اعدد غرسمان او الاعداد الفيرميونية

[الصادق]

اعدد غرسمان او الاعداد الفيرميونية

تعلمنا فى الفيزياء ان هناك نوعان من الجسيمات

بوزونات وهى جسيمات تخضع لاحصاء بوز-انشتاين حيث اذا قمنا بتبديل بوزونين فان الدالة الموجية لهما لا تتأثر بهذا التبديل ونتيجة لذلك فان اى عدد من البوزونات يمكن ان يشغل نفس الحالة الكمية

فيرميونات وهى جسيمات تخضع لاحصاء فيرمى-ديراك حيث اذا قمنا بتبديل فيرميونيين فان الدالة الموجية تكتسب اشارة سالبة و لذلك نقول ان الفيرميونات تخضع لمبدأ باولى الاستبعادى و الذى يُحرم على اى فيرميونيين ان يشغلا نفس الحالة الكمية فى نفس الوقت

http://vanha.physics.utu.fi/opiskelu/kurssit/FFYS4497/bec/A1-Boson-Fermion.gif

مجموعة الاعداد الحقيقية ومجموعة الاعداد المركبة تحقق الخاصية الابدالية و لذلك فانها تتوافق مع البوزونات اما الفيرميونات طالما انها غير ابدالية بطبيعتها فاننا نحتاج الى مجموعة اعداد تحقق الخاصية اللابدالية و هذه الاعداد تُعرف بالاعداد الفيرميونية او اعداد غراسمان

اعداد غراسمان:

تعريف:

تعرف اعداد غراسمان بانها الاعداد التى تحقق الخاصية ضد الابدالية اى ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\alpha%20\beta=-\beta%20\alpha%20\qquad(1)

واذا كانت الفا تساوى بيتا اعداد لغراسمان فان العلاقة (1) تتطلب ان يكون مربع عدد غراسمان يساوى صفراً اى ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\alpha^2=-\alpha^2\Rightarrow%20\alpha^2=0%20 \qquad(2)

ادعاء:
ناتج حاصل ضرب عددين لغراسمان يعطى عدد ابدالى
البرهان:

الاعداد الابدالية (البوزونية) تحقق الخاصية الابدالية فى الضرب

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20xy=yx

الان افترض ان الفا و بيتا هى اعداد فيرميونية اى اعداد تحقق جبرا غراسمان (1) وهكذا فان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20(\alpha_1\beta_1 )(\alpha_2\beta_2)=\alpha_1(\beta_1 \alpha_2)\beta_2

حيث استخدمنا خاصية الدمج

و بتبديل العددين داخل القوس سوف نحصل على اشارة سالبة اى ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20(\alpha_1\beta_1 )(\alpha_2\beta_2)=-\alpha_1(\alpha_2\beta_1)\beta_2=-(\alpha_1\alpha_2)(\beta_1\beta_2)

وبتبديل الاعداد داخل القوسين الاول والثانى واستخدام خاصية الدمج سوف نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20(\alpha_1\beta_1 )(\alpha_2\beta_2)=-(-\alpha_2\alpha_1)(-\beta_2\beta_1)=-\alpha_2(\alpha_1\beta_2)\beta_1=-\alpha_2(-\beta_2\alpha_1)\beta_1

اى ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20(\alpha_1\beta_1 )(\alpha_2\beta_2)%20=+(\alpha_2\be ta_2)(\alpha_1\beta_1)\qquad%20\squ are

وطالما ان هذه العلاقة تحقق الخاصية الابدالية فان هذا يبرهن ان حاصل ضرب عددين لغراسمان يعطى عداداً ابدالياً



يتبع....

[محمد ابوزيد]

استاذى العزيز الصادق

الخط صغير جدا

هناك صور كثيرة لا تظهر هندى

اخوكم / محمد ابوزيد

[الصادق]

اخى العزيز محمد ابوزيد

لقد تم تعديل مقاس الخط

[محمد ابوزيد]

اشكرك جدا ( رغم ان نظرى ضعيف)
الصور هل هى مشكلة عندى

اخوكم / محمد ابوزيد

[الصادق]

اشكرك جدا ( رغم ان نظرى ضعيف)
الصور هل هى مشكلة عندى

اخوكم / محمد ابوزيد

لست ادرى ربما تكون مشكلة عدم ظهور الصور عندك

[تغريد]

لا أعلم أخي الصادق و لكن عندي أيضا مشكلة في عدم ظهور المعادلات و الصيغ الرياضية و حتى نفس لمشكلة في المشاركات الأخيرة في موضوع التماثل الفائق

و لكني لا أستبعد أن تكون المشكلة في جهازي

[الصادق]

السلام عليكم

بالنسبة للمعادلات فان هناك مشكلة فى موقع اللاتكس منذ الامس اما بالنسبة للصور فهى تظهر عندى لذا لا ادرى ماهى المشكلة

على العموم عندما استخدم متصفح الفيرفوكس تظهر معى جميع المعادلات والصور

[مهندالزهراني]

الموضوع قيم جدا وأخيرا ظهرت عندي الصيغ الرياضية..

[محمد ابوزيد]

بالفعل اخى مهند ظهرت لدى ايضا

وننتظر من اخى الصادق اكمال الموضوع

[تغريد]

أخي الكريم الصادق
يعطيك العافية
و ألف شكر على الموضوع المهم


عذرا و لكني لم افهم البرهان الاخير
لماذا تم التعامل مع أربعة من اعداد غراسمان و ليس إثنان كما تتطلب علاقة التبادل ؟؟؟؟؟؟؟؟

[الصادق]

دوال غراسمان:
تعريف: لتكن f دالة فى متغير فيرميونى (غراسمانى) http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\theta . الان لما كانت اى دالة يمكن كتابتها فى شكل مفكوك, فان الشكل العام لدالة غراسمان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20f(\theta) يعطى بمفكوك تايلور على الصورة التالية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20f(\theta)=a+b\the ta+c_2\theta^2+c_3\theta^3+\dots%20 \qquad%20(3)


ولكن نتيجة للخاصية ضد الابدالية فان مربع المتغير الغراسمانى يساوى صفراً و هكذا فان اى حد يحتوى على قوى اكبر من او تساوى 2 سوف يختفى و عليه فان الدالة f تحتوى على حدين فقط

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20f(\theta)=a+b\the ta%20\qquad%20(4)

ما اروعها حقاً من دالة انها بسيطة جداً

قوانين بيرزن للتفاضل والتكامل:

تخضع الدوال التى تعتمد على متغيرات غراسمان لقوانين بيرزن للتفاضل والتكامل

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\\%20\qquad%20\qq uad%20\frac{\mathrm{d}%20}{\mathrm{ d}%20\theta%20}\;\theta\;=1%20\qqua d(5a)\\%20\\%20\\%20\qquad%20\qquad %20\int%20d\theta%20\;1=0,%20\qquad %20\int%20d\theta%20\;\theta=1%20\q quad(5b)

مثال: اوجد تفاضل الدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20f(\theta)؟

الحل:بالتطبيق المباشر لقاعدة التفاضل سوف نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\frac{\mathrm{d}% 20}{\mathrm{d}%20\theta%20}\;f(\the ta)=\frac{\mathrm{d}%20}{\mathrm{d} %20\theta%20}(a+b\theta)%20=b%20

مثال: اوجد تكامل الدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20f(\theta)

الحل:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\int%20d\theta%2 0f(\theta)=\int%20d\theta%20(a+b\th eta)=a\int%20d\theta\;1+b\int%20d\t heta\;\theta=a(0)+b(1)=b

الان تلاحظ معى انه لا يوجد اى فرق بين التفاضل و التكامل !!و ان تفاضل الدالة الغراسمانية يساوى دائماً و ابداً تكاملها. او ليس هذا رائعاً جداً

تمرين:

اوجد الصيغة العامة للدالة الاُسية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20e^{\alpha\theta} حيث ان سيتا هى متغير غرسمانى بينما ان الفا هى عدد غراسمانى
من ثم احسب كل من تفاضلها وتكاملها بالنسبة ل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\theta

يتبع.............

[الصادق]

أخي الكريم الصادق
يعطيك العافية
و ألف شكر على الموضوع المهم


عذرا و لكني لم افهم البرهان الاخير
لماذا تم التعامل مع أربعة من اعداد غراسمان و ليس إثنان كما تتطلب علاقة التبادل ؟؟؟؟؟؟؟؟

حياك الله اختى الكريمة تغريد

لان حاصل ضرب اثنين من اعدد غراسمان يمثل عدد بوزونى ولكى نرى هذا افترض ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\alpha_1\beta_1=x ,%20\qquad%20\alpha_2\beta_2=y

و الان نحن برهنا ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%14xy=yx

وهكذا طالما ان x تحقق التبادلية فان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\alpha%14\beta تمثل عدد بوزونى

وايضاً لان برهان التبادل يتطلب عددين اعتياديين لذا احتوت العلاقة فى نهاية البرهان على 4 اعدد غراسمانية

والله اعلم

[الصادق]

اشكرك اخى محمد ابوزيد على تثبيت الموضوع

بارك الله فيك وجزاك خيراً

[تغريد]

حياك الله اختى الكريمة تغريد

لان حاصل ضرب اثنين من اعدد غراسمان يمثل عدد بوزونى ولكى نرى هذا افترض ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\alpha_1\beta_1=x ,%20\qquad%20\alpha_2\beta_2=y

و الان نحن برهنا ان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%14xy=yx

وهكذا طالما ان x تحقق التبادلية فان http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\alpha%14\beta تمثل عدد بوزونى

وايضاً لان برهان التبادل يتطلب عددين اعتياديين لذا احتوت العلاقة فى نهاية البرهان على 4 اعدد غراسمانية

والله اعلم

شكرا لك كثيرا أخي الكريم الصادق

الحقيقة يفترض أن يكون هذا واضحا و لكن للأسف تفكيري متشتت كما يبدو

أنا حقا آسفة

[تغريد]

أخي الكريم الصادق بالفعل هذه الأعداد عجيبة بكل معنى الكلمة

فحاصل ضرب اثنين من اعدد غراسمان يمثل عدد بوزونى يتبادل بالفعل مع أمثاله
و لكن في النهاية لا يتحول لعدد حقيقي لأن مربعه صفر!!!1
و هو لا يساوي صفر
؟؟؟

ثم هناك قاعدة التفاضل و التكامل
فلماذا يكون تكامل الدالة الثايتة صفر في حين أن تكامل المتغير و الذي كنا نتوقع أن يعطي صفرا لأنه يفترض أن يعطي دالة تربيعية و لكنه رغم ذلك أعطى الواحد؟؟؟؟

و هذا يدعو للتساؤل
فهل احتفظ التفاضل و التكامل بمعناهما




حقا هذه مجموعة عجيبة

[Tyns19]

السلام عليكم
موضوع جميل كما تعودنا منك أخي الصادق وأنا لم أنتبه لوجوده من قبل
فعلا هذه المجموعة ذات خصائص غريبة جدا



تمرين:

اوجد الصيغة العامة للدالة الاُسية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20e^{\alpha\theta} حيث ان سيتا هى متغير غرسمانى بينما ان الفا هى عدد غراسمانى
من ثم احسب كل من تفاضلها وتكاملها بالنسبة ل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\theta

سأحاول الاجابة حيث أني لن أتفاجأ كثيرا ان أخطأت حيث أن الموضوع جديد علي ولست متأكد لاستيعابي لما سبق، لكن رب خطأ نتعلم منه
الاجابة حسب اعتقادي هي:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\200dpi%20\ e^{\alpha \theta}=1+\alpha\theta



http://www.codecogs.com/eq.latex?\200dpi%20 \frac{\mathrm d }{\mathrm d\theta}e^{\alpha\theta}=\int e^{\alpha\theta}\; \mathrm d\theta=\alpha

والله أعلم

[dr.mohamed]

الموضوع جميل بس فيه مشكلة بالنسبة للارقام والمعادلات اذا هي من عندكم فأرجوا اصلاحها

[Tyns19]

الموضوع جميل بس فيه مشكلة بالنسبة للارقام والمعادلات اذا هي من عندكم فأرجوا اصلاحها

مشكلة عدم ظهور المعادلات هي مشكلة خارجة عن نطاق المنتدى، وسببها هو مشاكل في موقع اللاتكس، اصبر قليلا وستظهر المعادلات انشاء الله

[الصادق]

السلام عليكم
موضوع جميل كما تعودنا منك أخي الصادق وأنا لم أنتبه لوجوده من قبل
فعلا هذه المجموعة ذات خصائص غريبة جدا


سأحاول الاجابة حيث أني لن أتفاجأ كثيرا ان أخطأت حيث أن الموضوع جديد علي ولست متأكد لاستيعابي لما سبق، لكن رب خطأ نتعلم منه
الاجابة حسب اعتقادي هي:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\200dpi%20\ e^{\alpha \theta}=1+\alpha\theta



http://www.codecogs.com/eq.latex?\200dpi%20 \frac{\mathrm d }{\mathrm d\theta}e^{\alpha\theta}=\int e^{\alpha\theta}\; \mathrm d\theta=\alpha

والله أعلم

حياك الله اخى Tyns19

يجب ان ننتبه الى ان الفا عدد غراسمانى و بالتالى عند تمرير التفاضل ليؤثر على سيتا سوف نحصل على اشارة سالبة
وهذا سوف يكون ايضاً واضحاً من التكامل

................
لقد قمتُ بتعديل ترقيم المعادلات
شكر الله لك وجزاك خيراً

[الصادق]

أخي الكريم الصادق بالفعل هذه الأعداد عجيبة بكل معنى الكلمة

فحاصل ضرب اثنين من اعدد غراسمان يمثل عدد بوزونى يتبادل بالفعل مع أمثاله
و لكن في النهاية لا يتحول لعدد حقيقي لأن مربعه صفر!!!1
و هو لا يساوي صفر
؟؟؟

ثم هناك قاعدة التفاضل و التكامل
فلماذا يكون تكامل الدالة الثايتة صفر في حين أن تكامل المتغير و الذي كنا نتوقع أن يعطي صفرا لأنه يفترض أن يعطي دالة تربيعية و لكنه رغم ذلك أعطى الواحد؟؟؟؟

و هذا يدعو للتساؤل
فهل احتفظ التفاضل و التكامل بمعناهما




حقا هذه مجموعة عجيبة

نعم اختى الكريمة تغريد

لو جعلنا تكامل المتغبر يعطى دالة تربيعية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\int%20d\theta%2 0\theta%20=\theta^2=0

فان تفاضل طرفى المعادلة السابقة يعطى تناقض
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\\%20\frac{\math rm{d}%20}{\mathrm{d}%20\theta%20}\i nt%20d\theta%20\theta%20=\frac{\mat hrm{d}%20}{\mathrm{d}%20\theta}0\\% 20\\%20\theta=\frac{\mathrm{d}%20}{ \mathrm{d}%20\theta}0

فهل احتفظ التفاضل و التكامل بمعناهما؟

لو كنت تعنى معناهما الهندسى فى فضاء ابدالى عادى فالاجابة لا. اما فى الفضاء الفائق supermanifold فان لهما معنى


والله اعلم

[تغريد]

نعم اختى الكريمة تغريد

لو جعلنا تكامل المتغبر يعطى دالة تربيعية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\int%20d\theta%2 0\theta%20=\theta^2=0

فان تفاضل طرفى المعادلة السابقة يعطى تناقض
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\\%20\frac{\math rm{d}%20}{\mathrm{d}%20\theta%20}\i nt%20d\theta%20\theta%20=\frac{\mat hrm{d}%20}{\mathrm{d}%20\theta}0\\% 20\\%20\theta=\frac{\mathrm{d}%20}{ \mathrm{d}%20\theta}0

فهل احتفظ التفاضل و التكامل بمعناهما؟

لو كنت تعنى معناهما الهندسى فى فضاء ابدالى عادى فالاجابة لا. اما فى الفضاء الفائق supermanifold فان لهما معنى


والله اعلم

لقد شوقتنا أخي لنعرف أكثر عن هذا الفضاء

بارك الله فيك أخي
ننتظر جديدك

و كل عام و أنت و جميع الأخوة و الأخوات بألف خير

[الصادق]

حتى نستطيع اكمال هذا الموضوع سوف اكتب حل التمرين السابق


اوجد الصيغة العامة للدالة الاُسية http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20e^{\alpha\theta} حيث ان سيتا هى متغير غرسمانى بينما ان الفا هى عدد غراسمانى
من ثم احسب كل من تفاضلها وتكاملها بالنسبة ل http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\theta



لايجاد التفاضل نكتب تمديد الدالة الاسية ولكن اولاً لاحظ ان الثابت الفا هو عدد غراسمانى والسبب هو ان الدالة الاسية عبارة عن دالة بوزونية ولما كانت http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\theta متغير غراسمانى فيجب ان تضرب فى كمية غراسمانية لكى يكون الاس كمية بوزونية وبالتالى تصبح الدالة الاسية دالة بوزونية.

الان التمديد سوف يحتوى فقط على حدين

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\rm%20e^{\alpha% 20\theta}=1+\alpha%20\theta

الان باجراء التفاضل نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\frac{\mathrm{d} %20}{\mathrm{d}%20\theta}\rm%20e^{\ alpha%20\theta}=\frac{\mathrm{d}%20 }{\mathrm{d}%20\theta}(1+\alpha%20\ theta)=\frac{\mathrm{d}%20}{\mathrm {d}%20\theta}\alpha%20\theta

وهكذا طالما ان الفا ثابت غراسمانى و التفاضل عبارة عى مؤثر غراسمانى فانهما يحققا ضد التبادلية و عندما نمرر التفاضل عبر الفا نحصل على اشارة سالبة

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\frac{\mathrm{d} %20}{\mathrm{d}%20\theta}\rm%20e^{\ alpha%20\theta}=-\alpha\frac{\mathrm{d}%20}{\mathrm{ d}%20\theta}%20\theta=-\alpha\times%201=-\alpha

هذه الخاصية تقترح ان يكون هناك تعريف للتفاضل من اليمين و اليسار بمعنى

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\overrightarrow{ \frac{\mathrm{d}%20}{\mathrm{d}%20\ theta}}f(\theta)\qquad%20\rm%20and% 20\qquad%20f(\theta)\overleftarrow{ \frac{\mathrm{d}%20}{\mathrm{d}%20\ theta}}

وهكذا فان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\rm%20e^{\alpha% 20\theta}\overleftarrow{\frac{\math rm{d}%20}{\mathrm{d}%20\theta}}=\al pha

الان ناتى الى تكامل الدالة الاسية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\int%20d\theta%2 0\;\rm%20e^{\alpha%20\theta}=\int%2 0d\theta%20\;(1+\alpha%20\theta)=\i nt%20d\theta%20\;1+\int%20d\theta%2 0\;\alpha%20\theta=0-\int%20d\theta%20\;\theta%20\alpha=-\alpha

حيث استخدمنا قواعد بيرزن للتكامل و خاصية ضد التبادل بين الفا وسيتا

والله اعلم

[تغريد]

نشكرك أخي الصادق جزيل الشكر

أصبحت الأمور أكثر وضوحا
و لكن
نرجو أن تزيدنا توضيحا حول التفاضل من اليسار

[الصادق]

لتكن لدينا دالة غراسمانية فى متغيرين http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\theta_1,\theta_2) يحققان علاقة ضد التبادلية اى ان
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\theta_1\theta_2 =-\theta_2\theta_1\quad%20\rm%20and%2 0\quad%20\theta_1^2=\theta_2^2=0

الان تمديد الدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\theta_1,\theta_2) يعطى ب

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20f(\theta_1,\thet a_2)=a+b_1\theta_1+b_2\theta_2+b_{1 2}\theta_1\theta_2\qquad(6)

لاحظ اننا لا نستطيع اضافة اى حد اخر لهذا التمديد. (لماذا؟)
نسبة لان الدالة f هى دالة غراسمانية فان الثوابت http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20a,\;%20b_{12} هى اعداد غراسمانية بينما ان الثوابت http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20b_1,\;%20b_{2} هى اعداد بوزونية (سؤال: ماذا يحدث اذا كانت الدالة f دالة بوزونبة؟ اى ماهى طبيعة الثوابت؟)

لو فكرنا فى هذه الدالة على انها متجه فى فضاء اتجاهى فان اى دالة من هذا النوع سوف تكون عبارة عن توفيقة خطية من متجهات الاساس التالية
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%201,\;\;%20\theta_ 1,\;\;%20\theta_2,\;\;%20\theta_1\t heta_2

اى ان الفضاء الاتجاهى تولده 4 اربعة مولدات (متغيرين غراسمانين http://latex.codecogs.com/gif.latex?\theta_1,\theta_2 يولدان فضاء به اربعة ابعاد)

التفاضل: التفاضل من اليمين و التفاضل من اليسار يعرفان ب

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\\\frac{\partial %20}{\partial%20\theta_i}\theta_1\t heta_2=\delta_{1i}\theta_2%20-\delta_{2i}\theta_1%20\qquad(7a)\\% 20\\%20\theta_1\theta_2\frac{\parti al%20}{\partial%20\theta_i}=\delta_ {2i}\theta_1%20-\delta_{1i}\theta_2%20\qquad(7b)

حيث ان دالتا كورنكر تعرف ب

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\delta_{ij}=\lef t\{\begin{matrix}%201&\rm%20when%20\;\;%20i=j%20\\%200%20&%20\rm%20when%20\;\;%20i\neq%20j%20 \end{matrix}\right.

التكامل:

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\\\int%20d\theta _2d\theta_1%20\theta_1\theta_2=1%20 \\%20\\%20\int%20d%20\theta_1\;1=\i nt%20d\theta_21=0\qquad%20(8)

تمرين:
1- اوجد جميع التفاضلات والتكاملات الممكنة للدالة http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\theta_1,\theta_2)
2- كرر التمرين السابق بالنسبة للدالة الاسية

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\rm%20e^{\theta_1 b_{12}\theta_2}

حيث http://latex.codecogs.com/gif.latex?b_{12} عبارة عن ثابت


يتبع..............

[الصادق]

يمكن تعميم النقاش السابق الى حالة ثلاثة متغيرات غراسمانية اى اذا كانت لدينا دالة غراسمانية http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\theta_1,\theta_2,\thet a_3) فان تمديدها يتخذ الشكل التالى:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\theta_1,\theta_2,\thet a_3)=a+b_1\theta_1+b_2\theta_2+b_3\ theta_3+b_{12}\theta_1\theta_2+b_{2 3}\theta_2\theta_3+b_{31}\theta_3\t heta_1+b_{123}\theta_1\theta_2\thet a_3

الان نجد ان الفضاء الاتجاهى تولده 8 مولدات (متجهات اساس) هى

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%201,\;%20\theta_1, \;\theta_2,\;%20\theta_3,%20\;%20\t heta_1\theta_2,\;%20\theta_2\theta_ 3,\;\theta_3\theta_1,\;\theta_1\the ta_2%20\theta_3

التفاضل: التفاضل من اليمين و التفاضل من اليسار يعرفان ب

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\\%20\frac{\part ial%20}{\partial%20\theta_i}\theta_ 1\theta_2%20\theta_3=\delta_{1i}\th eta_2\theta_3-\delta_{2i}\theta_1\theta_3+\delta_ {3i}\theta_1\theta_2%20\qquad(9a)\\ %20\\%20\theta_1\theta_2%20\theta_3 \frac{\partial%20}{\partial%20\thet a_i}=\delta_{3i}\theta_1\theta_2-\delta_{2i}\theta_1\theta_3+\delta_ {1i}\theta_2\theta_3\qquad(9b)

التكامل:
http://latex.codecogs.com/gif.latex?\large%20\int%20d\theta_3 d\theta_2d\theta_1%20\;%20\theta_1\ theta_2\theta_3=1%20\qquad(10)

يتبع............

[تغريد]

شكرا لك أخي الصادق على التبيان

سأحاول الإجابة على الجزء الأول أولا لأن الجزء الثاني معتمد عليه

أولا العدد http://latex.codecogs.com/gif.latex?b_{12}\theta _{1} ليس عددا غراسماتيا لأنه يتبادل مع http://latex.codecogs.com/gif.latex?\theta _{2}

و على هذا عملية التفاضل و التكامل الأولى على ما أعتقد تتم حسب التالي

http://latex.codecogs.com/gif.latex?f(\theta _{1},\theta _{2})= a+b_{1}\theta _{1}+b_{2}\theta _{2}+b_{12}\theta _{1}\theta _{2} \\ \Rightarrow \overrightarrow{ \frac{\partial}{\partial \theta _{1}}} f(\theta _{1},\theta _{2})= b_{1}+b_{12}\theta_{2},\\ f(\theta _{1},\theta _{2})\overleftarrow{\frac{\partial }{\partial \theta _{1}}}= b_{1}+b_{12}\theta_{2},\\ \int d \theta _{1}f(\theta _{1},\theta _{2}) = b_{1} + b_{12}\theta_{2},\\ \int d \theta _{1}d \theta _{2}f(\theta _{1},\theta _{2}) = - b_{12}\theta_{2},


و على ذلك يكون

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\overrightarrow{ \frac{\partial ^{2}}{\partial \theta _{2}\partial \theta _{1} }} f(\theta _{1},\theta _{2})= - b_{12} \\ f(\theta _{1},\theta _{2}) \overleftarrow{ \frac{\partial ^{2}}{\partial \theta _{2}\partial \theta _{1} }} = b_{12}
و الله تعالى أعلم