لماذا لا يوجد عدد ms في حل معادله شرودنجر العادية ؟

[فيزيائي عصره]

السلام عليكم
أرجوا أن الجميع بخير
لدي سؤال في ميكانيكا الكم وأرجوا أن أجد الرد أيها الأعضاء الكرام والسؤال هو:
لماذا لاتوجد عدد ms في حل معادله شرودنجر العاديه غير النسبيه بينما نجد n , L, ml
وشكرا لكم ................................... ................

[فيزيائي عصره]

أين الأعضاء الكرام ....................
أين علماء الكم ................

[رشوان محمود]

يا اخي اين السؤال اين السؤال ؟ وما معنى الرموز التي ادرجتها ؟ !

[الصادق]

السلام عليكم
أرجوا أن الجميع بخير
لدي سؤال في ميكانيكا الكم وأرجوا أن أجد الرد أيها الأعضاء الكرام والسؤال هو:
لماذا لاتوجد عدد ms في حل معادله شرودنجر العاديه غير النسبيه بينما نجد n , L, ml
وشكرا لكم ................................... ................

عدد الكم الرئيسى (the principal quantum number ) هو n=0,1,2,... يرتبط بالطاقة الكلية لذرة الهيدروجين


عدد الكم المدارى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\ell=0,1,2,... يحدد مقدار كمية الحركة الزاوية التى يحملها الالكترون فى دوارنه حول النواة

عدد الكم المغنطيسى (magnetic quantum number) هو http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20m_{\ell}=-\ell.-\ell+1,...,0,...,\ell-1,\ell يمثل اسقاط لكمية الحركة الزاوية فى اتجاه المحور z

وكل من اعداد الكم اعلاه تظهر فى معادلة شرودنجر غير النسبوية لذرة الهيدروجين

اما عدد الكم المغزلى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20m_s=\pm\frac{1}{2 } فهو يرتبط باللف المغزلى للالكترون ولما كان اللف المغزلى يساوى نصف فان هذا يشير الى ان الالكترونات عبارة عن فيرميون و اللف المغزلى للفيرميونات غير معرف كلاسيكياً وانما يظهر اللف المغزلى فقط فى حالة تمديد الفضاء من ثلاثة ابعاد مكانية الى فضاء زمنكانى به اربع ابعاد وفى هذه الحالة تصبح الدالة الموجية عبارة عن متجه رباعى الابعاد يسمى بال Spinor وتدخل مصفوفات باولى (التى تعبر عن اللف المغزلى) بشكل طبيعى فى تعريف الا Spinor
اذن تستطيع ان تقول ان اللف المغزلى هو خاصية نسبوية تتلاشئ عند السرعات الضئيلة كما فى حالة معادلة شرودنجر ولا تظهر الا فى السرعات العالية التى تقترب من سرعة الضوء كما فى حالة معادلة ديراك, لذا لا نتوقع ظهور عدد كم مغزلى فى معادلة شرودمجر ولكن نتوقع ظهوره فى معادلة نسبيوية مثل معادلة ديراك وظهوره نجم فى الاساس من التحول من دالة موجية قياسية الى متجه رباعى الابعاد مركباته دوال موجية يسمى بالاسبينر فيه الصفين الاول والثانى تمثل الالكترون (حيث الصف الاول يمثل الكنرون له للف مغزلى اعلى بينما الصف الثانى يمثل الكترون له للف مغزلى اسفل) اما الصفين الثالث والرابع تمثل الالكترون المضاد (حيث الصف الثالث يمثل الكترون مضاد له لف اسفل بينما الصف الرابع يمثل الكترون مضاد له للف اعلى)

والله اعلم

[رشوان محمود]

اشكرك اخي الصادق علي ما قدمته من معلومات

اذا سمحت لي بتوضيح الجملة المقتبسة الاتيه


اللف المغزلى للفيرميونات غير معرف كلاسيكياً وانما يظهر اللف المغزلى فقط فى حالة تمديد الفضاء من ثلاثة ابعاد مكانية الى فضاء زمنكانى به اربع ابعاد وفى هذه الحالة تصبح الدالة الموجية عبارة عن متجه رباعى الابعاد يسمى بال spinor

ولكل جزيل الشكر

[الصادق]

تحياتى اخى رشوان
اقصد بتمديد الفضاء ان نتعامل مع الزمن كاحد الابعاد الاساسية اى كما تعلم اننا فى ميكانيكا الكم نعرف مؤثر لمتجه كمية الحركة و مؤثر للطاقة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\hat{\vec{P}}=-i\hbar\vec{\nabla},%20\qquad%20\hat {E}=i\hbar\frac{\partial}{\partial% 20t}\\

ثم نعوض فى تعريف الطاقة الكلية فى الميكانيكا غير النسبوية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20E=\frac{P^2}{2m}+V \\

لنحصل على معادلة شرودنجر

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20i\hbar\frac{\parti al}{\partial%20t}\psi(t,\vec{x})=-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2\psi(t,\v ec{x})+V\psi(t,\vec{x})

اذن فان معادلة شرودنجر بطبيعتها غير نسبوية لاننا لم نتعامل مع الزمن و الفضاء المكانى على قدمى المساوة (اى كسرنا تماثل لورنتز) ولم نأخذ فى الحسبان حركة الجسيمات السريعة جداً التى تقترب من الضوء والتى تقتضى بالضرورة تحويلات لورنتز وتكافؤ بين الكتلة الى طاقة

عند التمديد الى اربعة ابعاد زمنكانية فاننا نعرف كمية حركة رباعية على النحو


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P^{\mu}=(P^0,P^1,P ^2,P^3)=\Big(\frac{E}{c},P_x,P_y,P_ z\Big)

وهكذا فان مربع كمية الحركة الرباعية يجب ان يكون لا متغيراً تحت تأثير تحويل لورنتز

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\sum_{\mu=0}^{3}P^ {\mu}P_{\mu}=\frac{E^2}{c^2}-\vec{P}^2=m_0^2c^2

الان نستطيع ان نعرف مؤثر كمية حركة رباعى الابعاد بالصورة التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\hat{P}_{\mu}=i\hb ar%20\frac{\partial}{\partial%20x^{ \mu}}=i\hbar\partial_{\mu}


والان طالما اصبحت لدينا مؤثرات نسبوية فاننا سوف نعوض فى معادلة الطاقة النسبوية اى فى


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\sum_{\mu=0}^{3}\h at{P}^{\mu}\hat{P}_{\mu}=\frac{\hat {E}^2}{c^2}-\hat{\vec{P}}^2=m_0^2c^2

وبعد تعويض مؤثر كمية الحركة الرباعية الابعاد سوف نحصل على معادلة كلين-غوردون

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\left[\sum_{\mu=0}^{3}\partial_{\mu}\part ial^{\mu}+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\ right]\Phi(x^{\mu})=0

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\left[\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\par tial%20t^2}-\nabla^2+\frac{m_0^2c^2}{\hbar^2}\r ight]\Phi(x^{\mu})=0

ولكن على الرغم من هذه المعادلة نسبوية الا انها تعطى مربع الطاقة لذا فان هناك امكانية للحصول على طاقة سالبة اى الحصول كمياً على احتمالات سالبة وهذا شئ غير مرغوب فيه مطلقا. على العموم قد اتضح فيما بعد ان هذه المعادلة تصف جسيمات قياسية ليس لها لف مغزلى اى ان لها spin=0

يتبع ....

[الصادق]

فى بحثه عن معادلة كمية نسبوية , قام ديراك بملاحظة ان معادلة كلين-غوردون هى معادلة من الدرجة الثانية لذا قام بافتراض وجود معادلة من الدرجة الاولى (فيها تفاضل من الدرجة الاولى فى الزمن و تفاضلات من الدرجة الاولى فى الفضاء المكانى ) واذ ما تم تربيع هذه المعادلة سوف نحصل على معادلة كلين-غوردون

حيث افترض ان موثر الهملتونيان دالة خطية فى مؤثرات كميات الحركة
http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20i\hbar\frac{\part ial%20\Psi}{\partial%20t}=-i\hbar%20c\left[\alpha_1\frac{\partial%20\Psi}{\par tial%20x^1}+\alpha_2\frac{\partial% 20\Psi}{\partial%20x^2}+\alpha_3\fr ac{\partial%20\Psi}{\partial%20x^3} \right]+\beta%20m_0c^2\Psi=H\Psi


حيث المعاملات http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\alpha_1,%20\alph a_2,%20\alpha_3 هى ثوابت غير معلومة الان. ولكن اذا ربعنا المعادلة السابقة فنحن نتوقع انها سوف تساوى معادلة كلين-غوردون وهكذا نستطيع تحديد قيم هذه المعاملات من الشروط التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20\alpha_i\alph a_j+\alpha_j\alpha_i=2\delta_{ij}%2 0\\%20\\\alpha_i\beta+\beta%20\alph a_i=0\\%20\\\alpha_i^2=\beta^2=1


وهكذا لا يمكن ان تكون هذه المعاملات عبارة عن ارقام صرفة بل يجب ان تكون مصفوفات حتى تتحقق الشروط اعلاه

الان نقوم بضرب المعادلة الثانية من جهة اليسار فى بيتا لنحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\beta\alpha_i\beta +\beta^2%20\alpha_i=0

ولكن من المعادلة فى السطر الثالث نعلم ان مربع بيتا يساوى واحد (مصفوفة الوحدة) وهكذا يكون لدينا

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\beta\alpha_i\beta =-%20\alpha_i

الان بأخذ حاصل جمع عناصر القطر الرئيسى (Trace) للمعادلة الاخيرة نجد ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20Tr\alpha_i=-Tr(\beta\alpha_i\beta)=-Tr(\alpha_i)

مما يعنى ان مجموع عناصر القطر الرئيسى diagonal فى الفا يساوى صفر و لما كان مربع الفا يساوى مصفوفة الوحدة unit matrix فيجب ان تكون القيم الذاتية eigenvalues لالفا تساوى اما 1 او -1 وهكذا يستحيل ان يساوى مجموع عناصر القطر الرئيسى صفراً الا اذا كانت المصفوفة الفا مصفوفة مربعة من رتبة زوجية 2 او 4 او ....
نفس الامر سوف ينطبق على المصفوفة بيتا (وهذا واضح اذ ما قمنا بضرب المعادلة فى السطر الثانى من جهة اليسار فى الفا بدلاً عن بيتا)

ولكن المصفوفات التى لها رتبة ثانية (صفين فى عمودين) وتحقق اللا تبادلية noncommutativity (ظهور اللاتبادلية يعنى اننا نتحدث عن فيرميونات) هى مصفوفات باولى ولكن عدد هذه المصفوفات يساوى 3 مصفوفات واذا اضفنا لها مصفوفة الوحدة فان العدد سوف يصبح اربعة مصفوفات ولكن المشكلة تكمن فى انه لايمكن ان يكون حاصل جمع عناصر القطر الرئيسى لمصفوفة الوحدة ان يساوى صفراً. وهكذا يصبح لدينا احتمال فى ان تكون رتبة المصفوفات الفا و بيتا تساوى اربعة.

ووجد انها تعطى ب


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20\alpha_1=\beg in{pmatrix}0%20&%200%20&0%20%20&1%20\\%200%20&%200%20&%201%20&%200\\%200%20&%201%20&%200%20&%200\\%20%201&%200%20&%200%20&%200\end{pmatrix},%20\quad%20\alpha _2=\begin{pmatrix}0%20&%200%20&0%20%20&-i%20\\%200%20&%200%20&%20i%20&%200\\%200%20&%20-i%20&%200%20&%200\\%20%20i&%200%20&%200%20&%200\end{pmatrix}%20\\%20\\%20\\%20 \\%20\alpha_3=\begin{pmatrix}0%20&%200%20&1%20%20&0%20\\%200%20&%200%20&%200%20&%20-1\\%201%20&%200%20&%200%20&%200\\%20%200&%20-1%20&%200%20&%200\end{pmatrix},%20\quad%20\beta= \begin{pmatrix}1%20&%200%20&%200%20&%200\\%200%20&%201%20&%200%20&%200\\%200%20&%200%20&%20-1%20&%200\\%200%20&%200%20&%200%20&%20-1\end{pmatrix}

اى انها مصفوفات عناصرها مصفوفات باولى ( وهذا هو السبب فى ان معادلة ديراك تصف فيرميونات لها اسبين يساوى النصف ) وهكذا طالما ان الفا وبيتا يجب ان تضرب فى الدالة الموجية فهذا يعنى ان الدالة الموجية عبارة مصفوفة عمود بها اربعة صفوف (Spinor)

ملخص ما سبق: عندما تعاملنا مع الزمن كمعامل مستقل عن ابعاد الفضاء (لم نهتم بتماثل لورنتز) حصلنا على معادلة شرودنجر وهى معادلة غير نسبوية ليس للف المغزلى مكان فيها.
وعندما قمنا بجعل الزمن كبعد فى الزمنكان حافظنا على تحويل لورنتز و حصلنا على معادلة كلين-غوردون وهى معادلة نسبوية تصف بوزونات ليس لها لف مغزلى
وعندما افترضنا ان الهملتونيان دالة خطية فى مؤثرات كميات الحركة وجدنا ان معادلات التناسب هذه مع بيتا تحقق علاقات لاتبادلية ( وهى مصفوفات عناصرها مصفوفات باولى الثلاثة ومصفوفة الوحدة) مما يشير الى ان الجسيمات الموصوفة هى فيرميونات لها للف مغزلى زائد او ناقص نصف

ولما كانت الدالة الموجية تظهر يمين هذه المعاملات (مصفوفات من النظام 4 فى 4) فيجب ان تكون الدالة الموجية عبارة عن مصفوفة بها عمود واحد و 4 صفوف وهى ما نسميه بال Spinor فى الفيزياء


ملاحظة :
من الممكن ايضاً ان نحصل على اللف المغزلى من معادلة باولى وهى معادلة تقريبية من معادلة ديراك عند افتراض سرعات صغيرة و عند اقتران الالكترون بحقل كهرومغنطيسى. واتوقع ان تكون هذه المعادلة بالضبط هى التى قابلت الاخ فيزيائي عصره فى مسألة ذرة الهيدروجين.



والله اعلم

[فيزيائي عصره]

السلام عليكم
يمكن أنا لم أوضح السؤال جيدا ياأستاذ رشوان لكن أخي الصادق كفى ووفى في شرح الإجابه وأثابكما الله وجعلها في ميزان حسناتكم
وشكرا لكم

[رشوان محمود]

اشكرك جزيل الشكر اخي الصادق على ما قدمته من معلومات والتذكير بمعادلة ديراك

فرضت طريقة شرحك اعجابي بها مما يدفعني للسؤال - اذا سمحت لي - عن معنى الفقرة المقتبسة الاتيه :


دوال موجية يسمى بالاسبينر فيه الصفين الاول والثانى تمثل الالكترون (حيث الصف الاول يمثل الكنرون له للف مغزلى اعلى بينما الصف الثانى يمثل الكترون له للف مغزلى اسفل) اما الصفين الثالث والرابع تمثل الالكترون المضاد (حيث الصف الثالث يمثل الكترون مضاد له لف اسفل بينما الصف الرابع يمثل الكترون مضاد له للف اعلى)

[الصادق]

السلام عليكم اخى رشوان

لكى تتوضح الجملة المقتبسة دعنا اولا نوجد حل معادلة ديراك. ومن اجل التبسيط سوف نوجد حل معادلة ديراك فى اطار السكون (الحل العام ماهو الا دفع boost منظومة السكون الى اطار متحرك)
قلنا ان معادلة ديراك نعطى ب (هناك صيغة افضل من هذه الصيغة )

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20i\hbar\frac{\part ial%20\Psi}{\partial%20t}=-i\hbar%20c\left[\alpha_1\frac{\partial%20\Psi}{\par tial%20x^1}+\alpha_2\frac{\partial% 20\Psi}{\partial%20x^2}+\alpha_3\fr ac{\partial%20\Psi}{\partial%20x^3} \right]+\beta%20m_0c^2\Psi=H\Psi

و لما كانت التفاضلات بالنسبة ل x_1 و x_2 و x_3 (طبعا بعد ضربها فى سالب i hbar) تعطى كمية حركة الجسيم وكنا نحن نتحدث عن اطار السكون فسوف نضعها مساوية للصفر اى ان القيم الذاتية لكمية التحرك فى اطار السكون تساوى صفراً) وهكذا تأخذ معادلة ديراك فى مناط السكون الصورة التالية:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20i\hbar\frac{\part ial%20\Psi}{\partial%20t}=\beta%20m _0c^2\Psi

قلنا ان الدالة الموجية عبارة عن مصفوفة عمود بها اربعة صفوف والسبب هو ان المعاملات الفا و بيتا عبارة عن مصفوفات من النظام 4x4

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\Psi=\begin{pmatri x}\Psi^1\\%20\Psi^2\\%20\Psi^3\\%20 \Psi^4\end{pmatrix}

الان بتعويض الدالة الموجية وقيمة المصفوفة بيتا فى معادلة ديراك فى مناط السكون سوف نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\begin{pmatrix}i\ hbar%20\frac{\partial\Psi^1}{\parti al%20t}\\%20i\hbar%20\frac{\partial \Psi^2}{\partial%20t}\\%20i\hbar%20 \frac{\partial\Psi^3}{\partial%20t} \\%20i\hbar%20\frac{\partial\Psi^4} {\partial%20t}\end{pmatrix}=m_0c^2\ begin{pmatrix}1%20&0%20%20&0%20%20&%200\\%20%200&%201%20&%200%20&%200\\%200%20&%200%20&-1%20%20&%200\\%200%20&%200%20&%200%20&%20-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\Psi^1 \\%20\Psi^2\\%20\Psi^3\\%20\Psi^4\e nd{pmatrix}%20=\begin{pmatrix}m_0c^ 2\Psi^1\\%20m_0c^2\Psi^2\\%20-m_0c^2\Psi^3\\%20-m_0c^2\Psi^4\end{pmatrix}

الان نلاحظ انه لدينا اربعة معادلة تفاضلية من الدرجة الاولى فى الزمن وهى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\i\hbar%20\frac{\ partial\Psi^1}{\partial%20t}=m_0c^2 \Psi^1%20\\%20\\\\i\hbar%20\frac{\p artial\Psi^2}{\partial%20t}=m_0c^2\ Psi^2%20\\%20\\\\i\hbar%20\frac{\pa rtial\Psi^3}{\partial%20t}=-m_0c^2\Psi^3%20\\%20\\\\i\hbar%20\f rac{\partial\Psi^4}{\partial%20t}=-m_0c^2\Psi^4%20\\

وهكذا تلاحظ معى ان المعادلتين الاولى والثانية لهما قيمة طاقة ذاتية موجبة بينما المعادلتين الثالثة والرابعة لهما قيمة طاقة ذاتية سالبة

بحل هذه المعادلات (مباشرة بفصل المتغيرات) سوف نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20\Psi^1=e^{-\frac{i}{\hbar}m_0c^2t}\begin{pmatr ix}1\\%200\\%200\\%200\end{pmatrix} %20\\%20\\%20\\%20%20\Psi^2=e^{-\frac{i}{\hbar}m_0c^2t}\begin{pmatr ix}0\\%201\\%200\\%200\end{pmatrix} \\%20\\%20\\%20\Psi^3=e^{+\frac{i}{ \hbar}m_0c^2t}\begin{pmatrix}0\\%20 0\\%201\\%200\end{pmatrix}%20\\%20\ \%20\\%20\Psi^4=e^{+\frac{i}{\hbar} m_0c^2t}\begin{pmatrix}0\\%200\\%20 0\\%201\end{pmatrix}\\%20\\

والان تلاحظ معى ان الحلين الاول والثانى يحملان طاقة موجبة وبالتالى هما يمثلان الجسيم (الالكترون) وواضح بان الحل الاول له للف مغزلى اعلى spin up بينما ان الثانى له للف مغزلى اسفل spin down
اما الحلين الثالث والربع فلهما قيمة طاقة ذاتية سالبة لذا فهما يمثلان الجسيم المضاد (الالكترون المضاد) وكما تعلم عندما يكون الجسيم له spin up فان جسيمه المضاد له spin down لذا فان الصف الثالث يمثل جسيم مضاد له لف اسفل spin down وبنفس الطريقة فان الصف الرابع يمثل جسيم مضاد له لف مغزلى اعلى
وهذا ما كنت اقصده فى الجملة المقبسة

والله اعلم

[رشوان محمود]

مرة اخرى اشكرك جزيل الشكر ولك مني اجمل وأرق تحية

[الصادق]

لك الشكر و التقدير اخى رشوان

[علاء خياط]

شكرا على الحوار الراائع والمفيد


ومشكور اخي الصادق على هذه المعلومات المفيدة


تحياتي

[شكري عبدالله]

عفوا دكتور /احمد طلب مني ايجاد مقارنة لدراسة جسيم في حقلين مغناطيسي وكهربي لكل من شرودنجر و كلين فرجاءي الخاص ابغى افهم الموضوع ومن اين ابدا . اسال الله ان يجعل ذلك في ميزان حسناتك

[شكري عبدالله]

برجاء الرد بسرعه من الجميع مع خالص شكري