اريد اثبات associated Legendre polynomial

[زهرة بوك]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته...



ارغب في اثبات معادلة لاجندر

تسلسلت في حل associated Legendre polynomial
ارغب منكم مساعدتي في اثبات هذه العلاقة؟؟؟

Pl-m(x)= (-1)m ( (L+m)!/(L-m)!) PLm(x)


وجزاكم الله خيرا

[الصادق]

السلام عليكم زهرة بوك

كثيرة حدود Polynomial لجندر هى كثيرة حدود تحقق معادلة لجندر التفاضلية وتولدها دالة f تُعرف على ب

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20f(x,v)=\frac{1}{\ sqrt{1-2vx+v^2}}=\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x) v^n%20\qquad%20(1)

بحيث ان v قيمة مطلقة اصغر من الواحد الصحيح. و http://www.codecogs.com/eq.latex?P_n(x) هى عبارة عن كثيرة حدود لجندر

دعينا الان نحاول ان نستخلص بعض المعلومات عن كثيرة حدود لجندر من هذه الدالة المولدة f
ومن اجل هذا الغرض فلنفاضل الدالة f بالنسبة للمتغير v لنحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{\partial}{\ partial%20v}f(x,v)=\frac{x-v}{(1-2xv+v^2)^{\frac{3}{2}}}

وايضا اذا فاضلنا طرف الايمن من المعادلة (1) سوف نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{\partial}{\ partial%20v}f(x,v)=\sum_{n=0}^{\inf ty}nP_n(x)v^{n-1}

وهكذا نجد من المعادلتين الاخيرتين ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{x-v}{(1-2xv+v^2)^{\frac{3}{2}}}=\sum_{n=0}^ {\infty}nP_n(x)v^{n-1}

واذا استخدمنا المعادلة (1) يمكننا اعادة كتابة الحد على الطرف الايسر من هذه العلاقة بدلالة تعريف الدالة المولدة (لاحظى ان 1 مقسومة على الجزر التربيعى ما هى الا الدالة المولدة f )

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{(x-v)}{(1-2xv+v^2)}}f(x,v)=\sum_{n=0}^{\infty }nP_n(x)v^{n-1}

ولكن الدالة المولدة تُكتب بدلالة التجميع على كثيرة حدود لجندر (انظرى الى التعريف فى المعادلة (1))
اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{(x-v)}{(1-2xv+v^2)}}\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x) v^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{ n-1}

بعد ترتيب المعادلة الاخيرة سوف نحصل على الشكل التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(1-2xv+v^2)\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v ^{n-1}+(v-x)\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n}=0% 20\qquad%20(2)

يتبع.....

[الصادق]

الان قومى بتوزيع عملية الضرب فى المعادلة (2) لتحصلى على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x) v^{n-1}-2x\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n}+\ sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n+1}\\+ \sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n+1}-x\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n}=0

لكى نقارن المعاملات فى هذه المعادلة يجب علينا ان نوحد القوى الاسية فى اى حد من حدود المعادلة وهكذا تلاحظين ان v فى الحد الاول مرفوعة للقوى n-1 لذلك قومى باستبدال اى n ب n+1

الحد الاول

http://www.codecogs.com/eq.latex?\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x) v^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)P_{n+1}( x)v^{n}

لاتوجد مشكلة فى الحد الثانى والحد الخامس لان قوة الاسية لv هى n .اما فى الحد الثالث والحد الرابع نجد ان v مرفوعة للقوة n+1 ولذلك يجب ان تستبدلى اى n فى هذه الحدود ب n-1

الحد الثالث

http://www.codecogs.com/eq.latex?\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x) v^{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}(n-1)P_{n-1}(x)v^{n}

الحد الرابع

http://www.codecogs.com/eq.latex?\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v ^{n+1}=\sum_{n=0}^{\infty}P_{n-1}(x)v^{n}

وهكذا تصبح المعادلة فى الاعلى بعد استبدال التجميعات فى الحد الاول والثالث والرابع متخذة الشكل التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)P_ {n+1}(x)v^{n}-2x\sum_{n=0}^{\infty}nP_n(x)v^{n}+\ sum_{n=0}^{\infty}(n-1)P_{n-1}(x)v^{n}\\+\sum_{n=0}^{\infty}P_{ n-1}(x)v^{n}-x\sum_{n=0}^{\infty}P_n(x)v^{n}=0

قم باستخراج عامل مشترك http://www.codecogs.com/eq.latex?v^n واكتبى المعادلة برمز تجميع واحد لتحصلى على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\sum_{n=0}^{\infty}\Bigg(( n+1)P_{n+1}(x)-2xnP_n(x)+(n-1)P_{n-1}(x)+P_{n-1}(x)-xP_n(x)\Bigg)v^{n}=\\0

ولما كانت v صفرا فان جميج معاملات المضروبة فى v يجب ان تساوى الصفر اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(n+1)P_{n+1}(x)-(2n+1)xP_n(x)+nP_{n-1}(x)=0%20\qquad%20(3)

لاحظى اننا قمنا بجمع الحدين الثالث والرابع ,والحدين الثانى والخامس . وهذه المعادلة مهمة جدا وهى تعرف بالمعادلة التكرارية

يتبع....

[الصادق]

لاحظى من المعادلة الاولى اننا لانستطيع ايجاد جميع حدود مفكوك الجزر الربيعى لان عملية ايجاد المفكوك تكون معقدة بعض الشئ ولكن من الواضح ان اول حد فى المفكوك هو 1 اى اننا بالنظر فقط للمعادلة (1) نستطيع ان نقول

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20P_0(x)=1%20\qquad %20(4)

والان ياتى الدور الذى تلعبه المعادلة (3) , فاذا عوضنا n تساوى صفر فى المعادلة 3 نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\P_1(x)-xP_0(x)=0\rightarrow%20P_1(x)=xP_0( x)\\P_1(x)=x%20\qquad%20(5)

حيث استخدمنا المعادلة (4).

الان قومى بتعويض n تساوى 1 فى المعادلة (3) لتحصلى على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%202P_2(x)-3xP_1(x)+P_0(x)=0

وباستخدام المعادلات (4) و (5) نجد ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20P_2(x)=\frac{3}{2 }x^2-\frac{1}{2}\qquad%20(6)

وهكذا اذا عوضتى n تساوى 2 فى المعادلة (3) فانك تستطيعين ايجاد http://www.codecogs.com/eq.latex?P_3(x)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20P_3(x)=\frac{5}{2 }x^3-\frac{3}{2}x\qquad%20(7)
وبالاستمرار بهذه الطريقة فاننا نستطيع ايجاد اى رتبة من رتب كثيرة حدود لجندر وهذا هو مكمن قوة واهمية المعادلة (3)

يتبع.....

[الصادق]

هناك علاقة مهمة تعرف بصيغة Rodrigues , حيث اذا قمنا بايجاد مفكوك المعادلة (1) وقارنا معاملات v للقوى الاسية المختلفة فاننا سوف نحصل على صيغة رودريقيس التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_n(x)=\frac{1}{2^ n%20n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2-1)^n\qquad%20(8)

لاحظى عند n=0 فان التفاضل يختفى ونحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_0(x)=\frac{1}{2^ 0%200!}\frac{d^0}{dx^0}(x^2-1)^0=1
وهذه النتيجة تتفق تماما مع المعادلة (4)

وعند n=1 فاننا نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_1(x)=\frac{1}{2^ 1%201!}\frac{d}{dx}(x^2-1)^1=\frac{1}{2}(2x)=x

وهى نفس النتيجة التى تحصلنا عليها فى المعادلة (5)

عند n=2 نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\P_2(x)=\frac{1} {2^2%202!}\frac{d^2}{dx^2}(x^2-1)^2=\frac{1}{8}\frac{d}{dx}(4x^3-4x))\\%20\\P_2(x)=\frac{1}{2}(3x^2-1)=\frac{3}{2}x^2-\frac{1}{2}

وهذه هى نفس النتيجة التى تحصلنا عليها فى المعادلة (6). وهكذا اذا باستخدم التفاضل فقط نستطيع ايجاد اى رتبة من رتب كثيرة حدود لجندر

يتبع.....

[الصادق]

صيغة معادلة لجندر

معادلة لجندر هى عبارة عن معادلة تفاضلية من الدرجة الثانية وتعطى بالصورة التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0%20\qquad% 20(9)

ولما كانت كثيرة حدود لجندر هى حل لمعادلة لجندر فانه يمكننا كتابة معادلة لجندر على النحو التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}-2x\frac{dP_n(x)}{dx}+n(n+1)P_n(x)=0 %20\qquad%20(10)

اما معادلة لجندر المرتبطة Associated فهى المعادلة التى تعرف بالشكل التالى


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(1-x^2)\frac{d^2y}{dx^2}-2x\frac{dy}{dx}+\Bigg(n(n+1)-\frac{m^2}{(1-x^2)}\Bigg)y=0%20\qquad%20(11)

لاحظى انه عند m=0 فان معادلة لجندر المرتبطة تؤول الى معادلة لجندر الاعتيادية و هكذا توجد كثيرات حدود لجندر مرتبطة تمثل حلا للمعادلة (11) بحيث ان كثيرات حدود لجندر التى تحدثنا عنها فى المشاركات السابقة تمثل حالة خاصة من كثيرات حدود لجندر المرتبطة وذلك عند m=0 اى انه توجد http://www.codecogs.com/eq.latex?P_n^m(x) وتسمى كثيرات حدود لجندر المرتبطة وهى تمثل حل لمعادلة لجندر المرتبطة (11) اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?(1-x^2)\frac{d^2P^m_n(x)}{dx^2}-2x\frac{dP^m_n(x)}{dx}+\Big(n(n+1)-\frac{m^2}{(1-x^2)}\Big)P^m_n(x)=0%20\qquad%20(12 )

يتبع....

[الصادق]

الان نريد ايجاد الية رياضية تمكننا من تفاضل حاصل ضرب داللتين http://www.codecogs.com/eq.latex?F(x) و http://www.codecogs.com/eq.latex?G(x)

نعلم ان تفاضل حاصل ضرب داللتين يُعطى من قاعدة لايبنز التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d}{dx}F(x)G (x)=\frac{dF}{dx}G+F\frac{dG}{dx}

الان دعينا نوجد التفاضل الثانى لحصل ضرب الدالتين اى نريد ايجاد تفاضل العلاقة الاخيرة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^2}{dx^2}F (x)G(x)=\frac{d^2F}{dx^2}G+2\frac{d F}{dx}\frac{dG}{dx}+F\frac{d^2G}{dx ^2}

اما التفاضل الثالث لحاصل ضرب الداللتين فهو عبارة عن تفاضل العلاقة الاخيرة اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^3}{dx^3}F (x)G(x)=\frac{d^3F}{dx^3}G+3\frac{d ^2F}{dx^2}\frac{dG}{dx}+3\frac{dF}{ dx}\frac{d^2G}{dx^2}+\frac{d^3G}{dx ^3}

وهكذا يمكننا استخدام الاستقراء الرياضى لايجاد التفاضل النونى لحاصل ضرب الداللتين

لاحظى ان التفاضل الاول يمكن كتابته على النحو

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d}{dx} F(x)G(x)=C^1_0\frac{d^1F(x)}{dx^1}\ frac{d^0G(x)}{dx^0}+C^1_1\frac{d^0F (x)}{dx^0}\frac{d^1G(x)}{dx^1}\\\fr ac{d}{dx}F(x)G(x)=\sum_{s=0}^{1}C_s ^1\frac{d^{1-s}}{dx^{1-s}}F(x)\frac{d^s}{dx^s}G(x)

حيث C هى التوفيقة .

اما التفاضل الثانى فيمكن كتابته على النحو التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^2}{d x^2}F(x)G(x)=C^2_0\frac{d^2F(x)}{dx ^2}\frac{d^0G(x)}{dx^0}+C^2_1\frac{ d^1F}{dx^1}\frac{d^1G}{dx^1}%20+C^2 _2\frac{d^0F(x)}{dx^0}\frac{d^2G(x) }{dx^2}\\\frac{d^2}{dx^2}F(x)G(x)=\ sum_{s=0}^{2}C_s^2\frac{d^{2-s}}{dx^{2-s}}F(x)\frac{d^s}{dx^s}G(x)

اما المشتقة الثالثة فنستطيع كتابتها على بالصورة التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^3}{d x^3}F(x)G(x)=C^3_0\frac{d^3F(x)}{dx ^3}\frac{d^0G(x)}{dx^0}+C^3_1\frac{ d^2F}{dx^2}\frac{d^1G}{dx^1}+C^3_2\ frac{d^1F}{dx^1}\frac{d^2G}{dx^2}%2 0+C^3_3\frac{d^0F(x)}{dx^0}\frac{d^ 3G(x)}{dx^3}\\\frac{d^3}{dx^3}F(x)G (x)=\sum_{s=0}^{3}C_s^3\frac{d^{3-s}}{dx^{3-s}}F(x)\frac{d^s}{dx^s}G(x)


وهكذا نستنتج ان المشتقة النونية تعطى ب

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^n}{dx^n}F (x)G(x)=\sum_{s=0}^{n}C_s^n\frac{d^ {n-s}}{dx^{n-s}}F(x)\frac{d^s}{dx^s}G(x)\qquad%2 0(13)

اما المشتقة رقم n+1 فهى تفاضل المشتقة النونية والعلاقة صحيحة للمشتقة n+1 وهذا يبرهن صحة الاستقراء
تسمى العلاقة (13) بقاعدة تفاضل لايبنز

تعرف التوفيقة بانها عدد طرق اختيار s من n وتعطى ب

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20C^n_s=\frac{n!}{( n-s)!s!}
يتبع........

[الصادق]

بالرجوع للمعادلة (10)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}-2x\frac{dP_n(x)}{dx}+n(n+1)P_n(x)=0 %20\qquad%20(10)

دعينا نفاضل هذه المعادلة m مرة . لاحظى ان اول حد فى الطرف الايسر للمعادلة عبارة عن ضرب دالتين لذا سوف نستخدم قاعدة افاضل ليبنز

http://www.codecogs.com/eq.latex?\\%20\frac{d^m}{dx^m}(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}=C^m_0\fr ac{d^0}{dx^0}(1-x^2)\frac{d^m}{dx^m}\Bigg(\frac{d^2 P_n(x)}{dx^2}\Bigg)+C^m_1\frac{d^1} {dx^1}(1-x^2)\frac{d^{m-1}}{dx^{m-1}}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Big g)+C^m_2\frac{d^2}{dx^2}(1-x^2)\frac{d^{m-2}}{dx^{m-2}}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Big g)+C^m_3\frac{d^3}{dx^2}(1-x^2)\frac{d^{m-3}}{dx^{m-3}}\Bigg(\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}\Big g)+...

بعد اجراء التفاضلات سوف تحصلين على الشكل التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\\%20\frac{d^m}{dx^m}(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}=(1-x^2)\frac{d^2}{dx^2}\Bigg(\frac{d^m P_n(x)}{dx^m}\Bigg)-2\frac{m!}{(m-1)!1!}x\frac{d}{dx}}\Bigg(\frac{d^m P_n(x)}{dx^m}\Bigg)-2\frac{m!}{(m-2)!2!}\Bigg(\frac{d^mP_n(x)}{dx^m}\ Bigg)+0

لاحظى ان جميع الحدود التى تحتوى على المشتقة الثاتلثة او التى اكبر منها فى الحد الاول تساوى صفرا, ومن اجل اختصار الكتابة سوف اسمى الحد داخل القوسين u . وبعد فك التوافيقيات سوف تحصلين على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\\%20\frac{d^m}{dx^m}(1-x^2)\frac{d^2P_n(x)}{dx^2}=(1-x^2)\frac{d^2u}{dx^2}-2mx\frac{du}{dx}}-2m(m-1)u

حيث ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20u=\frac{d^m}{dx^m }P_n(x)\qquad%20(14)

بتكرار نفس الخطوات السابقة نجد ان المشتقة رقم m للحد الثانى فى الطرف الايمن من المعادلة (10) هى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^m}{dx^m}\ Bigg(2x\frac{dP_n(x)}{dx}\Bigg)=2x\ frac{du}{dx}+2mu

اما المشتقة رقم m للحد الاخير فى المعادلة (10) فهى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^m}{dx^m}\ Bigg(n(n+1)P_n(x)\Bigg)=n(n+1)u

وهكذا تكون المشتقة رقم m للمعادلة (10) (فقط اجمعى الحدود الثلاث السابقة التى تمت مفاضلاتها

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(1-x^2)\frac{d^2u}{dx^2}-2x(m+1)\frac{du}{dx}+\Big(n(n+1)-2m\Big)\qquad%20(15)

الان دعنا نعرف دالة اخرى v بالنحو التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20v(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}u(x)\qquad%20(16)

وهكذا نجد ان المشتقة الاولى ل u بدلالة v هى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\frac{du}{dx}=\Big g[\frac{dv}{dx}-\frac{mxv}{(1-x^2)}\Bigg](1-x^2)^{\frac{-m}{2}}

اما المشتقة الثانية ل u فتعطى ب

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^2u}{dx^2} =\Bigg[\frac{d^2v}{dx^2}-\frac{2mx}{(1-x^2)}\frac{dv}{dx}+\frac{mv}{(1-x^2)}+\frac{m(m+1)x^2v}{(1-x^2)^2}\Bigg](1-x^2)^{\frac{-m}{2}}

بتعويض هذه المشتقات فى المعادلة (15) سوف تحصلين على المعادلة التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(1-x^2)\frac{d^2v}{dx^2}-2x\frac{dv}{dx}+\Bigg(n(n+1)-\frac{m^2}{(1-x^2)}\Bigg)v=0%20\qquad%20

وهذه هى بالضبط المعادلة لجندر المرتبطة (11) وهكذا تكون v هى حل معادلة لجندر المرتبطة اى انها تمثل كثيرة حدود لجندر المرتبطة (انظرى الى المعادلة (12)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_n^m(x)=v

ولكن من المعادلة (16) نجد ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_n^m(x)=v=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}u(x)

وهكذا لو رجعتى لتعريف u الموجود فى المعادلة (14)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_n^m(x)=(1-x^2)^{\frac{m}{2}}\frac{d^m}{dx^m}P _n(x)\qquad%20(17)

ولو استخدمتى صيغة رودريقيس فى المعادلة (8) فسوف تحصلين على الشكل النهائى لكثيرات حدود لجندر المرتبطة , والذى هو

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_n^m(x)=\frac{(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^n%20n!}\frac{ d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n\qquad%20(18)


يتبع.....

[زهرة بوك]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته...

حياك الله الاخ الصادق ..

اشكر لكم جهودكم وتفاعلكم الرائع ...

لكن اود توضيح ماصعب علي ايجاده في هذه العلاقة وارجو منكم توضيحها لي؟؟

بالنسبة لاثبات associated Legendre polynomial

لكني لم استطيع الوصول الى العلاقة
Pl-m(x)= (-1)m ( (L-m)!/(L+m)!) PLm(x)


والذي لم استطيع الوصول له هو التالي:
1. الـ Factor (-1)m؟؟؟
2. وتطبيق قاعدة لبينز على التفاضل dl-m/ dxl-m(x+1)l(x-1)l
3. وكيف اوجد ( (L-m)!/(L+m)!)?? بمبدأ التوافيق!!
4. اريد تفسيرا ببراهين على النقاط السابقة بارك الله فيكم ونفع بكم ...

وجزاكم الله خيرا

[زهرة بوك]

وللتوضيح اكثر انا بدأت عند اثباتي للعلاقة


من اخرنقطة وصلت لها ياأخ الصادق في معادلة رقم 18 فلو توضحون لي كيف اصل الى الصورة النهائية

الله ييسر امركم ويبارك فيكم...

[الصادق]

وللتوضيح اكثر انا بدأت عند اثباتي للعلاقة


من اخرنقطة وصلت لها ياأخ الصادق في معادلة رقم 18 فلو توضحون لي كيف اصل الى الصورة النهائية

الله ييسر امركم ويبارك فيكم...

لم اكن اعرف انك وصلتى الى تلك النقطة لذا بداءت الحل من نقطة الصفر معتمدا على صيغة السؤال اريد اثبات Associated Legendre Polynomials , كان ذلك سوف يوفر علينا الكثير من الوقت لو بداءنا من عند المعادلة (18) ولكن قدر الله ومشاء الله فعل.

[الصادق]

نبدأ الان من عند المعادلة (18)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_n^m(x)=\frac{(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^n%20n!}\frac{ d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n\qquad%20(18)

قومى بتحليل فرق المربعين لكى نتخلص من تفاضل الدالة الضمنية (دالة الدالة) الذى يظهر حراء وجود التربيع فى x

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(x^2-1)^n=(x+1)^n(x-1)^n

الان نوجد المشتقة رقم m+n مستخدمين قاعدة لايبنز للتفاضل التى تمت برهنتها سابقا

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n=\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}\Bigg[(x+1)^n(x-1)^n\Bigg]%20\\=\sum_{s=0}^{n+m}C^{n+m}_s%20\ frac{d^{n+m-s}}{dx^{n+m-s}}(x+1)^n\frac{d^s}{dx^s}(x-1)^n\qquad%20(19)

لحساب هذه التفاضلات دعينا نوجد علاقة عامة تسهل علينا ايجاد اى مشتقة

مثال (1): احسب المشتقة الثالثة للدالة
http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20(x\pm1)^5
لعلك قد تستغربين سهولة هذا المثال ولكن سوف نستفيد منه جدا لاحقا

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^3}{d x^3}(x\pm1)^5=\frac{d^2}{dx^2}5(x\p m1)^4=\frac{d}{dx}5\times%204%20(x\ pm1)^3=5\times%204%20\times%203%20( x\pm1)^2\\%20\frac{d^3}{dx^3}(x\pm1 )^5=\frac{5\times%204%20\times%203% 20\times%202%20\times%201}{%202%20\ times%201}(x\pm1)^{5-3}=\frac{5!}{(5-3)!}(x\pm1)^{5-3}

وهكذا يمكننا تعميم هذه العلاقة لاى مشتقة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^r}{dx^r}( x\pm1)^n=\frac{n!}{(n-r)!}(x\pm1)^{n-r}%20\qquad%20(20)

الان نقوم بتطبيق العلاقة (20) على التفاضلات فى المعادلة (19) ولاحظى ان r فى التفاضل الاول تساوى m+n-s اما r فى التفاضل الثانى فهى تساوى s

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20\\=\sum_{s=0}^{n+m}C^{n+m}_s %20\frac{n!}{(n-(n+m-s))!}(x+1)^{n-(n+m-s)}\frac{n!}{(n-s)!}(x-1)^{n-s}\\=\sum_{s=0}^{n+m}C^{n+m}_s%20\f rac{n!}{(s-m)!}(x+1)^{s-m}\frac{n!}{(n-s)!}(x-1)^{n-s}%20\qquad%20(21)

لاحظى ان التوفيقة عموما تعطى من العلاقة التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20C^p_s=\frac{p!}{( p-s)!s!}

اما فى المعادلة اعلاه فان p تقابل n+m وهكذا نجد ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20C^{n+m}_s=\frac{( n+m)!}{(n+m-s)!s!}

الان بتعويض قيمة التوفيقة فى المعادلة (21) نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m) !(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad%20(22)

يتبع....

[الصادق]

لقد توصلنا الى العلاقة التى تعطى المشتقة رقم n+m فى المعادلة (22)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m) !(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad%20(22)

الان دعنا نرجع مرة اخرى الى المثال (1) ونستفيد منهه قدر الامكان, الان اذا ضلبنا ايجاد المشتقة الخامسة ماذا تكون النتيجة بالطبعط سوف نفاضل خمسة مرة لنصل الى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^5}{dx^5}( x\pm1)^5=5%20\times%204\times%203\t imes2%20\times%201%20(x\pm1)^{5-5}=5!

وهكذا تلاحظين ان النتيجة تمثل ثابتا والسبب هو ان رقم المشتقة يساوى القوى الاسية. الان نععلم ان المشتقة السلدسة والسابعة ..زالخ تساوى صفرا . وهكذا يجب ان يكون رقم المشتقة اقل او يساوى الاس حتى نحصل على نتيجة لا تساوى الصفر وعليه فان المشتقات فى المعادلة (22) تصبح غير صفرية فى حال ان الاسس بعد التفاضل تكون صفر او اكبر من الصفر (تكزكرى ان الاس بعد التفاضل فى حالة المشتقة الخامسة كان 5-5 اما فى المشتقة السادسة فسكون يكون سالبا ولكن توقفى او ليس انها تساوى صفرا لانها تمثل تفاضل ثابت5! )

وهكذا نستنتج ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20s-m\geq%200%20\qquad%20n-s%20\geq%200

اى ان s اكبر او تساوى m وعليه تكون اقل قيمة ل s هى m مما يعنى ان التجميع يبدأ من قيمة s=m وليس s=0

ونلاحظ ان s اقل او تساوى n وهكذا تكون اكبر قيمة لs هى n مما يعنى ان التجميع ينتهى عند s=n وليس s=m+n

,وهكذا يتغير التجميع فى المعادلة (22) ليصبح

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m) !(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad%20(23)
لاحظى طبعا اننا حتى الان نتعامل مع قيمة موجبة ل m

يتبع .....

[الصادق]

لقد توصلنا الى العلاقة التى تعطى المشتقة رقم n+m فى المعادلة (22)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m) !(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad%20(22)

الان دعنا نرجع مرة اخرى الى المثال (1) ونستفيد منهه قدر الامكان, الان اذا ضلبنا ايجاد المشتقة الخامسة ماذا تكون النتيجة بالطبعط سوف نفاضل خمسة مرة لنصل الى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^5}{dx^5}( x\pm1)^5=5%20\times%204\times%203\t imes2%20\times%201%20(x\pm1)^{5-5}=5!

وهكذا تلاحظين ان النتيجة تمثل ثابتا والسبب هو ان رقم المشتقة يساوى القوى الاسية. الان نععلم ان المشتقة السلدسة والسابعة ..زالخ تساوى صفرا . وهكذا يجب ان يكون رقم المشتقة اقل او يساوى الاس حتى نحصل على نتيجة لا تساوى الصفر وعليه فان المشتقات فى المعادلة (22) تصبح غير صفرية فى حال ان الاسس بعد التفاضل تكون صفر او اكبر من الصفر (تكزكرى ان الاس بعد التفاضل فى حالة المشتقة الخامسة كان 5-5 اما فى المشتقة السادسة فسكون يكون سالبا ولكن توقفى او ليس انها تساوى صفرا لانها تمثل تفاضل ثابت5! )

وهكذا نستنتج ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20s-m\geq%200%20\qquad%20n-s%20\geq%200

اى ان s اكبر او تساوى m وعليه تكون اقل قيمة ل s هى m مما يعنى ان التجميع يبدأ من قيمة s=m وليس s=0

ونلاحظ ان s اقل او تساوى n وهكذا تكون اكبر قيمة لs هى n مما يعنى ان التجميع ينتهى عند s=n وليس s=n+m

,وهكذا يتغير التجميع فى المعادلة (22) ليصبح

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=m}^{n}\frac{(n+m)!( n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad%20(23)
لاحظى طبعا اننا حتى الان نتعامل مع قيمة موجبة ل m

يتبع .....

[الصادق]

الان دعنا نستدعى المعادلة (22) مرة اخرى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=0}^{n+m}\frac{(n+m) !(n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad%20(22)

ولنفترض فى هذه المرة ان m سالبة ولنبدل اى m بناقص m فى المعادلة لنحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=0}^{n-m}\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{s+m}(x-1)^{n-s}}{(n-m-s)!s!(s+m)!(n-s)!}\quad%20(24)

لاحظى ان اقل قيمة ل s فى المعادلة (24) هى صفر اما اكبر قيمة لs فهى m-n ولكى نقارن هذه المعادلة (24) مع المعادلة (22) فيجب ان نغير رمز التجميع بحيث يكوت للتجميع نفس المدى. ومن اجل هذا الغرض دعينا نستبدل اى s فى المعادلة (24) ب s’=s+m. وهكذا عند s=0 فان s’=m وعند s=n-m فان s’=n

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s’=m}^{n}\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{s’}(x-1)^{n+m-s’}}{(n-s’)!(s’-m)!(s’)!(n+m-s’)!}\quad%20

والان طالما ان ’s هى رمز تجميع فقط لذا سوف نستبدلها بs فى المعادلة الاخيرة لنحصل على


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=m}^{n}\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{s}(x-1)^{n+m-s}}{(n-s)!(s-m)!(s)!(n+m-s)!}\quad%20(25)

وهكذا نكون قد حصلنا على المشتقة رقم n-m

يتبع......

[الصادق]

الان اصبح لدينا المشتقة رقم n+m والمشتقة رقم n-m

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=m}^{n}\frac{(n+m)!( n!)^2(x+1)^{s-m}(x-1)^{n-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad%20(23)


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n%20=\sum_{s=m}^{n}\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{s}(x-1)^{n+m-s}}{(n-s)!(s-m)!(s)!(n+m-s)!}\quad%20(25)

الان طالما ان التجميع على s فانه يمكننا استخراج اى حد لا يعتمد على s خارج رمز التجميع وسوف نحصل من المعادلة (23) على


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n+m }}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20=(n+m)!(n!)^2(x-1)^n(x+1)^{-m}\sum_{s=m}^{n}\frac{(x+1)^{s}(x-1)^{-s}}{(n+m-s)!s!(s-m)!(n-s)!}\quad%20(26)

اما اذا استخرجنا الحدود التى لا تعتمد على s فى المعادلة (25) فسوف نحصل على


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n%20=(n-m)!(n!)^2(x-1)^{n+m}\sum_{s=m}^{n}\frac{(x+1)^{ s}(x-1)^{-s}}{(n-s)!(s-m)!(s)!(n+m-s)!}\quad%20(27)

بقسمة المعادلة (27) على المعادلة (26) سوف يختفى التجميع فى البسط والمقام لنحصل على


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\\frac{\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n}{\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n}=\frac{(n-m)!(n!)^2(x+1)^{n+m}}{(n+m)!(n!)^2( x+1)^{-m}(x-1)^n}\\%20\\%20\\%20%20\therefore%2 0\frac{\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n}{\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n}=\frac{(n-m)!}{(n+m)!}(x^2-1)^m

وهكذا نكون قد حصلنا على العلاقة بين المشتقة رقم n-m والمشتقة رقم n+m


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n=\frac{(n-m)!}{(n+m)!}(x^2-1)^m\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n%20\qquad%20(28)

يتبع....

[الصادق]

الان بالرجوع الى المعادلة (18) التى تعرف كثيرات حدود لجندر المرتبطة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_n^m(x)=\frac{(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}{2^n%20n!}\frac{ d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n\qquad%20(18)

يمكننا استبدال m بناقص m لنحصل على معادلة تعطى تعرف كثيرات حدود لجندر المرتبطة والتى تقابل قيمة سالبة ل m

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P_n^{-m}(x)=\frac{(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}}{2^n%20n!}\frac{d^{n-m}}{dx^{n-m}}(x^2-1)^n\qquad%20(29)

المشتقة رقم m-n فى المعادلة (29) يمكن كتابتها بدلالة المشتقة رقم m+n وذلك باستخدام المعادلة (27) لنحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%14P_n^{-m}(x)=\frac{(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}}{2^n%20n!}\frac{(n-m)!}{(n+m)!}(x^2-1)^m\frac{d^{n+m}}{dx^{n+m}}(x^2-1)^n\qquad%20(30)

الان بقسمة المعادلة (30) على المعادلة (18) تجد ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{P^{-m}_n(x)}{P^m_n(x)}=\frac{(n-m)!(x^2-1)^m%20(1-x^2)^{-\frac{m}{2}}}{(n+m)!(1-x^2)^{\frac{m}{2}}}=\frac{(n-m)!(x^2-1)^m%20}{(n+m)!(1-x^2)^m}

الان نلاحظ ان تستطيع ان نكتب

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20(x^2-1)^m=[-(1-x^2)]^m=(-1)^m(1-x^2)^m

قومى بتعويض هذه العلاقة فى البسط فى الطرف الايمن فى المعادلة الاخيرة لتحصلى على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\frac{P^{-m}_n(x)}{P^m_n(x)}=\frac{(n-m)!(-1)^m(1-x^2)^m}{(n+m)!(1-x^2)^m}=(-1)^m\frac{(n-m)!}{(n+m)!}%20\qquad%20(31)

,وبضرب طرفى المعادلة (31) فى http://www.codecogs.com/eq.latex?P^m_n(x)
سوف نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P^{-m}_n(x)=(-1)^m\frac{(n-m)!}{(n+m)!}%20P^m_n(x)}\qquad%20(3 2)

وهذا هو المطلوب برهانه. ولقد تعاملت منذ البداية مع n بدلا عن l لصعوبة كتابة هذا الرمز فى كود المعادلات الذى استخدمه ولكن الان يمكن ان نستبدل n ب l لنحصل على نفس شكل العلاقة التى طلبتى برهانها .

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20P^{-m}_{\ell}(x)=(-1)^m\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}%20P^m_{\ell}(x)}\qq uad%20(33)


انتهى الحل.

[زهرة بوك]

وفقك الله الى كل خير والله ييسر امرك


اشكرك على مجهودك وتعاونك معنا ياأخي صادق

نفع الله بصدقك واخلاصك الامة الاسلامية وجعلنا واياكم عزا لها ورفعة...

[احمدفتحى]

مشكورين على الطرح والحل
ولن سؤالى عن الاستخدام
فى ماذا
واعذرونى

[الصادق]

تستخدم كثيرات حدود لجندر فى حل معادلة لجندر التفاضلية ( والتى تستخدم فى مسألة ذرة الهيدروجين فى ميكانيكا الكم وتعطى العلاقة بين عدد الكم الرئيسى وعدد الكم المدارى وتتنبأ بتقطع مستويات الطاقة فى المدارات المختلفة) وهى تنتمى لفرع من الرياضيات التطبيقية يُعرف بالدوال الخاصة وهو يشمل طيف واسع من المعادلات التفاضلية والمعادلات التكاملية (تطبق فى ظواهر الانتشار فى الفيزياء الكهرومغنطيسية والالكترودينمكا وفى فيزياء المجال الكمى وفى حساب الدوال الذاتية والقيم الذاتية فى ميكانيكا الكم ) ودوال غرين والتحليل المركب ودوال بيسل (تطبق فى دراسة ال spherical harmonics فى ميكانيكا الكم ومعادلة شرودنجر ومعادلة هلمهولتز وفى الانتشار الحرارى...) ودوال هيرمت (تطبق فى دراسة المهتزات التوافقية فى ميكانيكا الكم) ودوال لاغوير (وتستخدم فى دراسة ذرة الهيدروجين فى ميكانيكا الكم) ودوال جاما ودوال بيتا ودوال الخطأ وهى دوال لا غنى للفيزيائى من دراستها لانها تساعد فى حساب التكاملات المعقدة كما ان لها تطبيقات فى الاحصاء والتوزيعات الطبيعية التى تدخل فى صميم الميكانيكا الاحصائية


والله اعلم

[احمدفتحى]

حقيقه انى اعلم تطبيق واحد لها وهو فى ذرة الهدروجين
ولقد بحث عنه ولم اجده
واعلم استاذى ان بلادى تزعم انى خريج جامعه الان عرفت وتيقنت انى خريج عزبه
وهذا لانه هناك اهم من العلم فى بلادى
فعفوا على التطفل
لو امكن بعض الشرح للمساعده كما ترى استاذى اكون شاكر

[truthSeeker]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته .
أخى الكريم أحمد محمد فتحى ...........
عند دراسة ذرة الهيدروجين كميا ً ، فإننا نستخدم معادلة شرودنجر فى الإحداثيات الكروية ( على اعتبار أن إلكترون الذرة يوجد فى غلاف كروي حول البروتون ) ، وتكون المعادلة :
http://www.codecogs.com/eq.latex?\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r^2 \frac{{\partial \psi }}{{\partial r}}} \right) + \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {\sin \theta \frac{{\partial \psi }}{{\partial \theta }}} \right) + \frac{1}{{\sin ^2 \theta }}\frac{{\partial ^2 \psi }}{{\partial \phi ^2 }} + \frac{{2\mu }}{{\hbar ^2 }}r^2 \left( {E + \frac{{kZe^2 }}{r}} \right)\psi = 0
ونستخدم طريقة فصل المتغيرات لحل هذه المعادلة فنضع :
http://www.codecogs.com/eq.latex?\psi \left( {r,\theta ,\phi } \right) = R\left( r \right)\Theta \left( \theta \right)\Phi \left( \phi \right)
فتصبح المعادلة على الصورة :
http://www.codecogs.com/eq.latex?\frac{{\sin ^2 \theta }}{R}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {r^2 \frac{{\partial R}}{{\partial r}}} \right) + \frac{{\sin \theta }}{\Theta }\frac{\partial }{{\partial \theta }}\left( {\sin \theta \frac{{\partial \Theta }}{{\partial \theta }}} \right) + \frac{1}{\Phi }\frac{{\partial ^2 \Phi }}{{\partial \phi ^2 }} + \frac{{2\mu }}{{\hbar ^2 }}r^2 \sin ^2 \theta \left( {E + \frac{{kZe^2 }}{r}} \right) = 0
والتى يمكن فصلها إلي ثلاث معادلات تفاضلية ، كل واحدة منها فى دالة واحدة (معادلة تفاضلية عادية) :
http://www.codecogs.com/eq.latex? - \frac{1}{\Phi }\frac{{d^2 \Phi }}{{d\phi ^2 }} = m_l^2
http://www.codecogs.com/eq.latex?\frac{1}{R}\frac{d}{{dr}}\ left( {r^2 \frac{{dR}}{{dr}}} \right) + \frac{{2\mu }}{{\hbar ^2 }}r^2 \left( {E + \frac{{kZe^2 }}{r}} \right)\psi = C
http://www.codecogs.com/eq.latex?\frac{{m_l^2 }}{{\sin ^2 \theta }} - \frac{1}{{\Theta \sin \theta }}\frac{d}{{d\theta }}\left( {\sin \theta \frac{{d\Theta }}{{d\theta }}} \right) = C
حيث C ثابت ، ومن المعادلة الثالثة :
http://www.codecogs.com/eq.latex?\frac{\Theta }{\Theta }\frac{{m_l^2 }}{{\sin ^2 \theta }} - \frac{1}{{\Theta \sin \theta }}\frac{d}{{dr}}\left( {\sin \theta \frac{{d\Theta }}{{d\theta }}} \right) = \left( {\frac{{m_l^2 }}{{\sin ^2 \theta }} - \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{d}{{dr}}\left( {\sin \theta \frac{d}{{d\theta }}} \right)} \right)\frac{\Theta }{\Theta } = C
http://www.codecogs.com/eq.latex?\therefore \left( {\frac{{m_l^2 }}{{\sin ^2 \theta }} - \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{d}{{dr}}\left( {\sin \theta \frac{d}{{d\theta }}} \right)} \right)\Theta = C\Theta
http://www.codecogs.com/eq.latex?let:w = \cos \theta
http://www.codecogs.com/eq.latex?\because \sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1 \Rightarrow \sin ^2 \theta = 1 - \cos ^2 \theta = 1 - w^2
http://www.codecogs.com/eq.latex?\therefore dw = - \sin \theta d\theta \Rightarrow - \frac{d}{{dw}} = \frac{1}{{\sin \theta }}\frac{d}{{d\theta }}
http://www.codecogs.com/eq.latex?\therefore \left( {\frac{{m_l^2 }}{{1 - w^2 }} + \frac{d}{{dw}}\left( {\frac{{\sin ^2 \theta }}{{\sin \theta }}\frac{d}{{d\theta }}} \right)} \right)\Theta = C\Theta
http://www.codecogs.com/eq.latex?\therefore \frac{d}{{dw}}\left( {\left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d\Theta }}{{dw}}} \right) = \left( {\frac{{m_l^2 }}{{1 - w^2 }} - C} \right)\Theta
http://www.codecogs.com/eq.latex?\frac{d}{{dw}}\left( {\left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d\Theta }}{{dw}}} \right) = \frac{d}{{dw}}\left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d\Theta }}{{dw}} + \left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d^2 \Theta }}{{dw^2 }} = - 2w\frac{{d\Theta }}{{dw}} + \left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d^2 \Theta }}{{dw^2 }}
http://www.codecogs.com/eq.latex?\therefore \left( {1 - w^2 } \right)\frac{{d^2 \Theta }}{{dw^2 }} - 2w\frac{{d\Theta }}{{dw}} - \frac{{m_l^2 }}{{1 - w^2 }}\Theta + C\Theta = 0
والمعادلة الأخيرة هى معادلة لاجندر المرافقة Associated Legendre equation ، و لنحسب قيمة الثابت C نضع m = 0 فنحصل على معادلة لاجندر Legendre equation .
ومن هنا كانت أهمية دوال لاجندر فى حل ذرة الهيدروجين فى ميكانيكا الكم .
و أعتقد أن هناك مواضيع تتناول ذرة الهيدروجين الكمية فى منتدي فيزياء الكم يمكنك الإطلاع عليها للحصول على تفاصيل أكثر .
والله أعلى و أعلم .

[فيزيائي7]

بارك الله فيك
جد ريحتني من هذا الموضوع ..

تحيتي لك