ندوشش
09-25-2009, 07:31 PM
في احد دروس الرياضيات دخل الاستاذ الصف فراى الطلاب في حالة من الفوضى والمشاعبة فاراد ان يعاقبهم ولكن دون ان يضربهم فقال لهم:
اطلب منكم ان تقوموا بجمع الاعداد من واحد الى مائة واول واحد يقوم بذلك اعطيه علامة كاملة
وفعلا بدا الطلاب بالجمع:
1+2=3
3+3=6
6+4=10
10+5=15
15+6=21 وهكذا........................
بهذه الطريقة اراد الاستاذ ان يترك الطلاب مدة ساعة او اكثر وهم يقومون بهذا العمل المتعب ولكن لم يتوقع ان يحصل على الاجابة بسرعة!!!!!!!!!!!!!!
وفعلا بعد اقل من دقيقتين رفع احد التلاميذ يده وقال للاستاذ :يا استاذ المجموع هو=5050........وهو المجموع الصحيح
قال الاستاذ:انت تكذب؟
قال له:لقد قمت بالجمع وهذا هو الجواب الصحيح
الاستاذ :وكيف ذلك؟؟؟
الطالب:كتبت الارقام من واحد ال مائة ثم كتبت اسفلها الارقام بالعكس من مائة الى واحد بهذا الشكل:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6................................98-99-100
100- 99- 98-97- 96 -95............................ 3 - 2 - 1
وقمت بجمع العلوي مع السفلي(1+100) و (99+2) و (98+3)..............
فحصلت على مائة مجموع كل منها هو 101 وبالتالي المجموع الكلي للارقام التي كتبتها العلوية والسفلية:
المجموع=101*100=10100
وبما انا كتبنا الارقام مرتين فان مجمع الارقام من 1 الى 100 هو: 5050
هل عرفتم من ذلك الطالب انه العالم الكبير غاوس
"ومن الفكرة السابفة تم استنتاج القانون الشهير في الرياضيات(قانون غاوس):
مجموع الارقام من 1 الى n هو : n(n+1)/2
لم يصدق الاستاذ ان هذا الطفل الصغير بالصف الثالث لديه هذا العقل وهذا التفكير وجاء به الى المدير الذي استدعى والده ونصحه بارساله الى احدى مدارس المدن ليستفيد من موهبته العلمية وفعلا قام الاب بارسال ابنه الى اكبر مدارس المدينة ونجح في ان يجعل من ابنه عالما كبيرا تدرس قوانينه ونظرياته الان في كل جامعات العالم
اليكم اخواني البرهان الرياضي لتلك النظرية
اذا فرضنا ان مجموع الارقام من 1 الى ن هو مج و اذا فرضنا ان مجموع الارقام من 1 الى (ن -1) هو مج1
ان: مج = 1+2+3+4+5+......................... ............... .... +(ن-1 ) + ن
او مج = ن+ (ن-1) +(ن-2 ) +(ن-3) +0000000000000000000000000 + 1
اي مج = ن+ (ن-1) +(ن-2 ) +(ن-3) +0000000000000000000000000 + (ن- (ن-1 ))
مج = ن*ن - مج 1 = ن^2 - مج 1
لكن مج1 = مج - ن نعوض هذه العلاقة في العلاقة السابقة
اذا مج = ن^2 - ( مج - ن )
مج = ن^2 - مج + ن
ومنه 2 * مج = ن^ 2 + ن
2* مج = ن (ن +1)
بالتالي مج = ن (ن+1 ) / 2
وهو المطلوب
اعتقد كذلك انه بالامكان البرهان على اساس الاستقراء الرياضي ولكن هنا نحتاج لوجود العلاقة حتى نتمكن من برهانها
اطلب منكم ان تقوموا بجمع الاعداد من واحد الى مائة واول واحد يقوم بذلك اعطيه علامة كاملة
وفعلا بدا الطلاب بالجمع:
1+2=3
3+3=6
6+4=10
10+5=15
15+6=21 وهكذا........................
بهذه الطريقة اراد الاستاذ ان يترك الطلاب مدة ساعة او اكثر وهم يقومون بهذا العمل المتعب ولكن لم يتوقع ان يحصل على الاجابة بسرعة!!!!!!!!!!!!!!
وفعلا بعد اقل من دقيقتين رفع احد التلاميذ يده وقال للاستاذ :يا استاذ المجموع هو=5050........وهو المجموع الصحيح
قال الاستاذ:انت تكذب؟
قال له:لقد قمت بالجمع وهذا هو الجواب الصحيح
الاستاذ :وكيف ذلك؟؟؟
الطالب:كتبت الارقام من واحد ال مائة ثم كتبت اسفلها الارقام بالعكس من مائة الى واحد بهذا الشكل:
1 - 2 - 3 - 4 - 5 - 6................................98-99-100
100- 99- 98-97- 96 -95............................ 3 - 2 - 1
وقمت بجمع العلوي مع السفلي(1+100) و (99+2) و (98+3)..............
فحصلت على مائة مجموع كل منها هو 101 وبالتالي المجموع الكلي للارقام التي كتبتها العلوية والسفلية:
المجموع=101*100=10100
وبما انا كتبنا الارقام مرتين فان مجمع الارقام من 1 الى 100 هو: 5050
هل عرفتم من ذلك الطالب انه العالم الكبير غاوس
"ومن الفكرة السابفة تم استنتاج القانون الشهير في الرياضيات(قانون غاوس):
مجموع الارقام من 1 الى n هو : n(n+1)/2
لم يصدق الاستاذ ان هذا الطفل الصغير بالصف الثالث لديه هذا العقل وهذا التفكير وجاء به الى المدير الذي استدعى والده ونصحه بارساله الى احدى مدارس المدن ليستفيد من موهبته العلمية وفعلا قام الاب بارسال ابنه الى اكبر مدارس المدينة ونجح في ان يجعل من ابنه عالما كبيرا تدرس قوانينه ونظرياته الان في كل جامعات العالم
اليكم اخواني البرهان الرياضي لتلك النظرية
اذا فرضنا ان مجموع الارقام من 1 الى ن هو مج و اذا فرضنا ان مجموع الارقام من 1 الى (ن -1) هو مج1
ان: مج = 1+2+3+4+5+......................... ............... .... +(ن-1 ) + ن
او مج = ن+ (ن-1) +(ن-2 ) +(ن-3) +0000000000000000000000000 + 1
اي مج = ن+ (ن-1) +(ن-2 ) +(ن-3) +0000000000000000000000000 + (ن- (ن-1 ))
مج = ن*ن - مج 1 = ن^2 - مج 1
لكن مج1 = مج - ن نعوض هذه العلاقة في العلاقة السابقة
اذا مج = ن^2 - ( مج - ن )
مج = ن^2 - مج + ن
ومنه 2 * مج = ن^ 2 + ن
2* مج = ن (ن +1)
بالتالي مج = ن (ن+1 ) / 2
وهو المطلوب
اعتقد كذلك انه بالامكان البرهان على اساس الاستقراء الرياضي ولكن هنا نحتاج لوجود العلاقة حتى نتمكن من برهانها