حقل الجاذبية ماهو

[gihan]

اطلب منكم مساعدة لو تكرمت في بعض الاستشكالات ال عندي في الفيزياء

اريد استفسر عن حقل الجاذبية لجسم مادي على بعد نقطة ما من سطحه... اقصد شدة الحقل بالمعادلات وكيف تم اشتقاقها
كمان اريد تفسير لمعالة بوسون ، وهل هي اشتقاق لحقل الجاذبية ؟؟؟؟




جزاكم الله خيرا

[الصادق]

شدة الحقل التثاقلى هى عجلة الجاذبية وهى تعطى من قانون نيوتن للجذب العام

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\vec{g}=-\frac{Gm(\vec{r}-\vec{r%27})}{|\vec{r}-\vec{r%27}|^3}%20\qquad%20(1)

واذا كان توزيع الكتلة غير منتظماً فاننا نعتبر ان اى عنصر كتلة صغير dm سو ف يتسبب فى عنصر شدة مجال تثاقلى dg اى ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\vec{dg}=-\frac{Gdm(\vec{r}-\vec{r%27})}{|\vec{r}-\vec{r%27}|^3}%20\qquad%20(2)

ولما كانت الكثافة هى تفاضل الكتلة على الحجم فاننا نستطيع ان نكتب

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20dm=\rho(\vec{r%27 })dV
حيث رو هى الكثافة عند نقطة عند رأس المتجه ’r . بالتعويض فى العلاقة (2) نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\vec{dg}=-\frac{G\rho(\vec{r%27})(\vec{r}-\vec{r%27})dV}{|\vec{r}-\vec{r%27}|^3}%20\qquad%20(3)

الان باجراء التكامل الحجمى نحصل على شدة الحقل التثاقلى

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\vec{g}=-\int_V\frac{G\rho(\vec{r%27})(\vec{ r}-\vec{r%27})dV}{|\vec{r}-\vec{r%27}|^3}%20\qquad%20(4)

بأخذ التباعد divergence للطرفى التكامل اعلاه

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\nabla.\vec{g}=-\int_V%20G\rho(\vec{r%27})\nabla.\l eft(%20\frac{(\vec{r}-\vec{r%27})}{|\vec{r}-\vec{r%27}|^3}\right%20)dV%20\qquad %20(5)

لاحظ ان التباعد يؤثر فقط على الدوال التى تعتمد على المتجه r . الان نعلم من دالة غرين Green function ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\nabla.\left(%20\ frac{(\vec{r}-\vec{r%27})}{|\vec{r}-\vec{r%27}|^3}\right%20)=4\pi\delta (\vec{r}-\vec{r%27})

حيث الطرف الايمن يسمى دالة دالتا ديراك و تكاملها بالنسبة ل’r يعطى 1 فقط عن تساوى المتجهين r و ’r
وبالتعويض فى (5) نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\nabla.\vec{g}=-4\pi \int_V%20G\rho(\vec{r%27})\delta(\v ec{r}-\vec{r%27})dV%20\qquad%20(6)

باجراء التكامل على دالة دلتا ديراك نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\nabla.\vec{g}=%2 0-4\pi%20G\rho(\vec{r})%20\qquad%20(6 )

الان نعلم ان الحقل التثاقلى هو حقل محافظ اى ان الشغل حول مسار مغلق يساوى صفراً بمعنى ان التكامل حول المسار المغلق لدالة الحقل يساوى صفر و عليه فان التفاف curl دالة الحقل التثاقلى تساوى صفراً مما يقود الى انها يجب ان تكون تدرج gradient لدالة ما اى ان

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\vec{g}=-\nabla%20\Phi

بتعويض العلاقة الاخيرة فى المعادلة (6) نحصل على

http://latex.codecogs.com/gif.latex?\huge%20\nabla^2\Phi=%204 \pi%20G\rho%20\qquad%20(7)


وهذه هى معادلة بوايسون

والله اعلم

[Tyns19]

السلام عليكم
يمكننا اشتقاق قانون غاوس بالنسبة للحقل الجاذبي (الية الشتقاق هي نفسها كما بالنسبة للحقل الكهربائي) حيث نجد:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\150dpi%20 \oint_{\partial V} \vec{g}\cdot d\vec{s}=-4\pi G \int_V \rho(\vec{r})\cdot dV\qquad(1).
الان حسب نظرية التباعد:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\150dpi%20 \oint_{\partial V} \vec{g}\cdot d\vec{s}= \int_V\vec{\nabla}\cdot\vec{g} \ dV
تصبح المعادلة (1) إذن:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\150dpi%20 \int_V\vec{\nabla}\cdot\vec{g} \ dV=\int_V -4\pi G\rho(\vec{r})\cdot dV
وبما أن V هو حجم اعتباطي فيجب أن بكون:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\150dpi%20 \vec{\nabla}\cdot\vec{g} =-4\pi G\rho(\vec{r})
وهي نفس المعادلة في مشاركة أخي الصادق، وباقي الخطوات موجودة في مشاركة أخي الصادق أيضا.

[gihan]

شكرا لك استاذ الصادق والشكر موصول كذلك للأستاذ Tyns على هذه الشروح الجميلة ، لكن بما انني هاوية لعلم الفيزياء فهناك اشياء لازلت اتعلمها وهي اساسية جدا جدا .. عليه اطلب منك استاذ الصادق شرح مستفيض لمفهوم التباعد ( divergence ) ، واعتقد انه هو مايرمز له بدلتا مقلوبة ، اليس كذلك؟؟ ، ماهو مفهومه الرياضي والفيزيائي وماهي أهم استخداماته
ملاحظة: هذا المنتدى يرغب الكثيرين والكثيرات في علم الفيزياء وشكرا جزيلا على جهودكم

وجزاكم الله خيرا

[gihan]

استاذ الصادق ارجوا ان لاتكونوا قد تناسيتم اسئلتنا واستفساراتنا في زحمة التماثل الفائق !!!!!
منتظرة ردكم على سؤالي الأخير حول التباعد ..



تحياتي لكم استاذنا الكبير