تحويلات جاليلو و ميكانيكا الكم

[تغريد]

إخوتي الكرام
أرجو ما أمكن مساعدتي في فهم بعض ما تعسر فهمه بالنسبة لي في مجال دراستي فيما يتعلق ببعص الجوانب الفيزيائية
تعرضت لي الفقرة التالية في تقديم مفهوم ”opservable“ في ميكانيكا الكم و للأسف لم أستطع تفسير معمياتها

Galilei group $\mathfrak{G}_{0}=\alpha_{g}=\alpha _{0,a,v,\mathbf{R}}:x\rightarrow x’=\mathbf{R}x+a$ The corresponding action
on the momentum or the velocity space $R^{3}$ is given by
$\alpha_{g}=\alpha_{0,a,v, \mathbf{R}}:u\rightarrow
u’=\mathbf{R}u+v$.

Let $U_{a},V_{v}, W_{R}$ denote the subrepresentations of
$\mathcal{U}_{g}$ corresponding to the groups of translations,
boosts and rotations, respectively> then the covariance requirement
for position and momentum observables $E, F$ are
$$U_{a}E(X)U_{a}^{-1}=E(X+a)$$
$$V_{v}E(X)V_{v}^{-1}=E(X)$$
$$W_{R}E(X)W_{R}^{-1}=E(RX)$$


و أنا آسف لأني كتبتها بلغة اللاتكس لضيق الوقت سأحاول وضعها بصيغة واضحة لأني حاولت و لا أدري لماذا لم أفلح

[تغريد]

أسف و لكن هذا ما حصلت عليه

يقول الكاتب أننا لكي نستطيع تحديد مواصفات الOBSERVABLE المقابل لمتجه الموضع و العزم يجب أن نعرف معني كل منهم في زمر جاليلو
و يصف ذلك بقوله
"The entity called "the position of object should be the same up to some shift and rotation irrespective of the ******** , orientation , and state of motion of the position measuring device. Thus position should be covariant under space translations and rotation and invariant under velocity boosts; formally this corresponds to the fact that the position value space is homogeneous space of the isochronous Galilei group G with respect to the action "

http://www.codecogs.com/eq.latex?\mathfrak{G}_{0}=\alpha_{g }=\alpha_{0,a,v,\mathbf{R}}:x\right arrow x’=\mathbf{R}x+a
Then the corresponding action on the momentum or the velocity space http://www.codecogs.com/eq.latex?R^{3} is given by
http://www.codecogs.com/eq.latex?\alpha_{g}=\alpha_{0,a,v,\ mathbf{R}}:u\rightarrow u’=\mathbf{R}u+v


Let http://www.codecogs.com/eq.latex?U_{a},V_{v}, W_{R} denote the subrepresentations of corresponding to the groups of translations,
boosts and rotations, respectively, then the covariance requirement for position and momentum observables E, F are


http://www.codecogs.com/eq.latex?U_{a}E(X)U_{a}^{-1}=E(X+a)

http://www.codecogs.com/eq.latex?V_{v}E(X)V_{v}^{-1}=E(X)


http://www.codecogs.com/eq.latex?W_{R}E(X)W_{R}^{-1}=E(RX)

http://www.codecogs.com/eq.latex?U_{a}F(Y)U_{a}^{-1}=F(Y)


http://www.codecogs.com/eq.latex?V_{v}F(Y)V_{v}^{-1}=F(Y+mv)

http://www.codecogs.com/eq.latex?W_{R}F(Y)W_{R}^{-1}=F(RY)

حيث X تمثل الموضع و Y تمثل العزم و E تمثل الobservable الممثل للموضع بينما F الممثل لمؤثر للعزم .

هذا و قد فضلت نقل الفقرة من المصدر بدون ترجمة لأن ترجمتي لها تجعل الأمور غير منطقية بالنسبة لي فخفت أن تكون تخل بالمعنى.
فأرجو إن أمكن إفادتي بأي معلومات في هذا الخصوص و بارك الله فيكم جميعا

[تغريد]

يقول الكاتب أننا لكي نستطيع تحديد مواصفات الOBSERVABLE المقابل لمتجه الموضع و العزم يجب أن نعرف معني كل منهم في زمر جاليلو
و يصف ذلك بقوله
"The entity called "the position of object should be the same up to some shift and rotation irrespective of the ******** , orientation , and state of motion of the position measuring device. Thus position should be covariant under space translations and rotation and invariant under velocity boosts; formally this corresponds to the fact that the position value space is homogeneous space of the isochronous Galilei group G with respect to the action "

http://www.codecogs.com/eq.latex?\mathfrak{G}_{0}=\alpha_{g }=\alpha_{0,a,v,\mathbf{R}}:x\right arrow x’=\mathbf{R}x+a
Then the corresponding action on the momentum or the velocity space http://www.codecogs.com/eq.latex?R^{3} is given by
http://www.codecogs.com/eq.latex?\alpha_{g}=\alpha_{0,a,v,\ mathbf{R}}:u\rightarrow u’=\mathbf{R}u+v


Let http://www.codecogs.com/eq.latex?U_{a},V_{v}, W_{R} denote the subrepresentations of corresponding to the groups of translations,
boosts and rotations, respectively, then the covariance requirement for position and momentum observables E, F are


http://www.codecogs.com/eq.latex?U_{a}E(X)U_{a}^{-1}=E(X+a)

http://www.codecogs.com/eq.latex?V_{v}E(X)V_{v}^{-1}=E(X)


http://www.codecogs.com/eq.latex?W_{R}E(X)W_{R}^{-1}=E(RX)

http://www.codecogs.com/eq.latex?U_{a}F(Y)U_{a}^{-1}=F(Y)


http://www.codecogs.com/eq.latex?V_{v}F(Y)V_{v}^{-1}=F(Y+mv)

http://www.codecogs.com/eq.latex?W_{R}F(Y)W_{R}^{-1}=F(RY)

حيث X تمثل الموضع و Y تمثل العزم و E تمثل الobservable الممثل للموضع بينما F الممثل لمؤثر للعزم .

هذا و قد فضلت نقل الفقرة من المصدر بدون ترجمة لأن ترجمتي لها تجعل الأمور غير منطقية بالنسبة لي فخفت أن تكون تخل بالمعنى.
فأرجو إن أمكن إفادتي بأي معلومات في هذا الخصوص و بارك الله فيكم جميعا

ما فهمته أن زمر جاليلو ما تعبير معقد عن شيء بسيط هو تحويلات جاليلو

و لكني لا استطيع استيعاب كيف تكون هذه العلاقة صحيحة

[IMG]http://www.codecogs.com/eq.latex?U_{a}E(X)U_{a}^{-1}=E(X+a)[/IMG

أليس ما في الطرف الأيسر يعني تأثير قياس الموضع في نظام احداثيات بدء من نقطةتبعد a في اتجاه محور x للتبسيط و يتحرك بسرعة v في اتجاه محور x أيضا ثم بعد ذلك التأثير العكسي له
أليس ما نعرفه أن التأثيرين خطيين و يلاشي أحدهما الآخر
أقصد ألا يفترض أن يكون الجواب E(X) تبقى كما هي

أم أنه يقصد أنما سبق صحيح بالإضافة إلى أن ( E(X)=E(X+a لأن الفضاء متماثل؟؟

[الصادق]

ما فهمته أن زمر جاليلو ما تعبير معقد عن شيء بسيط هو تحويلات جاليلو

و لكني لا استطيع استيعاب كيف تكون هذه العلاقة صحيحة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20U_{a}E(X)U_{a}^{-1}=E(X+a)
أليس ما في الطرف الأيسر يعني تأثير قياس الموضع في نظام احداثيات بدء من نقطةتبعد a في اتجاه محور x للتبسيط و يتحرك بسرعة v في اتجاه محور x أيضا ثم بعد ذلك التأثير العكسي له
أليس ما نعرفه أن التأثيرين خطيين و يلاشي أحدهما الآخر
أقصد ألا يفترض أن يكون الجواب E(X) تبقى كما هي

أم أنه يقصد أنما سبق صحيح بالإضافة إلى أن ( E(X)=E(X+a لأن الفضاء متماثل؟؟

السلام عليكم اختى الكريمة تغريد

أليس ما في الطرف الأيسر يعني تأثير قياس الموضع في نظام احداثيات بدء من نقطةتبعد a في اتجاه محور x للتبسيط و يتحرك بسرعة v في اتجاه محور x أيضا ثم بعد ذلك التأثير العكسي له
أليس ما نعرفه أن التأثيرين خطيين و يلاشي أحدهما الآخر
أقصد ألا يفترض أن يكون الجواب E(X) تبقى كما هي

بالفعل http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20U_a^{-1} هى تمثل التأثير العكسى ل http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20U_a ولكن لاحظى لكى نحصل E(x)l فيجب ان تتبادل U مع E اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20U_a%20E(x)U_a^{-1}=E(x)U_aU_a^{-1}=E(x)1=E(x)

ولكن من خواص الزمرة U انها لا تتبادل مع E وبالتالى لا تبقى E على حالها

[تغريد]

السلام عليكم اختى الكريمة تغريد

أليس ما في الطرف الأيسر يعني تأثير قياس الموضع في نظام احداثيات بدء من نقطةتبعد a في اتجاه محور x للتبسيط و يتحرك بسرعة v في اتجاه محور x أيضا ثم بعد ذلك التأثير العكسي له
أليس ما نعرفه أن التأثيرين خطيين و يلاشي أحدهما الآخر
أقصد ألا يفترض أن يكون الجواب E(X) تبقى كما هي

بالفعل http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20U_a^{-1} هى تمثل التأثير العكسى ل http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20U_a ولكن لاحظى لكى نحصل E(x)l فيجب ان تتبادل U مع E اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20U_a%20E(x)U_a^{-1}=E(x)U_aU_a^{-1}=E(x)1=E(x)

ولكن من خواص الزمرة U انها لا تتبادل مع E وبالتالى لا تبقى E على حالها


أشكرك كثيرا أخي الصادق بارك الله فيك
الحقيقة أني حاولت البحث و لكن لم أجد أي مصدر يتحدث عن الموضوع بالشكل المطلوب و خاصة التعامل مع http://www.codecogs.com/eq.latex?U_a^{-1}
سأكون ممتنة كثيرا إن أمكن أن تمدني بمصدر يمكنني من التوسع في معرفة تلك الزمرة


مع خالص الاحترام و التقدير

[الصادق]

الحقيقة اننا خلال الدراسة لا نتعرض لزمرة جاليليو لان جل الاهتمام يكون حول النظريات التى تحقق مبدأ النسبية ولذلك ندرس فقط زمر لورنتز و بوينكارى. ولكن عموما هذه الزمرة هى امثلة لزمر لى Lie groups ومن اجل دراسة هذه الزمر يمكنك الاطلاع على كتب نظريات الزمر و الهندسة التفاضلية differential geometry
ايضا تجدين على الرابط التالى نبذة صغيرة حول الموضوع

http://en.wikipedia.org/wiki/Galilean_transformation
مع فرق ان الموضوع اعلاه يبحث تاثير تحولات جاليليو على الاحداثيات x بينما انت تبحثين عن تحويلات جاليليو ليس على x وانما على دول تعتمد على x لذا اظن من الصعب نوعا ما ان تجدى مرجع يناقش هذا الموضوع بالتفصيل

[الصادق]

بالنسبة للسؤال المطروح فى المشاركة الثانية

دعينا نبحث عن مصفوفة تحويل عامة تعمل على تحويل الدوال التى تعتمد على x ولتكن هذه المصفوفة هى O

معلوم ان تحويل جاليليو على المحاور يعطى ب

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\vec{\acute{X}}=R\ vec{X}+\vec{a}%20\qquad%20(1)
حيث X prime هى الاحداثيات فى الاطار الجديد اما X فهى احداثيات الاطار القديم و R هى مصفوفة الدوران اما a فهو متجه ثابت المقدار ؟. والمادلة (1) تتحدث عن دوران rotation فى الاحداثيات القديمة متبوعا بانتقال translation

طالما اننا نتحدث عن زمرة فيجب ان نتحدث عن خواص تحويل جاليليو

واضح ان هناك تحويل يمثل العنصر المحايد للزمرة وهو التحويل عندما لا يكون هناك دوران R=1 ولا انتقال a=0
وعندها يكون لدينا

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\vec{\acute{X}}=I\ vec{X}+\vec{0}=\vec{X}%20\qquad%20( 2)

يوجد تحويل هو عبارة عن انتقال فقط دون دوران اى عندما تكون R=1 بينما a لا تساوى الصفر, وعندها يكون

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\vec{\acute{X}}=I\ vec{X}+\vec{a}=\vec{X}+\vec{a}%20\q quad%20(3)

ويوجد تحويل هو عبارة عن دوران فقط من دون انتقال, اى عند a=0 و R لا تساوى مصفوفة الوحدة, وعندها يكون

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\vec{\acute{X}}=R\ vec{X}+\vec{0}=R\vec{X}%20\qquad%20 (4)

اخيرا اذا تعاملنا مع فضاء السرعات فاننا نحصل على تحويل ال boost ولما كان هذا الاخير تحويل الانتقال فاننا سوف نتعامل معه كانه انتقال فى فضاء السرعات لذا لا حاجة للاستفاضة فيه.

يتبع......

[الصادق]

الان محور الحديث هو تحويل جاليليو الذى يؤثر على مُقاس Observable لذا يجب علينا اولا ان نعرف ماهو المُقاس
افترض ان لدينا متجه دالة ذاتية eigenvector http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20|\alpha%3E ونريد حساب تأثير المقاس E الذى يعتمد على الموقع x على الدالة الذاتية الفا
http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\hat{E}(x)|\alpha %3E

لاحظى ان المقاس عبارة عن مصفوفة مربعة بينما ان متجة الدالة الذاتية هو مصفوفة عمود وهكذا فان ناتج الضرب يكون عبارة عن مصفوفة عمود ولكن نحن فى المعامل نقيس ارقاما فقط واننا نريد ان نحصل على رقم من عملية القياس هذه وهكذا يجب علينا ان نضرب العلاقة السابقة فى مصفوفة صف حتى نحصل على رقم
http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20%3C\beta|\hat{E}( x)|\alpha%3E%20\qquad%20(5)
لاحظى ان ضربنا فى متجة ذاتى بيتا ماهو الا اسقاط على طول المتجه بيتا.

الان اذا قمنا بتحويل المحاور فان المتجهات الذاتية سوف تتغير (اذا كان لدينا متجه يصنع زاوية 30 درجة مع محور x وقمنا بتدوير المحاور بزاوية 5 درجات فى الاتجاه المعاكس لعقارب الساعة فان المتجه سوف يتغير حسب النظام الجديد ويصبح يصنع زاوية 25 درجة مع المحور x الجديد)

اى ان المتجه الذاتى يحدث فيه تغير ونحن لا نعلم شكل هذا التغير ولكننا سوف نفترض بانه يتمثل فى ضرب المتجه الذاتى فى مصفوفة مربعة تعمل على تدوير ونقل هذا المتجه ولتكن هذه المصفوفة هىO وهكذا يصبح متجه الحالة الذاتية بيتا بعد الدوران هو
http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20%3C\acute{\beta}|= %3C\beta|O

ولما كانت بيتا عبارة عن متجه صف فان تحويل الفا (التى تمثل متجه عمود) بستلزم ان نضرب فى منقول transpose O اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20|\acute{\alpha}%3 E=O^T|\alpha%3E

ولكن اذا كانت هذه الدوال الذاتية تعيش فى فضاء مركب فيجب الاخذ فى الاعتبار التعامل مع المرافق المركب لمنقول المصفوفة وذلك لكى نحصل على رقم حقيقى لعملية قياس E واذا كان الدوران متعامدا فان منقول المصفوفة الحقيقية يساوى معكوسها (اما المنقول مع اخذ المرافق المركب للمصفوفة المركبة يساوى معكوس المصفوفة) وهكذا يصبح التحويل الاخير

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20|\acute{\alpha}%3E =O^T|\alpha%3E=O^{-1}|\alpha%3E

بالتعويض فى العلاقة (5) بعد عملية الدوران نجد ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20%3C\acute{\beta}| E(x)|\acute{\alpha}%3E=%3C\beta|OE( x)O^{-1}|\alpha%3E%20\qquad%20(6)

وكان يمكن ان نتحدث عن تحويل المحور فى E بدلا عن تحويل المتجهات الذاتية (هذا يشبه فى المثال السابق الذكر عدم تغير المحاور وتدوير المتجه بدلبا عن ذلك بزاوية 5 درجة فى اتجاه عقارب الساعة) اى ان المعادلة (4) بعد تحويل المحاور تصبح

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20%3C\beta|E(\acute {x})|\alpha%3E%20\qquad%20(7)

بمقارنة المعادلتين 6 و 7 نجد ان
http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20OE(x)O^{-1}=E(\acute{x})=E(Rx+a)%20\qquad%20 (8)

اذا كانت O هى عبارة عن مصفوفة انتقال فقط (سوف نرمز لها بالرمز U) فان التاثير على المحاور يكون انتقالا فقط راجع حالة الانتقال فة المشاركة السابقة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20U_aE(x)U_a^{-1}=E(1x+a)=E(x+a)%20\qquad%20(9)

اما اذا كانت O هى عبارة عن مصفوفة دوران فقط (سوف نرمز لها بالرمز W) فان التلأثير على المحاور يكون دورا فقط -راجع ايضا حالة الدوران فى المشاركة السابقة -اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20W_RE(x)W_R^{-1}=E(Rx+0)=E(Rx)%20\qquad%20(10)

يمكن تكرار نفس الخطوات السابقة فى حالة الboost فى فضاء السرعات

والله اعلم

[تغريد]

الحقيقة أخي الكريم أنا عاجزة عن الشكر
لقد أزلت الكثير من اللبس و صححت لدى الكثير من الأفكار الخاطئة
فجزاك الله خير الجزاء و أوسع لك في العطاء و بارك خطاك