]

http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQTc7ExO6WkBMACKk pHpbysZPjqNSmXoHamstxlIq9Q5m3h10p9

http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSM8PqdA6Z-d1ote00aTGdKjp114rMMHFU51UPH4ytZDwn 7KEJsMA
:(144):

[اسير الحلوين]

شكرااااااااااااا يا لغالي

[شحنة المحبة]

جزاك الله الجنة

طرح مبسط وميسر

أطال الله عمرك بصحة وعافية

ما أجمل ان يكون الانسان صاحب بصمة فعالة ومفيدة للجميع ..أحسنت

[نور المثابرة]

جزاكم الله خيراااااااااااااااااااااااااااااااا ااااااااااااااااااااااااااااااااااا ا