مشاهدة النسخة كاملة : أنظمـــة الإحداثيـــات
رجب مصطفى
11-26-2009, 04:46 PM
بسم الله الرحمن الرحيم
والصلاة والسلام على رسول الله "محمد بن عبد الله"
السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
إخواني زوار وأعضاء ومشرفي المنتدى الكرام
تحية طيبة إليكم وكل عام أنتم بخير
*****
نقدم اليوم موضوع هام وهو:
*** ( أنظمـــة الإحداثيـــات ) ***
بأسلوب الشرح المباشر المقتبس من الأخ الفاضل "الرائع جداً" الأستاذ / الصادق وذلك حتى يمكن لزوار المنتدى أن يستفيدوا منه، وأرجو من الله أن ينال إعجابكم.
والآن مع:
*** أنظمة الإحداثيات ***
(المتجهات والإحداثيات الخطية المنحنية)
مقدمة:
بالرغم من كون طرق التحليل الإتجاهي مناسبة في النص على القوانين الفيزيائية إلا أنه يلزم في العادة إعادة كتابة المعادلات الإتجاهية بدلالة إحداثيات مناسبة قبل أن يمكننا الحصول على الحل النهائي لمسألة بعينها.
سنتناول هنا بيان كيفية صياغة مركبات المتجهات في نظام للإحداثيات الخطية المنحنية curvilinear coordinates.
والإحداثيات الأخيرة لها طبيعة عامة جداً لدرجة أنه من السهل التحويل منها إلى أي نوع من الأنواع المتعددة لأنظمة الإحداثيات الخاصة التي قد تثبت فائدتها في المسائل الفيزيائية.
الإحداثيات الخطية المنحنية:
من المعروف أنه في الإحداثيات الكارتيزية يتحدد موضع نقطةٍ ما P(x,y,z) بتقاطع ثلاثة مستويات متعامدة مثنى مثنى، أي أن:
http://www.tinyfotos.com/images/32761568971058441814.jpg
وعندما ترتبط x,y,z بثلاث كميات جديدة بالمعالات:
http://www.tinyfotos.com/images/99015139547978432879.jpg
والتي معكوسها:
http://www.tinyfotos.com/images/12677619609118469597.jpg
فإنه يمكن بيان أي نقطة معطاة بتحديد إما x,y,z أو u,v,w، إذ أن كل معادلة من (2) تمثل سطحاً وتقاطع ثلاثة من هذه الأسطح يعين موقع النقطة.
تسمى السطوح
http://www.tinyfotos.com/images/43759791112024721355.jpg
بـ "السطوح الإحداثية coordinates surfaces"، كما تسمى المنحنيات الفراغية التي تتكون من تقاطعها مثنى مثنى بـ "الخطوط الإحداثية coordinates lines"، وتتحدد "المحاور الإحداثية coordinates axes" بمماسات الخطوط الإحداثية عند تقاطع ثلاثة سطوح. وهذه المحاور، عموماً، ليست إتجاهات ثابتة في الفراغ كما هو الحال في الإحداثيات الكارتيزية البسيطة.
والشكل التالي يبين مثل هذا النوع من الإحداثيات،
http://www.tinyfotos.com/images/35541503765820188885.jpg
وفيه
http://www.tinyfotos.com/images/05739619163297978055.jpg
هذا، وتعرف الكميات u,v,w بـ "الإحداثيات الخطية المنحنية curvilinear coordinates" للنقطة P(x,y,z).
(يتبع) ******
http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif
http://www.tinyfotos.com/images/87500144712435329060.jpg
محمد ابوزيد
11-26-2009, 04:52 PM
اشكرك جدا اخى رجب مصطفى
وننتظر باقى الموضوع واعتقد ان الفائدة ستضح اكثر مع بقية الموضوع
اخوكم / ابو آيه
رجب مصطفى
11-26-2009, 04:53 PM
العلاقة بين الإحداثيات الكارتيزية والإحداثيات الخطية المنحنية
بفرض أن النقطة P(x,y,z) لها متجه الموضع
http://www.tinyfotos.com/images/06570508157969286376.jpg
بالنسبة لمجموعة الإحداثيات المتعامدة حيث:
http://www.tinyfotos.com/images/23950937724233048709.jpg
فإذا ما غيرنا إلى الإحداثيات u,v,w فإننا نحصل على متجه الموضع كدالة في u,v,w، ومن ثم فإن:
http://www.tinyfotos.com/images/44350359870371205285.jpg
هي مماسات لمنحنيات الإحداثيات، وبفرض أن:
http://www.tinyfotos.com/images/60284208229406869584.jpg
هي متجهات الوحدة في إتجاه الإحداثيات فسنجد أن:
http://www.tinyfotos.com/images/64914511967926465843.jpg
حيث:
http://www.tinyfotos.com/images/49150869239705319910.jpg
وبالتالي ستعطى متجهات الوحدة من العلاقة:
http://www.tinyfotos.com/images/79296820712130054842.jpg
ولكي تكون هذه الإحداثيات "متعامدة orthogonal" فيجب أن تتحقق العلاقات:
http://www.tinyfotos.com/images/61010605805502018951.jpg
وعليه فإن عنصر الطول في مثل هذه الإحداثيات يمكن أن يوضع على الصورة:
http://www.tinyfotos.com/images/80638303439798582351.jpg
وبالتعويض من (6):
http://www.tinyfotos.com/images/82058726807599202516.jpg
وبالتالي يكون مربع عنصر الطول الواصل بين النقطتين (u,v,w) و (u + du,v + dv,w + dw) هو:
http://www.tinyfotos.com/images/51033844825327701489.jpg
أما عنصر المساحة فيمكن أن يأخذ إحدى الصور التالية:
http://www.tinyfotos.com/images/09632511088613137635.jpg
بينما يعطى عنصر الحجم من العلاقة:
http://www.tinyfotos.com/images/29787740653240254665.jpg
(يتبع) ******
رجب مصطفى
11-26-2009, 04:59 PM
والآن ... سنحاول الوصول إلى صيغ المؤثرات التفاضلية في الإحداثيات الخطية المنحنية، وسنبدأ مع:
أولاً: المجال (أو التدرج) Gradient (grad)
إذا كانت الدالة F (فاي) دالة قياسية، فإننا نفرض أن مجالها هو:
http://www.tinyfotos.com/images/81919604649003460011.jpg
ولكن:
http://www.tinyfotos.com/images/00567534098277786716.jpg
وذلك من خلال التعويض بـ (10) و (14). ولكن أيضاً:
http://www.tinyfotos.com/images/27945580022451958332.jpg
وبمقارنة المعادلتين (15) و (16) نجد أن:
http://www.tinyfotos.com/images/45354053787532732542.jpg
ومنها:
http://www.tinyfotos.com/images/65218866796115096236.jpg
وبالتعويض في (14) نحصل على معادلة المجال التالية:
http://www.tinyfotos.com/images/53212551811122839399.jpg
والمعادلة السابقة يمكن صياغتها بطريقة أخرى وهي:
http://www.tinyfotos.com/images/27661952246518786782.jpg
حيث:
http://www.tinyfotos.com/images/35387110403823139023.jpg
أو:
http://www.tinyfotos.com/images/65430681301472483701.jpg
(يتبع) ******
رجب مصطفى
11-26-2009, 05:02 PM
ثانياً: التباعد Divergence (div)
إذا كانت
http://www.tinyfotos.com/images/07134453565698176584.jpg
دالة متجهه، حيث:
http://www.tinyfotos.com/images/96903051823180508722.jpg
فإن تباعدها يعطى من:
http://www.tinyfotos.com/images/60544968954389188225.jpg
وعليه سنعمل على إيجاد الحد الأول من الطرف اليمين من المعادلة على النحو التالي:
http://www.tinyfotos.com/images/31237955556677202280.jpg
وذلك باستعمال المعادلات ((3)8) و *(18). والمعادلة السابقة هي عبارة عن تفاضل حاصل ضرب دالتين، وعليه فإن:
http://www.tinyfotos.com/images/29733199695324163591.jpg
ولكن من قوانين التحليل الإتجاهي فإن الحد الثاني من الطرف الأيمن يساوي صفر، وبالتالي فإن:
http://www.tinyfotos.com/images/27385200205518435902.jpg
وذلك باستعمال المعادلات (18) و *(18). لذا:
http://www.tinyfotos.com/images/32239586062206473946.jpg
وذلك باستعمال المعادلة ((3)8). ولكن
http://www.tinyfotos.com/images/74401902167760658349.jpg
عبارة عن دالة قياسية مجالها يعطى من المعادلة (17)، لذا:
http://www.tinyfotos.com/images/52503323987705784813.jpg
وذلك باستعمال المعادلات ((1، 2)8). وبنفس الطريقة نحصل على الحدود:
http://www.tinyfotos.com/images/49186818180207531032.jpg
و:
http://www.tinyfotos.com/images/64864340738615523775.jpg
والآن بالتعويض بـالمعادلات (21)، (22) و (23) في المعادلة (20)، نحصل على معادلة التباعد التالية:
http://www.tinyfotos.com/images/78724807690333430509.jpg
(يتبع) ******
رجب مصطفى
11-26-2009, 05:05 PM
ثالثاً: مؤثر اللابلاسيان Laplacian Operator (lap)
بفرض أن الدالة المتجهه
http://www.tinyfotos.com/images/40637562799464460535.jpg
هي عبارة عن مجال دالة قياسية ولتكن الدالة (إبساي)
http://www.tinyfotos.com/images/18271123774786800524.jpg
فإن:
http://www.tinyfotos.com/images/60440326325907987594.jpg
وعليه فإن:
http://www.tinyfotos.com/images/04432203112443815835.jpg
وبالتعويض في معادلة التباعد رقم (24)، نحصل على معادلة اللابلاسيان التالية:
http://www.tinyfotos.com/images/03299167387442972832.jpg
(يتبع) ******
رجب مصطفى
11-26-2009, 05:10 PM
رابعاً: الدوران (الإلتفاف) Curl (or rot)
من المعروف أن دوران الدالة المتجهه
http://www.tinyfotos.com/images/08231484090741759380.jpg
المعطاة بالمعادلة (19) هو:
http://www.tinyfotos.com/images/65082386421753468861.jpg
أو:
http://www.tinyfotos.com/images/95681673220081588271.jpg
وكما فعلنا سابقاً سنعمل على إيجاد قيمة كل حد في الطرف الأيمن منفرداً على النحو التالي:
http://www.tinyfotos.com/images/67688094376624937226.jpg
وحيث أن الحد الثاني من الطرف الأيمن يساوي صفر، فإن:
http://www.tinyfotos.com/images/65086311375540552834.jpg
ولكن
http://www.tinyfotos.com/images/87778706598968140025.jpg
عبارة عن دالة قياسية مجالها هو:
http://www.tinyfotos.com/images/71356283961737627122.jpg
وعليه:
http://www.tinyfotos.com/images/35852212804878973101.jpg
إذاً:
http://www.tinyfotos.com/images/56417988135637034467.jpg
وبصورة أخرى:
http://www.tinyfotos.com/images/18512965207283542724.jpg
وبنفس الطريقة نحصل على الحدود:
http://www.tinyfotos.com/images/00004461785392533869.jpg
وبالتعويض بالمعادلات (26،27،28) في المعادلة (25) وإعادة ترتيب الحدود المشتركة نحصل على معادلة الدوران التالية:
http://www.tinyfotos.com/images/01081640385699544171.jpg
وهي نفسها المعادلة:
http://www.tinyfotos.com/images/51092322031479802021.jpg
وكتطبيق على ماسبق، سنعمل على إيجاد متجهات الوحدة، المؤثرات التفاضلية المختلفة، مربع عنصر الطول، عنصر المساحة وعنصر الحجم وأيضاً متجهات السرعة والعجلة في كلاً من الإحداثيات القطبية الكروية والإحداثيات الأسطوانية.
(يتبع) ******
http://www.tinyfotos.com/images/45884194723441345380.gif
http://www.tinyfotos.com/images/87500144712435329060.jpg
رجب مصطفى
02-01-2010, 01:39 AM
الإحداثيات القطبية الكروية
http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?t=18855
*** *** *** ***
الإحداثيات الأسطوانية
http://hazemsakeek.com/vb/showthread.php?t=18857
محمد ابوزيد
02-01-2010, 01:44 AM
اشكرك جدا على الموضوع
وهو يحتاج الى تبسيط نوعا ما
رجب مصطفى
02-01-2010, 01:51 AM
وهو يحتاج الى تبسيط نوعا ما
أكثر من هذا تبسيط ... لا يوجد
الموضوع مطروح خطوة خطوة بالإثبات ... ولا يحتاج حتى إلى النظر في كتب أخرى ...
محمد ابوزيد
02-01-2010, 01:57 AM
اهلا بك اخى رجب
ما تراه واضحا امامك قد لا يكون واضحا امام الاخرين
اسمح لى غدا ان شاء الله ان اقوم بطرح الموضوع هنا من جديد
مع الاعتراف انه موضوعك لاوضح وجهة نظرى
اخوكم / محمد ابوزيد
رجب مصطفى
02-01-2010, 02:00 AM
جميل جداً ... الأخ الفاضل محمد ...
افعل ما تراه في مصلحة الجميع
http://www.tinyfotos.com/images/66958553452145692846.gif
محمد ابوزيد
02-01-2010, 02:31 AM
واضح اخى رجب ان الموضوعات الثلاثة
الموضوع الاصلى بالاضافة الى الرابطان
هم موضوعات متكاملة
اخوكم / محمد ابوزيد
تغريد
02-02-2010, 11:47 PM
أشكرك أخي الكريم رجب على الموضوع الرائع و المهم
الحقيقة أن هذه الأمور الرياضية هي من اهم نقاط ضعفي
لذا سأحاول المتابعة وبالتأكيد عندي أسئلة
و لكني سأعرضها حين أقرأ الموضوع مرات عديدة لألم ما استطعت بجوانبه
سلمت يداك أخي لإثارة هذا الموضوع القيم و على الجهد المبذول و بارك الله فيك
شحنة المحبة
03-03-2011, 10:52 PM
http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcQTc7ExO6WkBMACKk pHpbysZPjqNSmXoHamstxlIq9Q5m3h10p9
http://t0.gstatic.com/images?q=tbn:ANd9GcSM8PqdA6Z-d1ote00aTGdKjp114rMMHFU51UPH4ytZDwn 7KEJsMA
:(144):
اسير الحلوين
03-22-2011, 05:32 PM
شكرااااااااااااا يا لغالي
شحنة المحبة
05-01-2011, 12:21 AM
جزاك الله الجنة
طرح مبسط وميسر
أطال الله عمرك بصحة وعافية
ما أجمل ان يكون الانسان صاحب بصمة فعالة ومفيدة للجميع ..أحسنت
نور المثابرة
11-26-2011, 07:57 PM
جزاكم الله خيراااااااااااااااااااااااااااااااا ااااااااااااااااااااااااااااااااااا ا
Powered by vBulletin™ Version 4.2.2 Copyright © 2024 vBulletin Solutions, TranZ by Almuhajir