معادلة "شرودنجر" لجسيم منفرد

[رجب مصطفى]

تابع ... الموضوع السابق ومقدمة عن:

( *** معادلة "شرودنجر" لجسيم منفرد *** )

طور العالم الفيزيائي "إروين شرودنجرErwin Schrodinger " معادلة لوصف حركة جسيم وموجة "دي برولي" المصاحبة له، مثل هذه المعادلة أصبحت جوهر وأساس الميكانيكا الموجية أو ما يُعرف بـ "ميكانيكا الكم".

توصل "شرودنجر" إلى مثل هذه المعادلة بأخذه في الإعتبار التناظر بين البطريات الهندسية والبصريات الفيزيائية ومقارنة مسار جسيم بمسار شعاع من الضوء وأيضاً مقارنة الموجة المصاحبة مع الموجات الكهرومغناطيسية.

يمكن أن نصل إلى معادلة "شرودنجر" من خلال البدء بمعادلة الموجة المعروفة وإدخال فرضية "دي برولي" الخاصة بالموجات المصاحبة للجسيمات المادية فيها.

فبفرض موجة من نوع ما ممثلة بالرمز (إبساي) تتحرك في الفراغ بسرعة w، فإن المعادلة التفاضلية التي تصف حركتها هي:

http://www.tinyfotos.com/images/yaqsra07qenngpnkxobd.jpg

وعموماً، فإن الدالة (إبساي) هي دالة في الإحداثيات المكانية x,y,z وفي الزمن t، أي:

http://www.tinyfotos.com/images/zv7ni8lz9c3p7mb77yw2.jpg

وفي حالة الموجات الكهرومغناطيسية فإن

http://www.tinyfotos.com/images/fqle3ll76wae8o89594m.jpg

تمثل مركبة واحدة من مركبات المجال الكهربي أو المجال المغناطيسي.

ولجسيم كتلته m وسرعته v حيث (v << c) يتحرك في مجال قوة ما تكون طاقة الوضع له هي V : V (x,y,z) وطاقته الكلية هي E، وعليه فإن طاقة الحركة لهذا الجسيم هي:

http://www.tinyfotos.com/images/4d862wu0j8p1w69c5ko.jpg

ولكن من فرضية "دي برولي" نجد أن:

http://www.tinyfotos.com/images/5xtumif2yiqn42ldymt.jpg

إذاً:

http://www.tinyfotos.com/images/q99h4weciyj9qzqsls.jpg

ولكن سرعة الموجة (إبساي) هي w حيث:

http://www.tinyfotos.com/images/fy6i5j1n8hgoi292rx2m.jpg

(يتبع) ******

[رجب مصطفى]

وحيث أن دوال الموجة (إبساي)، التي هي دوال توافقية harmonic functions في الزمن، هي وحدها ذات المعني الفيزيائي، فإن مثل هذه الدوال يمكن أن تكتب في صورة الجيب أو جيب التمام أو في صورة تراكب منهما كما هو الحال مع الدالة الأسية (وهي الأفضل كما بينا في أحد المواضيع السابقة).

ولموجة أحادية التردد (نيو)، فإن الدالة (إبساي) يمكن أن تكتب في الصورة الأسية التالية:

http://www.tinyfotos.com/images/pn62icxcd0cwpofdoc.jpg

وبتفاضل هذه المعادلة مرتين بالنسبة للزمن t نحصل على:

http://www.tinyfotos.com/images/5yfcmq8fhfcuuc2j12c7.jpg

وبتفاضل المعادلة (15) مرتين بالنسبة للإحداثيات نحصل على:

http://www.tinyfotos.com/images/n9q7e36kzmm9tyuaxmf7.jpg

والآن بالتعويض بالمعادلات (14، 16، 17) في معادلة الموجة رقم (11)، نحصل على:

http://www.tinyfotos.com/images/ma8ax0q6meufon3gemr.jpg

وهذه هي معادلة "شرودنجر" الغير معتمدة على الزمن لجسيم كتلته m يتحرك في مجال قوة، طاقة وضعه V وطاقته الكلية E.

*** ملحوظة:

http://www.tinyfotos.com/images/1xj9fn6bnq19la1t47g.jpg

********
إنتظرونا قريباً مع "أنظمة الإحداثيات" .... دمتم برعاية الله

[Tyns19]

شكرا أخي على الموضوع الجميل، بارك الله فيك.
في انتظار باقي الموضوع.

[الصادق]

موضوع رائع كما هى العادة التى الفناها عنك اخى رجب مصطفى,
نحن فى انتظار ما سوف يأتى...

[عمر الفيزيائ]

عمل رائع جدا
ومفيد

شكرا لك

وجعل الله ذلك في موازين حسناتك