معادلة انشتاين فى النسبية العامة

[الصادق]

المحاضرات ل د/ الصادق معا فى صورة pdf:


http://www.herosh.com/download/20796..._____.pdf.html



اخوكم / محمد ابوزيد



------------------------------------------------------------------------------------------------------






تلبيةَ لطلب اخى احمد محمد فتحى , سوف اقوم بمشئية الله بتعريف واعطاء فكرة عامة عن معادلة انشتاين فى النظرية النسبية العامة
وارجو من الله التوفيق والسداد

بصورة عامة حل معادلة انشتاين يعطى الممتدد المترى و هو تلك الدالة التى تعرف طول الفترة فى الزمنكان

احتمالان:

1) اذا كان الممتدد المترى دالة ثابتة لا تعتمد على متغيرات الزمنكان (t, x,y,z) فان الفضاء يكون مستويا ولا يوجد به انحناء وعليه لا توجد جاذبية و تؤول النظرية النسبية العامة الى النسبية الخاصة

2) اذا كان الممتدد المترى دالة فى متغيرات الزمنكان فان الفضاء يكون منحنيا و توجد قوى جذب كونى

الان ماهو الممتدد المترى ؟

يعرف الممتدد المترى على انه يعطى تعريفا لطول المتجة فى الفضاء
دعنا نبدأ من فيثاغورث و افترض متجهين يعطيان ب

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\\vec{r}_1=x_1\ha t{i}+y_1\hat{j}+z_1\hat{k}%20%20\qq uad%20\qquad%20(1)%20\\\vec{r}_2=x_ 2\hat{i}+y_2\hat{j}+z_2\hat{k}%20\q quad%20\qquad%20(2)

ماهو البعد بين هذين المتجهين؟ بالطبع البعد هو القيمة المطلقة للفرق بين المتجهين

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\vec{r}_2-\vec{r}_1=(x_2-x_1)\hat{i}+(y_2-y_1)\hat{j}+(z_2-z_1)\hat{k}%20\qquad%20\qquad%20(3)
ولما كان المتجين قريبين من بعضهما البعض فان الفرق فى الاحداثيات يمكن تمثيله كتغير طفيف يعبر عنه بالرمز dr وعليه نعيد كتابة المعادلة (3) على النحو المختصر التالى :

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\d\vec{r}=dx\hat{ i}+dy\hat{j}+dz\hat{k}%20%20\qquad% 20\qquad%20(4)

وهكذا نجد ان مربع طول المتجة يعطى بالضرب القياسى للمتجه dr مضروبا فى نفسه (فيثاغورث فى ثلاثة ابعاد x ,y,z) اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\dr^2=dx^2+dy^2+d z^2%20%20\qquad%20\qquad%20(5)

الان نريد كتابة هذه المعادلة على النحو الذى يسمح بتعريف الممتدد المترى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\dr^2=g_{xx}dx%20 dx%20+g_{yy}dy%20dy+g_{zz}dzdz%20%2 0\qquad%20\qquad%20(6)

حيث ان المعاملات التى تظهر فى مقدمة مربع التغير فى x و y و z تساوى الواحد الصحيح فى هذا المثال لاننا نتحدث عن بعد بين متجهين فى فضاء مستوى ولكن بشكل عام فى الفضاءت غير المستوية تكون هذه المعاملات دوال فى x و y و z وهذه المعاملات تعرف على انها مركبات الممتدد المترى

يتصل....

[الصادق]

الممتد المترى فى فضاء مستوى رباعى الابعاد

تعلمنا من النظرية النسبية الخاصة بان الزمن يعامل على انه بعد رابع وعليه يصبح الفضاء زمنكانيا بدلا عن مكانيا ويكون المتجه فى الزمنكان متجه رباعى الابعاد

الطول الفاصل بين اى متجهين رباعيين يحمل خاصية المكان و خاصية الزمان ونسميه بالفترة المكانية-الزمانية (الفترة الزمنكانية) ويرمز لطول الفترة بالرمز ds

الان نستطيع تكرر نفس الخطوات فى حساب مربع طول متجه فى فضاء ثلاثى الابعاد من اجل حساب مربع طول الفترة الزمنكانية, وببساطة سوف نقوم باضافة مربع البعد الزمنى للمعادلة (5) ولكن كم تعلم ان البعد الزمنى فى النسبية الخاصة هو بعد تخيلى ict ولهذا فان مربعه يكون سالبا
وعليه يكون

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20ds^2=-c^2dt^2+dx^2+dy^2+dz^2%20%20\qquad% 20\qquad%20(7)

والتى يمكن اعادة كتابتها على نفس النحو الذى اتخذناه فى كتابة المعادلة (6) لنحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\ds^2=g_{tt}(cdt) (cdt)+g_{xx}dx%20dx%20+g_{yy}dy%20d y+g_{zz}dzdz%20%20%20\quad%20(8)

حيث المعامل http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{tt} يساوى -1 و بقية المعاملات تساوب +1 فى هذا المثال لفضاء مستوى رباعى الابعاد اما بشكل عام فان هذه المعاملات تكون دوال فى متغيرات الزمنكان وتظل دائما المركبة الزمانية للممتدد المترى دالة سالبة الاشارة بينما بقية المركبات تكون دوال موجبة الاشارة

ترميز

من اجل الاختصار سوف نقوم بتغير الترميز وذلك لكى نختصر الكتابة
سوف نسمى البعد الزمنى بالبعد الصفرى و البعد فى x بالبعد الاول والبعد فى y بالبعد الثانى والبعد فى z بالبعد الثالث ونعبر عن كل هذا بالشكل المختصر التالى :

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\ct\equiv%20x^0%2 0\\%20x%20\equiv%20x^1%20\\%20y\equ iv%20x^2%20\\%20z%20\equiv%20x^3%20 \qquad%20\qquad%20(9)
لاحظ ان المعامل اعلى x لا يمثل اسا وانما فقط رقم يمثل ترتيب البعد

واذا قمنا باستبدال الترميز القديم بهذا الترميز (فقط استبدل ct و x و y و z بمقابلاتها فى المعادلة (9)) فى معادلة مربع الفترة (8) نحصل على الشكل التالى :

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20ds^2=g_{00}dx^0dx^ 0+g_{11}dx^1%20dx^1%20+g_{22}dx^2%2 0dx^2+g_{33}dx^3dx^3%20%20%20\quad% 20(10)

المركبات http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{00} و http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{11} و http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{22} و http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{33} تمثل مركبات الممتدد المترى فى الفضاء الزمنكانى المستوى رباعى الابعد واذا كانت هذه المركبات تعتمد المتغيرات الزمنكانية فان تكون ملركبات الممتدد المترى للزمنكان المنحنى رباعى الابعاد

يتصل....

[الصادق]

نوعان من المتجهات الرباعية

نعلم من مبادئ الجبر الخطى ان المتجه يمكن تمثيله بمصوفة عمودية (بها عمود واحد وعدة صفوف) او بمصفوفة صفية (بها صف واحد وعدة اعمدة)
الان دعنا نمثل المتجه الرباعى على النحو التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20dx^{\mu}=\begin{pm atrix}dx^0\\%20dx^1\\%20dx^2\\%20dx ^3\end{pmatrix}%20%20\qquad%20\qqua d%20(11)

حيث المعامل ميو يأخذ القيم 0و 1 و 2 و 3 وبالطبع اذا اخذ ميو القيمة 0 فان هذا يقابل الصف الصفرى و اذا اخذ ميو القيمة 1 فهذا يقابل الصف 1 ...الخ

لاحظ اننا لكى نضرب اى مصفوفتين فيجب ان يكون عدد اعمدة المصفوفة الا ولى مساوى لعدد صفوف المصفوفة الثانية و فبما عدا هذا فان ضرب المصفوفة الاولى فى الثانية لن يكون معرفا (ممكننا). ولهذا السبب سوف نحتاح الى تحويل المتجه الرباعى من مصفوفة عمودية الى مصفوفة صفية لكى نتمكن من ضربه فى نفسه لكى نحصل على مربع طول المتجه الرباعى .
ولكى نمييز بين المتجه الرباعى الممثل بمصفوفة عمودية و المتجه الرباعى الممثل بمصفوفة صفية سوف نكتب المعامل ميو اعلى x فى حالة المصفوفة العمودية ونكتبه اسفل x فى حالة المصفوفة الصفية اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20dx_{\mu}=\begin{pm atrix}dx_0%20&dx_1%20%20&dx_2%20%20&%20dx_3\end{pmatrix}%20%20\qquad%20 \qquad%20(12)



الان نريد استخدم مفهوم ضرب مصفوفتين فى تعريف مربع الفترة ودعنا فقط نضرب المصفوفة الصفية للمتجه الرباعى فى المصفوفة العمودية لحصل على المعادلة التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\begin{pmatrix}dx _0%20&dx_1%20%20&dx_2%20%20&%20dx_3\end{pmatrix}%20\begin{pmatr ix}dx^0\\%20dx^1\\%20dx^2\\%20dx^3\ end{pmatrix}%20=dx_0dx^0+dx_1dx^1+d x_2dx^2+dx_3dx^3%20\quad%20(13)

وبمقارنة سريعة بين هذه المعادالة والمعادلة (10) نجد ان :

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20dx_0=g_{00}dx ^0%20\\%20dx_1=g_{11}dx^1%20\\%20dx _2=g_{22}dx^2%20\\%20dx_3=g_{33}dx^ 3%20\qquad%20\qquad%20(14)
اى ان مركبات الممتدد المترى تعمل على تنزيل المعامل من اعلى x الى اسفل x . من الان ولاحقا سوف نسمى المتجه الرباعى الذى يمثل بمصوفة عمودية (ميو توجد فى اعلى x ) بمتجه كونترافيرينت contravariant اما المتجه الرباعى الذى يمثل بمصفوفة صفية (ميو توجد فى اسفل x) بمتجه كوفيرينت covariant
وهكذا يعمل الممتدد المترى على تحويل الكونترافيرينت الى كوفيرينت (والعكس ايضا صحيح)

يتصل....

[الصادق]

تمثيل الممتدد المترى

المعادلة (14) يمكن كتابتها بالصورة المصفوفية التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\begin{pmatrix}dx _0%20&%20dx_1%20&%20dx_2%20&%20dx_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix }dx^0%20&%20dx^1%20&%20dx^2%20&%20dx^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} g_{00}%20&%20g_{01}%20&%20g_{02}%20&%20g_{03}%20\\%20g_{10}%20&%20g_{11}%20&%20g_{12}%20&%20g_{13}\\%20%20g_{20}&%20g_{21}%20&%20g_{22}%20&%20g_{23}%20\\%20%20g_{30}&%20g_{31}%20&%20g_{32}%20&%20%20g_{33}\end{pmatrix}%20\quad%2 0(15)

حيث ان جميع العناصر التى لا تقع فى القطر الرئسى (عندما يختلف رغم الصف عن رغم العمود ) مساوىة للصفر بالنسبة لمثالنا فى الفضاء المستوى رباعى الابعاد ولكن فى الحالة العامة قد لا تساوى جميعها الصفر. وهذه المعادلة توضح كيفية تحويل الكونترافيرينت الى كوفيرينت, والان بتعويض المتجه الكوفيرينت من المعادلة (15) فى المعادلة (13) نحصل على مربع طول الفترة بالصورة المصفوفية التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20ds^2=\begin{pmatr ix}dx^0%20&%20dx^1%20&%20dx^2%20&%20dx^3\end{pmatrix}\begin{pmatrix} g_{00}%20&%20g_{01}%20&%20g_{02}%20&%20g_{03}%20\\%20g_{10}%20&%20g_{11}%20&%20g_{12}%20&%20g_{13}\\%20%20g_{20}&%20g_{21}%20&%20g_{22}%20&%20g_{23}%20\\%20%20g_{30}&%20g_{31}%20&%20g_{32}%20&%20%20g_{33}\end{pmatrix}%20\begin{ pmatrix}dx^0\\%20dx^1\\%20dx^2\\%20 dx^3\end{pmatrix}%20\quad%20(16)

نلاحظ من هذه المعادلة ان الممتدد المترى عبارة عن مصفوفة مربعة من النظام 4 فى 4 اى ان بها اربعة صفوف واربعة اعمدة وهذه المصفوفة يعبر عنها بالصورة المختصرة التالية :

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20g_{\mu%20\nu}=\beg in{pmatrix}g_{00}%20&%20g_{01}%20&%20g_{02}%20&%20g_{03}%20\\%20g_{10}%20&%20g_{11}%20&%20g_{12}%20&%20g_{13}\\%20%20g_{20}&%20g_{21}%20&%20g_{22}%20&%20g_{23}%20\\%20%20g_{30}&%20g_{31}%20&%20g_{32}%20&%20%20g_{33}\end{pmatrix}%20\qquad% 20(17)

وهى تمثل ممتدد مترى من الرتبة الثانية ومن النوع كوفيرينت وذلك لان المعاملات ميو (رغم الصف) و نيو (رغم العمود) موجودة فى اسفل g

وهى عبارة عن مصفوفة غير شاذه بمعنى انها قابلة للعكس ومعكوسها الضربى هو ايضا مصفوفة مربعة وتسمى بالممتدد المترى من الرتبة 2 ومن النوع كونترافيرينت (لان المعاملات ميو و نيو توجد فى اعلى g) ويعبر عنها بالصورة التالية:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20g^{\mu%20\nu}=\beg in{pmatrix}g^{00}%20&%20g^{01}%20&%20g^{02}%20&%20g^{03}%20\\%20g^{10}%20&%20g^{11}%20&%20g^{12}%20&%20g^{13}\\%20%20g^{20}&%20g^{21}%20&%20g^{22}%20&%20g^{23}%20\\%20%20g^{30}&%20g^{31}%20&%20g^{32}%20&%20%20g^{33}\end{pmatrix}%20\qquad% 20(18)

ومثلما كان الممتدد المترى من النوع كوفيرينت يحول المتجه الرباعى كونترافيرينت الى كوفيرينت فان الممتدد المترى من النوع كونترافيرينت يحول المتجه الرباعى كوفيرينت الى كونترافيرينت


يتصل.....

[الصادق]

قاعدة تجميع انشتاين

الان سوف افترض ان القارئ ملم بمبادئ جبر المصفوفات ويستطيع ايجاد حاصل الضرب للمصفوفات فى المعادلة (16) وسوف نحصل على النتيجة التالية بعد اجراء عملية الضرب المباشرة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20ds^2=%20g_{00 }dx^0dx^0+g_{01}dx^0%20dx^1+g_{02}d x^0%20dx^2+g_{03}dx^0dx^3%20\\%20%2 0%20+%20%20g_{10}dx^1dx^0+g_{11}dx^ 1%20dx^1+g_{12}dx^1%20dx^2+g_{13}dx ^1dx^3%20\\%20%20+%20g_{20}dx^2dx^0 +g_{21}dx^2%20dx^1+g_{22}dx^2%20dx^ 2+g_{23}dx^2dx^3%20\\%20%20%20+%20g _{30}dx^3dx^0+g_{31}dx^3%20dx^1+g_{ 32}dx^3%20dx^2+g_{33}dx^3dx^3%20\qq uad%20(19)
لاحظ تكرار 0 فى رغم الصف فى g وفى dx الاةلى فى جميع الحدود فى السطر الاول من المعادلة الاخيرة وهكذا نستطيع كتابة السطر الاول فى شكل مجموع بالصورة التالية:

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{00}dx^0dx^0+g_ {01}dx^0%20dx^1+g_{02}dx^0%20dx^2+g _{03}dx^0dx^3=\sum_{\nu=0}^{3}g_{0\ nu}dx^0dx^{\nu}

اما فى السطر الثانى فيتكرر المعامل 1 وهكذا نستطيع كتابته بالمجموع التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{10}dx^1dx^0+g_ {11}dx^1%20dx^1+g_{12}dx^1%20dx^2+g _{13}dx^1dx^3=\sum_{\nu=0}^{3}g_{1\ nu}dx^1dx^{\nu}


اما فى السطر الثالث فان المعامل المتكرر هو 2 لذا نجد ان :

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{20}dx^2dx^0+g_ {21}dx^2%20dx^1+g_{22}dx^2%20dx^2+g _{23}dx^2dx^3=\sum_{\nu=0}^{3}g_{2\ nu}dx^2dx^{\nu}

واخيرا يتكرر المعامل 3 فى السطر الرابع وعليه يكون

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{30}dx^3dx^0+g_ {31}dx^3%20dx^1+g_{32}dx^3%20dx^2+g _{33}dx^3dx^3=\sum_{\nu=0}^{3}g_{3\ nu}dx^3dx^{\nu}

الان عوض المجاميع هذه فى المعادلة (19) لتحصل على مربع الفترة التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20ds^2=\sum_{\ nu=0}^{3}g_{0\nu}dx^0dx^{\nu}+%20\s um_{\nu=0}^{3}g_{1\nu}dx^1dx^{\nu}+ %20\sum_{\nu=0}^{3}g_{2\nu}dx^1dx^{ \nu}+\sum_{\nu=0}^{3}g_{3\nu}dx^3dx ^{\nu}%20\\%20ds^2=\sum_{\nu=0}^{3} \left(g_{0\nu}dx^0dx^{\nu}+g_{1\nu} dx^1dx^{\nu}+g_{2\nu}dx^1dx^{\nu}+g _{3\nu}dx^3dx^{\nu}\right)

لاحظ تكرر المعامل نيو فى رغم العمود فى g وفى dx الثانية فى جميع حدود المعادلة الاخيرة وهكذا وبنفس الطريقة السابقة نستطيع كتابة تجميع جديد

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{0\nu}dx^0dx^{\ nu}+g_{1\nu}dx^1dx^{\nu}+g_{2\nu}dx ^1dx^{\nu}+g_{3\nu}dx^3dx^{\nu}=\su m_{\mu=0}^{3}g_{\mu%20\nu}dx^{\mu}d x^{\nu}

عوض هذا التجميع فى المعادلة الاخيرة لتحصل على الصورة التالية لمربع طول الفترة


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20ds^2=\sum_{\m u=0}^{3}\sum_{\nu=0}^{3}g_{\mu%20\n u}dx^{\mu}dx^{\nu}%20\qquad%20\qqua d%20(20)

قاعدة جمع انشتاين هى اصطلاح اسقاط رمز التجميع عند تكرر معامل مرة فى الاسفل فى حد ومرة فى الاعلى فى حد ثانى لذا نسقط رمز التجميع على ميو لظهورها فى الاسفل فى g وفى الاعلى فى dx الاولى و ايضا نسقط رمز التجميع على نيو نسبة لظهورها فى اسفل g وفى اعلى dx الثانية
لاحظ اننا نسقط رمز التجميع فقط من اجل اختصار الكتابة ولكن لا نسقط عملية التجميع نفسها اى ان تكرار المعامل دليل على عملية تجميع

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20ds^2=g_{\mu%2 0\nu}dx^{\mu}dx^{\nu}%20\qquad%20\q quad%20(21)

والان اذا رفعت معامل فى احد الحدود فيجب تنزيل هذا المعامل فى الحد الاخر اى مثلا نجد ميو فى اسفل g وفى الاعلى فى dx فتستطيع رفع ميو فى اعلى g بشرط تنزيله فى اسفل dx ونفس الامر يمكن تطبيقه على نيو لنحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20ds^2=g^{\mu%2 0\nu}dx_{\mu}dx_{\nu}%20\qquad%20\q quad%20(22)

يتصل....

[الصادق]

لماذا نسبية عامة؟

ماهو السبب الذى جعل انشتاين يضع نظريته للنسبية العامة؟ أو بمعنى اخر ما عيب الوصف النيوتونى للتثاقل الكونى حتى يتم استبداله بنظرية النسبية العامة؟
عندما وضع انشتاين نظرية النسبية الخاصة, الزم جميع القوانين الفيزيائية بان تكون لا متغيرة تحت تأثير تحويلات لورنتز, كما هو معلوم ان معادلة نيوتن للتثاقل الكونى (قانون الجذب العام) لا تحقق تحويلات لورنتز, وانها تتنبأ بتفاعل تجاذبى لحظى اى ان سرعة انتقال التفاعل التثاقلى لانهائية. دعنا نعطى مثال لذلك حتى لا يتوه القارئ بين التعبيرات العلمية الجامدة وحتى تتكون لديه صورة ذهنية لتقريب الصورة الفيزيائية
تترتبط الارض مع الشمس بقوى جذب تثاقلى تجعل الارض تدور حول الشمس, ولكن اذا افترضنا ان الشمس لسبب ما قد اختفت فجاءة!!!! ماذا يحدث للارض؟ بالطبع حسب نظرية نيوتن لا توجد سرعة قصوى فى الطبيعة لذلك نجد ان المجال التثاقلى الذى ينتقل بين الشمس والارض يتحرك بسرعة لانهائية وعليه يقطع المسافة بينهما فى فى زمن يساوى الصفر وهكذا اذا اختفت الشمس سوف يتوقف المجال التثاقلى وتتوقف الارض عن الدوران فى نفس لحظة اختفاء الشمس.
والان مالذى جعل انشتاين غير سعيدا بهذه النتيجة؟ حسب مفاهيم النسبية الخاصة توجد سرعة القصوى لانتقال التفاعل وهذه السرعة القصوى هى سرعة الضوء. واذا افترضنا ان الشمس قد اختفت فجاءة بعد ارسالها للمجال التثاقلى, فان المجال سوف يتحرك باقصى سرعة ممكنة (سرعة الضوء) ليصل الى الارض بعد فترة زمنية تصل الى 8 دقائق تقريبا, وعليه لن تعرف الارض اختفاء الشمس الا بعد مرور 8 دقائق وسوف تظل تدور حول موقع الشمس المزعوم لمدة ثمانية دقائق قبل ان تكف عن الدوران.
وهكذا نجد ان نظرية نيوتن للتثاقل الكونى تتناقض مع فرضيات النسبية الخاصة لذا يجب تعديلها او استبدالها بنظرية اخرى تكون متوافقة مع النسبية الخاصة.
والان بعد ان عرفنا ان نظرية نيوتن للتثاقل الكونى لا يمكن ان تكون الكلمة النهائية لوصف القوى التثاقلية , نريد ان نعرف كيفية ايجاد نظرية بديلة لها. مدخل انشتاين لايجاد هذه النظرية يتمحور حول ثلاثة نقاط رئيسية وهى
(1) مبدأ التكافؤ فى النسبية الخاصة.
(2) العلاقة بين كتلة القصور وكتلة التثاقل
(3) النسبية الخاصة و التسارع.

النقطة الاولى:
كما هو معلوم ان النسبية الخاصة افترضت وجود مناطات اسنادية مفضلة لوصف القوانين الطبيعة وهذه المناطات تسمى بمناطات القصور وهى المناطات التى تتحرك بالنسبة لبعضها البعض بسرعات منتظمة (ثابتة) وفى خط مستقيم . ولكن دعنا الان نطرح السؤال التالى ونترك الاجابه عليه لفطنة القارئ , مالذى يميز السرعات الثابتة عن غيرها؟ لماذا تكون السرعات الثابتة مفضلة؟ او على بصورة اعمق, سرعات ثابتة بالنسبة لماذا؟ هل بالنسبة لفضاء مطلق؟ ام بالنسبة لنجم ثابت؟ ...الخ؟

النقطة الثانية:
فى الميكانيكا النيوتونية يوجد مفهومين مستقلين للكتلة وهما كتلة القصور وهى التى تمانع التسارع وهى تجعل الجسم قاصرا عن الحركة مالم تؤثر عليه قوى خارجية تجعله يتسارع. وكتلة اخرى تعرف بكتلة التثاقل وهى الكتلة المرتبطة بقوى التثاقل. الان يوجد تأكيد عملى غير قابل للشك ينص على ان الكتلتين متساويتين, بمعنى ان جميع الاجسام تسقط بنفس المعدل فى وجود حقل تثاقلى, او بصورة اخرى ان كتلة القصور التى تقوم تسارع الجسم تساوى كتلة الثاقل التى جعلت الجسم يتفاعل مع الحقل التاقلى.
ولما كانت نظرية نيوتن تفضل ان تكون كتلة القصور مختلفة عن كتلة التثاقل, وكانت الحقائق التجريبية تنص على تساوى الكتلتين. اعتبر انشتاين ان عملية تساوى الكتلتين هذا ربما يقود الى المعنى العميق لطبيعة قوى التثاقل, وبحنكة وعبقرية استطاع انشتاين من هذه الملاحظة البسيطة ان تساوى كتلة القصور مع كتلة التثاقل يوحى بعلاقة بين القصور (التسارع) وقوى التثاقل نفسها و قال:
محليا (فى حيز صغير- سوف نرجع لهذه المفهوم لاحقا) لا نستطيع التمييز بين قوى التثاقل والتسارع
محليا: التثاقل=القصور=التسارع

يتصل....

[الصادق]

مبدأ التكافؤ فى النسبية

دعنا نتخيل صندوق مغلق تماما (مصعد) موضوع فى مكان ما فى الفراغ الخارجى و بداخل هذا المصعد مراقب. افترض عدم وجود اى نوع من انواع تؤثر على المصعد و لذلك فان المراقب سوف يسبح بحرية تامة (لانعدام الوزن) داخل المصعد, اذا كان المراقب يحمل فى كلتا يديه كرتين وقام بتركهما فى لحظة ما ليسبحان معه داخل المصعد
افترض وجود شخص ما قام بربط المصعد من سقفه بسلسلة و سحبه الى اعلى بعجلة ثابته, وهكذا سوف يرتفع المصعد وترتفع مع ارضية المصعد لتصطدم بقدمى المراقب وبالكرتين وصديقنا داخل المراقب سوف يشعر بقوى تضغط على قدمية ويرى الكرتين وهما تسقطان نحو ارضية المصعد وهما يسلكان مساريين متوازيتين اثناء سقوطهما
انظر الى الشكل ادناه الى جهة اليسار

http://superstruny.aspweb.cz/images/fyzika/relativity/gravity_inertia.gif

دعنا الان نفترض ان المصعد موضوع فى حقل تثاقلى كما هو مبين فى الرسم اعلاه فى جهة اليمين , سوف يشعر المراقب بقوى تضغط على قدميه وسوف يرى الكرتين وهما تسقطان نحو ارضية المصعد ولما كانت قوى الجذب تجذب الكرتين نحو مركز الكتلة المسببة للحقل التثاقلى فان الكرتان سوف تسقطان نحو حو الارضية سالكتين مساريين متقاربين, ولكن اذا كانت المسافة (وهى كذلك) بين الكرتين صغيرة جدا بالمقارنة مع نصف قطر مركز الكتلة التى انتجت قوى التثاقل (هذا هو مفهوم المحليه) فان المراقب لن يستطيع مشاهدة تقارب مسار الكلاتين , وعليه لا توجد اى تجربة يمكن للمراقب داخل المصعد ان يقوم باجراءها ليقرر ما اذا كان القوى المؤثرة على المصعد هى قوى تثاقل كونى تجذبه مع كرتيه الى اسفل ام ان هناك شخص خارج المصعد قام بسحبه الى اعلى بتسارع ثابت

وهكذا لا يمكن محليا التمييز بين التسارع و قوى التثاقل

يتصل.....

[الصادق]

تحويل الاحداثيات

الان سوف نوقف الحديث عن قوى التاقل الى حين, وسوف نتناول موضوع تحويل الاحداثيات حتى يتمكن القارئ من فهم الدور الذى يلعبه الممتدد المترى فى وصف منظومات الاحداثيات وليتعرف ايضا على التغير الذى يطراء على الممتدد المترى عند التحويل من اطار الى اخر .
دعنا نبدأ بمثال بسيط لمنظومة احداثيات مستوية فى فضاء ثنائ الابعاد, ولتكن المنظومة الكارتيزية x و y نريد ايجاد تحويل من الاحداثيات الكارتيزيه هذه الى نظام الاحداثيات القطبى (الدائرى) المعرف بنصف قطر r وزاوية http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\theta



http://www.clarku.edu/%7Edjoyce/complex/polartri.gif

يتضح من الرسم اعلاه ان جيب تمام الزاوية http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\theta يساوى حاصل قسمة الضلع المجاور للزاوية x مقسوما على الوتر اما جيب الزاوية http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\theta فيساوى حاصل قسمة الضلع المقابل للزاوية y مقسوما على الوتر

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20\cos\theta%20 =\frac{x}{r}%20\\%20\\%20\sin%20\th eta=\frac{y}{r}

وبضرب الطرفين فى اى من المعادلتين فى r نحصل على معادلات التحويل من النظام الكارتيزى الى النظام القطبى الدائرى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\x=r\cos%20\theta %20\\y=r\sin%20\theta%20\qquad%20\q quad%20(23)

يمكن للقارئ ان يفهم المعادلات اعلاه على انها اسقاطات للمتجه r بحيث يكون الاسقاط المجاو للزاوية x يعطى بحاصل ضرب نصف القطر مضروبانا فى جيب تمام الزاوية, اما الاسقاط المقابل y يعطى بحاصل ضرب نصف القطر فى جيب الزاوية, هذه القاعدة سوف تكون مفيدة عند تناول عملية تحويل المحاور الكارتيزية x و y و z الى نظام الاحداثيات الكروية.
الان دعنا نحسب التغير فى المحاور x و y بدلالة التغيرات المقابلة فى نظام الاحداثيات الدائرى, من اجل هذه الحسابات يحتاج القارئ لمعرفة مبادئ التفاضل البسيطة, ولكى نعطى وصفا ذاتيا متكاملا لمادة هذا الموضوع سوف اضع علاقة عامة لتعريف التغير فى دالة ما
افترض دالة http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20f(x,y) تعتمد على المتغيرات x و y. الان نجد ان التغير فى الدالة f يعطى بقاعدة السلسلة التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20df(x,y)=\frac{\par tial%20f}{\partial%20x}dx+\frac{\pa rtial%20f}{\partial%20y}dy%20\qquad %20(24)

بالرجوع الى المعادلة (23) نجد ان x و y دوال فى كل من r و سيتا وعليه بتطبيق قاعدة السلسلة (24) نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20dx=\frac{\par tial%20x}{\partial%20r}dr+\frac{\pa rtial%20x}{\partial%20\theta}d%20\t heta%20\qquad(25)\\%20\\dy=\frac{\p artial%20y}{\partial%20r}dr+\frac{\ partial%20y}{\partial%20\theta}d%20 \theta%20\qquad%20(26)

ومن المعادلات (23) يمكن حساب التفاضلات اعلاه

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20\frac{\partia l%20x}{\partial%20r}=\cos%20\theta% 20,%20\qquad%20\qquad%20%20\frac{\p artial%20x}{\partial%20\theta}=-r\sin%20\theta%20\\%20\\%20\frac{\p artial%20y}{\partial%20r}=\sin%20\t heta%20,%20\qquad%20\qquad%20\frac{ \partial%20y}{\partial%20\theta}=r\ cos%20\theta

وبالتعويض المباشر فى المعادلات (26) نجد ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20dx=\cos%20\th eta%20dr%20-%20\sin%20\theta%20d\theta%20\\%20\ \dy=\sin%20\theta%20dr%20+%20\cos%2 0\theta%20d\theta%20\qquad%20\qquad %20(27)

وهكذا نستطيع حساب مربع عنصر الطول فى الاحداثيات القطبية على النحو التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20ds^2=dx^2+dy^2=(\ cos%20\theta%20dr%20-%20\sin%20\theta%20d\theta)^2+(\sin %20\theta%20dr%20+%20\cos%20\theta% 20d\theta)^2

وبفك التربيع فى المعادلة اعلاه نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20ds^2=(\cos^2%20\th eta%20+%20\sin^2%20\theta)%20dr^2%2 0+r^2(\cos^2\theta+\sin^2\theta)%20 d\theta^2


واستخدام العلاقة المثلثية http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\cos^2%20\theta%2 0+%20\sin^2%20\theta=1 نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20ds^2=dr^2%20+r^2d\ theta^2%20\qquad%20\qquad%20(28)
والتى يمكن اعادة كتابتها بالصورة التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20ds^2=g_{rr}drdr%20 +g_{\theta%20\theta%20}d\theta%20d\ theta%20\qquad%20\qquad%20(29)
وبمقارنة المعالة (29) مع المعادلة (28) نحصل على قيم المعاملات والتى تمثل مركبات الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الدائرية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20g_{rr}=1,%20\qquad %20g_{\theta%20\theta%20}=r^2
وبقية المعاملات التى لم تظهر فى المعادلة (28) تساوى اصفارا يمكن ترتيب مركبات g فى شكل مصفوفة على النحو التالى :

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20g_{\mu%20\nu}=\beg in{pmatrix}1%20&0%20\\%200%20&%20r^2\end{pmatrix}%20\qquad%20(30)

وهذا هو الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الدائرى

يتصل.....

[الصادق]

دعنا الان نتحث عن منظومة احداثيات مستوية فى فضاء ثلاثى الابعاد, ولتكن المنظومة الكارتيزية x و y و z. والمطلوب هو ايجاد تحويل من الاحداثيات الكارتيزيه هذه الى نظام الكروية المعرفة بنصف قطر r وزوايا http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\theta و http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\phi

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/c/c0/Spherical_with_grid.svg/350px-Spherical_with_grid.svg.png


الان سوف نطبق قاعدة الاسقاط التى تحدثنا عنها فى المشاركة السابقة

اسقاط r المجاور للزاوية http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\theta يمثل المركبة z اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20z=r\cos\theta

اما الاسقاط المقابل للزاوية http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\theta لا يمثل اى من المركبات x و y وانما هو الخط المظلل فى المستوى x-y ويساوى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20r\sin\theta وهو يمثل نصف قطر جديد يمكن ان نسقطه فى اتجاه كل من x و y وعليه يكون اسقاط نصف القطر الجديد فى الاتجاه المجاور لزاوية http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\phi هو المركبة x اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x=(r\sin\theta)\c os%20\phi

اما اسقاط نصف القطر الجديد فى الاتجاه المقابل لزاوية http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\phi يمثل المركبة y اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20y=(r\sin\theta)\s in%20\phi

وهكذا نحصل على معادلات التحويل من الاحداثيات الكارتيزية الى الاحداثيات الكروية


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20x=r\sin%20\th eta%20\cos%20\phi%20\\y=r\sin\theta %20\sin\phi%20\\z=r\cos\theta%20\qq uad%20%20\qquad%20(31)

لحساب التغير فى x و y و z نجد ان x و y و z دوال فى كل من r و سيتا وفاى وعليه بتطبيق قاعدة السلسلة لثلاثة متغيرات نحصل على التغيرات التالية


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20dx=\frac{\pa rtial%20x}{\partial%20r}dr+%20\frac {\partial%20x}{\partial%20\theta%20 }d\theta%20+%20\frac{\partial%20x}{ \partial%20\phi%20}d\phi%20\\%20\\d y=\frac{\partial%20y}{\partial%20r} dr+%20\frac{\partial%20y}{\partial% 20\theta%20}d\theta%20+%20\frac{\pa rtial%20y}{\partial%20\phi%20}d\phi %20\\%20\\dz=\frac{\partial%20z}{\p artial%20r}dr+%20\frac{\partial%20z }{\partial%20\theta%20}d\theta%20+% 20\frac{\partial%20z}{\partial%20\p hi%20}d\phi%20\qquad%20%20\qquad%20 (32)

ومن المعادلات (31) يمكن مباشرة حساب التفاضلات التى تظهر فى المعادلة الاخيرة



http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20\frac{\parti al%20x}{\partial%20r}=\sin\theta%20 \cos%20\phi,\qquad%20\frac{\partial %20x}{\partial%20\theta%20}=r\cos\t heta%20\cos%20\phi,%20\qquad%20\fra c{\partial%20x}{\partial%20\phi%20} =-r\sin\theta%20\sin%20\phi%20\\%20\\ %20%20\frac{\partial%20y}{\partial% 20r}=\sin\theta%20\sin%20\phi,\qqua d%20\frac{\partial%20y}{\partial%20 \theta%20}=r\cos\theta%20\sin%20\ph i,%20\qquad%20\frac{\partial%20y}{\ partial%20\phi%20}=r\sin\theta%20\c os%20\phi%20\\%20\\%20\frac{\partia l%20z}{\partial%20r}=\cos\theta%20, %20\qquad%20\qquad%20\frac{\partial %20z}{\partial%20\theta%20}=-r\sin\theta%20,\qquad%20%20\qquad%2 0\frac{\partial%20z}{\partial%20\ph i%20}=0


وبتعويض هذه التفاضلات فى المعادلات (32) نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\%20dx=%20\sin\th eta%20\cos%20\phi%20dr%20+%20%20r\c os\theta%20\cos%20\phi%20d\theta%20-r\sin\theta%20\sin%20\phi%20d\phi%2 0\\%20\\dy=%20\sin\theta%20\sin%20\ phi%20dr%20+%20r\cos\theta%20\sin%2 0\phi%20d\theta%20+%20r\sin\theta%2 0\cos%20\phi%20d\phi%20\\%20\\%20dz =\cos\theta%20dr-r\sin\theta%20d%20\theta%20\qquad%2 0\qquad%20(33)

وهكذا نستطيع حساب مربع عنصر الطول فى الاحداثيات الكروية على النحو التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\%20ds^2=dx^2+dy ^2+dz^2%20\\%20\\ds^2%20=(\sin\thet a%20\cos%20\phi%20dr%20+%20%20r\cos \theta%20\cos%20\phi%20d\theta%20-r\sin\theta%20\sin%20\phi%20d\phi)^ 2%20\\%20+%20(\sin\theta%20\sin%20\ phi%20dr%20+%20r\cos\theta%20\sin%2 0\phi%20d\theta%20+%20r\sin\theta%2 0\cos%20\phi%20d\phi)^2%20\\%20+%20 (\cos\theta%20dr-r\sin\theta%20d%20\theta%20)^2

و بعد فك الحدود المربعة فى المعادلة اعلاه واستخدام العلاقة المثلثية التى ورد ذكره فى المشاركة السابقة سوف نحصل على


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20ds^2=dr^2+r^2d\the ta^2+r^2%20\sin^2\theta%20d\phi^2%2 0\qquad%20\qquad%20(34)

وبمقارنة هذه المعادلة مع الصيغة العامة التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\\ds^2=g_{rr}drdr% 20+g_{r%20\theta%20}dr%20d\theta%20 +%20g_{r%20\phi}dr%20d\phi%20%20g_{ \theta%20r}d\theta%20dr%20+%20g_{\t heta%20\theta%20}d\theta%20d\theta% 20\\%20+g_{\theta%20\phi%20}%20d\th eta%20d\phi%20+%20g_{\phi%20r}d\phi %20dr+g_{\phi%20\theta%20}d\phi%20d \theta%20+g_{\phi%20}d\phi%20d\phi% 20\qquad%20\quad%20(35)


نحصل على قيم المعاملات والتى تمثل مركبات الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الكروية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{rr}=1,%20\qqua d%20g_{\theta%20\theta%20}=r^2,%20\ qquad%20g_{\phi%20\phi}=r^2\sin^2\t heta

وجميع بقية مركبات g تساوى الصفر

يمكن ترتيب مركبات g فى شكل مصفوفة على النحو التالى :


http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20g_{\mu%20\nu%20}=\ begin{pmatrix}1%20&0%20%20&0%20\\%200%20&%20r^2%20&%200\\%20%200&%200%20&%20r^2\sin^2\theta%20\end{pmatrix}% 20\qquad%20\qquad%20(36)

وهذا هو الممتد المترى فى نظام الاحداثيات الكروى

يتصل....

[murad abuamr]

بارك الله عليك ، إلى الأمام .

[محمد ابوزيد]

هل رايتم فكرتى واختيارى

اما فكرتى فهى تولى الاشراف لاساتذه جامعيين

واما اختيارى فهو لاخى العزيز الصادق

والنتيجة هى كما تشاهدون

[الصادق]

لقد تحدثنا فى المشاركتين السابقتين عن تحويل نظام الاحدثيات من الاحداثيات الكارتيزية الى الاحداثيات القطبية و الاحداثيات الكروية , ولكن لم نتحدث عن ادخال البعد الزمنى كمحور وكانت مناقشتنا تنحصر فى انوع محددة من نظم الاسناد, الان نريد ايجاد صيغة عامة للتحويل من اى نظام احداثيات رباعية الى اخر . ومن جل هذا سوف نعمم نفس الطريقة التى استخدمناها فى المشاركة السابقة :

الطريقة العامة لتحويل نظم الاحداثيات
1) نعرف نظام احاثيات رباعى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^{\mu} مركباته هى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^{\mu}=(x^0,%20x ^1,%20x^2,%20x^3) وسوف نفترض انها تعتمد على معامل واحد هو s اى انها جميعها دوال فى s اى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^{\mu}=x^{\mu}(s )

2) الان نريد التحويل من نظام الاحداثيات العام http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^{\mu}=(x^0,x^1, x^2,%20x^3) الى نظام احداثيات عام اخر هو http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20y^{\alpha}=(y^0,y ^1,y^2,%20y^3)

3) لاحظ انه ليست لدينا اى فكرة عن العلاقة بين النظامين الاحداثين x و y كما كانت لدينا العلاقات التى تربط الاحداثيات الكارتيزية بالاحداثيات الكروية فى المعادلات (31) ولكن كل ما نعلمه هو وجود علاقة ما تربط http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^{\mu} ب http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20y^{\alpha}

اى ان نظام الاحداثيات الجديد دالة فى نظام الاحداثيات القديم

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20y^{\alpha}=y^{\al pha}(x^0,x^1,x^2,%20x^3)

4) نستخدم قاعدة السلسلة لايجاد التغير فى نظام الاحداثيات y (مثلما فعلنا فى المعادلات (32))

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20dy^{\alpha}=\frac {\partial%20y^{\alpha}}{\partial%20 x^0}dx^0+\frac{\partial%20y^{\alpha }}{\partial%20x^1}dx^1+\frac{\parti al%20y^{\alpha}}{\partial%20x^2}dx^ 2+\frac{\partial%20y^{\alpha}}{\par tial%20x^3}dx^3%20\qquad%20(37)
والمعادلة الاخيرة يمكن كتابتها فى شكل مجموع كما يلى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20dy^{\alpha}=\sum_ {\mu=0}^{3}\frac{\partial%20y^{\alp ha}}{\partial%20x^{\mu}}dx^{\mu}

يمكن للقارئ ان يستخدم قاعدة تجميع انشتاين ويسقط لامة التجميع طالما ان المعامل ميو قد تكرر مرتين فى المعادلة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20dy^{\alpha}=\frac {\partial%20y^{\alpha}}{\partial%20 x^{\mu}}dx^{\mu}%20\qquad%20(38)

لا حظ ان المعامل التفاضلى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{\partial%20 y^{\alpha}}{\partial%20x^{\mu}} به معاملين الفا و ميو (لترغيم الصف والعمود) لذا يلعب دور مصفوفة غير شاذة (محددها لا يساوى الصفر)

الان ايضا من المعادلة الاخيرة يمكن ايجاد التحويل العكسى من نظام الاحداثيات y الى نظام الاحداثيات x اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20dx^{\mu}=\frac{\p artial%20x^{\mu}}{\partial%20y^{\al pha}}dy^{\alpha}%20\qquad%20(39)

وهذا هو التغير فى الاحداثى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^{\mu} اما التغير فى احداثى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^{\nu} فهو يعطى بنفس المعادلة اعلاه فقط بتغير ميو الى نيو وتغير الحرف المتكرر باى حرف اخر (كما يحلو للقارئ فله مطلق الحرية فى اختيار الحرف المتكرر) وليكن بيتا مثلا

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20dx^{\nu}=\frac{\p artial%20x^{\nu}}{\partial%20y^{\be ta}}dy^{\beta}%20\qquad%20(40)

الان بضرب المعادلتين (39) و (40) نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20dx^{\mu}dx^{\nu}= \frac{\partial%20x^{\mu}}{\partial% 20y^{\alpha}}\frac{\partial%20x^{\n u}}{\partial%20y^{\beta}}dy^{\alpha }dy^{\beta}

اذا ضربنا طرفى المعادلة الاخيرة فى الممتدد المترى فى منظومة الاحداثيات x نحصل على مربع طول الفترة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20ds^2=g_{\mu%20\nu %20}dx^{\mu}dx^{\nu}=\frac{\partial %20x^{\mu}}{\partial%20y^{\alpha}}\ frac{\partial%20x^{\nu}}{\partial%2 0y^{\beta}}g_{\mu%20\nu%20}dy^{\alp ha}dy^{\beta}\qquad(41)

اذن من الواضح ان الحد المضروب فى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20dy^{\alpha}dy^{\b eta} فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة, هو الممتدد المترى فى نظام الاحداثيات y والذى سوف نرمز له برمز g تيلدا

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\tilde{g}_{\alpha %20\beta%20}(y)=\frac{\partial%20x^ {\mu}}{\partial%20y^{\alpha}}\frac{ \partial%20x^{\nu}}{\partial%20y^{\ beta}}g_{\mu%20\nu%20}(x)\qquad%20( 42)

وهكذا نكون قد تحصلنا على الطريقة العامة لتغير نظام الاحداثيات و المعادلة (42) هى المعادلة العامة لتغير الممتدد المترى من اطار الى اخر


يتصل......

[الصادق]

معادلة الجيودسك

http://cnx.org/content/m11461/latest/geodesic.jpg

الجيودسك هو اقصر خط يربط بين نقطتين فى الفضاء المنحنى. لا يجاد هذه المعادلة سوف نستخدم النتائج التى تحصلنا عليها فى المشاركة السابقة وهى حرية تغير نظام الاحداثيات كيفما نشاء طالما ننا نطبق قوانين التحويل سالقة الذكر.

من اجل التبسيط افترض ان نظام الاحداثيات http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20y^{\alpha} هو نظام كارتيزى (مستوى) اما النظام http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^{\mu} هو عبارة عن فضاء منحنى, وهكذا طالما ان نظام الاحداثيات http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20y^{\alpha} هو نظام مستوى, فان اقصر خط يربط بين نقطتين هو الخط المستقيم , اما نظام الاحداثيات x فهو نظام احداثيات لفضاء منحنى لذا فان اقصر خط فيه هو ما يعرف بالجيودسك

دعنا الان نحسب معدل تغير http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20y^{\alpha} بالنسبة لمعامل s (بالطبع تفاضل الخط المستقيم يمثل ميل الخط المستقيم) ولكن نحن افترضنا ان نظام الاحداثيات http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20y^{\alpha} يعتمد على http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^{\mu} لذا سوف نستخدم قاعدة التفاضل الضمنى( او قاعدة السلسلة )

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{dy^{\alpha} }{ds}=\frac{\partial%20y^{\alpha}}{ \partial%20x^{\mu}}\frac{dx^{\mu}}{ ds}

لاحظ ان تكرر المعامل الحر ميو يستلزم عملية الجمع (قاعدة انشتاين للتجميع)

الان نريد حساب المشتقة الثانية http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20y^{\alpha} (اى تفاضل المشتقة الاولى وهو يساوى تفاضل الميل الثابت للخط المستقيم)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^2y^{\alph a}}{ds^2}=\frac{d}{ds}\left(\frac{\ partial%20y^{\alpha}}{\partial%20x^ {\mu}}\frac{dx^{\mu}}{ds}\right)

لاحظ ان التفاضل فى الطرف الايمن من المعادلة الاخيرة هو تفاضل حاصل ضرب دالتين ويخضع للعلاقة

( الدالة الاولى فى تفاضل الدالة الثانية زائدا تفاضل الدالة الاولى فى الدالة الثانية)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^2y^{\alph a}}{ds^2}=\frac{\partial%20y^{\alph a}}{\partial%20x^{\mu}}\frac{d}{ds} \left(\frac{dx^{\mu}}{ds}\right)+\f rac{d}{ds}\left(\frac{\partial%20y^ {\alpha}}{\partial%20x^{\mu}}\right )\frac{dx^{\mu}}{ds}

لاحظ ان الحد الثانى فى المعادلة الاخيرة هو تفاضل بالنسبة ل s لمقدار يعتمد ضمنيا على s لذا يجب تطبيق قاعدة التفاضل الضمنى مرة اخرى على هذا الحد لنحصل على


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^2y^{\alph a}}{ds^2}=\frac{\partial%20y^{\alph a}}{\partial%20x^{\mu}}\left(\frac{ d^2x^{\mu}}{ds^2}\right)+\left[\frac{\partial}{\partial%20x^{\nu}} \left(\frac{\partial%20y^{\alpha}}{ \partial%20x^{\mu}}\right)\frac{dx^ {\nu}}{ds}\right]\frac{dx^{\mu}}{ds}

لاحظ وجود الجمع لتكرار المعامل ميو فى الحد الاو ل الايمن ووجود الجميع على ميو ونيو فى الحد الثانى فى الطرف الايمن. دعنا الان نغير المعامل المتكرر ميو فى الحد الاول الى معامل اخر لامدا وذلك لكى نتمكن كن استخراج عامل مشترك بين الطرفين من دون ان يظهر حرف ميو متكررا اكثر من مرة واحدة فى الحد الثانى (تزكر اننا قلنا ان للقارئ مطلق الحرية فى تسمية الحرف المترر ولكن يجب عدم تكرره اكثر من مرة لكى لاتلتبس عليه عملية الجمع)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^2y^{\alph a}}{ds^2}=\frac{\partial%20y^{\alph a}}{\partial%20x^{\lambda}}\left(\f rac{d^2x^{\lambda}}{ds^2}\right)+%2 0\frac{\partial^2%20y^{\alpha}}{\pa rtial%20x^{\mu}%20\partial%20x^{\nu }}}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu }}{ds}

باستخراج http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{\partial%20 y^{\alpha}}{\partial%20x^{\lambda}} من طرفى المعادلة الاخيرة سوف يظهر مقلوبه (التفاضل العكسى) مضروبا فى الحد الثانى فى الايمن


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^2y^{\alph a}}{ds^2}=\frac{\partial%20y^{\alph a}}{\partial%20x^{\lambda}}\left[\frac{d^2x^{\lambda}}{ds^2}%20+%20\ frac{\partial%20x^{\lambda}}{\parti al%20y^{\alpha}}\frac{\partial^2%20 y^{\alpha}}{\partial%20x^{\mu}%20\p artial%20x^{\nu}}}\frac{dx^{\mu}}{d s}\frac{dx^{\nu}}{ds}\right]

قلنا ان y عبارة عن فضاء مستوى لذا فان اقصر خط يربط بين نقطتين هو الخط المستقيم وعليه المشتقة الاولى بالنسبة ل s تمثل ميل الخط المستقيم (من الناحية الدينميكية فان المشتقة الاولى بالنسبة ل s مقسومة على سرعة الضوء تمثل السرعة اللحظية) اما المشتقة الثانية فهى عبارة عن تفاضل للميل الثابت للخط المستقيم وعليه يجب ان تساوى الصفر (المشتقة الثانية للسرعة تساوى التسارع ) وهكذا يكون الطرف الايسر من المعادلة الاخيرة مساويا للصفر والسبب هو

هندسيا: ميل الخط المستقيم فى الفضاء المستوى يكون ثابتا وعليه فان تفاضله يساوى الصفر
فيزيائيا : اذا استبدلنا s/c (اى زمن اطار السكون) فان المشتقة الاولى تمثل السرعة الثابتة اما المشتقة الثانية تمثل التسارع ولماكانت السرعة ثابته فان التسارع يجب ان يساوى الصفر

وهكذا بالتعويض فى المعادلة الاخيرة نحصل على معادلة الجيودسك وهى معادلة اقصر خط يربط بين نقطتين فى فضاء منحنى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^2x^{\lamb da}}{ds^2}%20+%20\frac{\partial%20x ^{\lambda}}{\partial%20y^{\alpha}}\ frac{\partial^2%20y^{\alpha}}{\part ial%20x^{\mu}%20\partial%20x^{\nu}} }\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^{\nu}} {ds}=0%20\qquad%20

الحد
http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{\partial%20 x^{\lambda}}{\partial%20y^{\alpha}} .\frac{\partial^2%20y^{\alpha}}{\pa rtial%20x^{\mu}%20\partial%20x^{\nu }}}
يعرف بحد كرستوفل ويرمز له بالرمز http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\Gamma^{\lambda}_ {\mu%20\nu} ولو لا هذا الحد (اى انه لا يساوى الصفر) لكانت المشتقة الثانية ل x تساوى صفرا وهذا واضح من المعادلة الاخيرة. اذن فان هذا الحد يدل على وجود انحناء (لا يساوى الانحناء ولكن يدل على الانحناء) فى نظام الاحداثيات x . اما اذا نظرنا له من الناحية الفيزيايئية فلو لا هذا الحد لكان التسارع يساوى الصفر وعليه فان هذا الحد يدل على وجود مصدر للتسارع اى يرتبط بالقوة التثاقلية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\frac{d^2x^{\lamb da}}{ds^2}%20+\Gamma^{\lambda}_{\mu %20\nu}\frac{dx^{\mu}}{ds}\frac{dx^ {\nu}}{ds}=0%20\qquad%20(43)

وهى المعادلة العامة للجيودسك وهى تمثل مسار الشعاع الضوئى فى الفضاء المنحنى لان الضوء يسلك اقصر مسار يربط بين نقطتين

لاحظ فى الرسم ادناه لو كان الفضاء مستويا لسلك الضو المسار الاحمر ولكن نسبة لان الفضاء منحنيا نسبة لوجود قوى تثاقل نجمت عن الكتلة المبينة بالرسم, فان الضوء يتحرك فى الجيودسك المبين باللون الازرق الفاتح

http://zebu.uoregon.edu/2000/ph123/images/antflash.gif

يتصل......

[الصادق]

عامل كرسوفل Christoffel symbol

فى المشاركة السابقة اوجدنا عامل كرسوفل بدلالة التفاضلات على الاحداثيات المحلية و لكن بشكل عام يمكننا ان نكتب عامل كرسوفل بدلالة التفاضلات على الممتدد المترى على النحو التالى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\Gamma^{\lambda}_{ \mu%20\nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda%20 \alpha}\left(\frac{\partial%20g_{\a lpha%20\nu}}{\partial%20x^{\mu}}+\f rac{\partial%20g_{\alpha%20\mu}}{\p artial%20x^{\nu}}-\frac{\partial%20g_{\mu%20\nu}}{\pa rtial%20x^{\alpha}}\right)\qquad%20 (44)

لاحط ان تكرار المعامل الفا يعنى الجمع من الفا=صفر الى الفا=3 وايضا يجب على القارئ ان ينتبه الى ان http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g^{\lambda%20\alp ha} هو معكوس الممتدد المترى http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{\lambda%20\alp ha}

لاحظ ان من خواص عامل كرسوفل انه لا يتخير عند تغير ميو بنيو (فقط نكون بدلنا التفاضلين الاول والثانى فى المعادلة (44)) اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\Gamma^{\lambda}_ {\mu%20\nu}=\Gamma^{\lambda}_{\nu%2 0\mu}%20\qquad%20(45)


تمرين (1):
اوعطيت ان الممتدد المترى لفضاء زمنكانى رباعى الابعاد يعطى ب

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{\mu%20\nu}=\be gin{pmatrix}%20-1&0%20%20&%20%200&%200\\%20%200&%201%20&%200%20&%200\\%20%200&%200%20&%20r^2%20&0%20\\%20%200&%200%20&%200%20&%20r^2\sin^2%20\theta\end{pmatrix}% 20\qquad%20(46)

مستخدما المعادلة (44) والخاصية (45) احسب جميع مركبات عامل كرسوفل غير الصفرية

تلميح: المسألة تعتمد فقط على حساب التفاضلات والتعويض المباشر لحساب المركبات لعامل كرستوفل

تنوية: يستحيل على اى قارئ ان يتعلم النسبية العامة دون ان يحل مسائل وتمارين, وصدقونى سوف يتعلم القارئ الكثير من حل التمارين. مثلا المبتدئ لاول مرة سوف يحسب 64 حدا ليصل الى المركبات اعلاه اما اذا استخدم الملاحظة (45) سوف يحسب 40 حدا فقط وبالممارسة واستخدام الحدس الفيزيائى سوف يكون القارئ قادرا على اختيار مركبات محددة هى بالضبط الكميات غير الصفرية لعامل كرستوفل, وهذا لا يتاتى الا بحل مثل هذه التمارين.

اذا كنت جادا فى رغبتك فى تعلم النسبية العامة وقمت بحل هذا التمرين فضع حلك فى موضوع منفصل باسم حلول تمارين النسبية العامة واذا تحصلت على الاجابات الصحيحة سوف ننقل مشاركتك الى هذا الموضوع




يتصل...

[الصادق]

حل التمرين (1)

ارجو الاسراع فى وضع الحلول لكى نتمكن من مواصلة الموضوع

الحلول لا توضع هنا وانما توضع فى موضوع جديد





الممتدد المترى يعطى من العلاقة

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{\mu%20\nu}=\be gin{pmatrix}-1%20&%200%20&0%20%20&%200\\%20%200&%201%20&%200%20&%200\\%200%20&%200%20&%20r^2%20&0%20\\%20%200&%200%20&%200%20&%20r^2\sin^2%20\theta\end{pmatrix}% 20\qquad%20(1.1)

ومركبات الممتدد (ميو هو ترتيب رقم الصف و نيو هو رقم العمود) هى

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g_{00}=-1,\quad%20%20g_{11}=1,\quad%20g_{22 }=r^2,\quad%20g_{33}=r^2\sin^2%20\t heta%20%20\qquad%20(1.2)



وجميع المركبات التى لا تقع فى القطر الرئيسى (عند اختلاف رقم الصف عن رقم العمود) تساوى صفرا اى ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\g_{01}=g_{10}=0 ,\quad%20%20g_{02}=g_{20}=0%20%20\q uad%20g_{03}=g_{30}=0%20\\%20%20g_{ 12}=g_{21}=0,%20\quad%20%20g_{13}=g _{31}=0,%20\quad%20g_{23}=g_{32}=0

لقد ذكرنا سابقا ان الممتد الذى تكون معاملاته اعلى g هو عبارة عن معكوس المصفوفة التى تمثل الممتدد الذى تكون معاملاته اسفل g وعليه نجد ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g^{\mu%20\nu}=\be gin{pmatrix}-1%20&%200%20&0%20%20&%200\\%20%200&%201%20&%200%20&%200\\%200%20&%200%20&%20\frac{1}{r^2}%20&0%20\\%20%200&%200%20&%200%20&%20\frac{1}{r^2\sin^2%20\theta}\end {pmatrix}%20\qquad%20(1.3)

حيث مركباته القطرية هى التالية

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\g^{00}=-1,\quad%20%20g^{11}=1,\quad%20g^{22 }=\frac{1}{r^2},\quad%20g^{33}=\fra c{1}{r^2\sin^2%20\theta}%20\qquad%2 0(1.4)

اما جميع العناصر غير القطرية تساوى صفرا

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\\g^{01}=g^{10}=0 ,\quad%20%20g^{02}=g^{20}=0%20%20\q uad%20g^{03}=g^{30}=0%20\\%20%20g^{ 12}=g^{21}=0,%20\quad%20%20g^{13}=g ^{31}=0,%20\quad%20g^{23}=g^{32}=0

الان المطلوب التعويض فى عامل كرستوفل المعطى فى المعادلة (44)

[الصادق]

تابع حل التمرين(1)

معلوم ان عامل كرستوفل يعطى من المعادلة (44)

http://www.codecogs.com/eq.latex?\huge%20\Gamma^{\lambda}_{ \mu%20\nu}=\frac{1}{2}g^{\lambda%20 \alpha}\left(\frac{\partial%20g_{\a lpha%20\nu}}{\partial%20x^{\mu}}+\f rac{\partial%20g_{\alpha%20\mu}}{\p artial%20x^{\nu}}-\frac{\partial%20g_{\mu%20\nu}}{\pa rtial%20x^{\alpha}}\right)\qquad%20 (1.5)

لا حظ ان جميع المركبات غير القطرية تساوى صفرا وعليه يجب ان يساوى رقم الصف رقم العمود حتى نحصل على قيمة غير صفرية لعامل كرستوفل

الان دعنا نثبت قيمة للامدا ومن ثم نقوم بأيجاد جميع القيم التى يمكن ان تأخذها المعاملات ميو ونيو

1-عند http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\lambda=0

بتعويض http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\lambda=0 فى المعادلة (1.5) نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\Gamma^{0}_{\mu\n u}=\frac{1}{2}g^{0\alpha}\left(\fra c{\partial%20g_{\alpha\nu}}{\partia l%20x^{\mu}}+\frac{\partial%20g_{\a lpha\mu}}{\partial%20x^{\nu}}-\frac{\partial%20g_{\mu%20\nu}}{\pa rtial%20x^{\alpha}}\right)\qquad(1. 5)

ولكن طالما ان مصفوفة الممتدد المترى قطرية فان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20g^{0\alpha}=\left \{\begin{matrix}-1&%20\alpha=0\\%200%20&%20\alpha\neq%200\end{matrix}\right .

وهكذا نجد ان

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\Gamma^{0}_{\mu\n u}=\frac{-1}{2}\left(\frac{\partial%20g_{0\nu }}{\partial%20x^{\mu}}+\frac{\parti al%20g_{0\mu}}{\partial%20x^{\nu}}-\frac{\partial%20g_{\mu%20\nu}}{\pa rtial%20x^{0}}\right)\qquad(1.6)

الان نحسب جميع القيم الممكنة لميو و نيو :
عند ميو=صفر و نيو =صفر نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\Gamma^{0}_{00}=\ frac{-1}{2}\left(\frac{\partial%20g_{00}} {\partial%20x^{0}}+\frac{\partial%2 0g_{00}}{\partial%20x^{0}}-\frac{\partial%20g_{00}}{\partial%2 0x^{0}}\right)=-\frac{1}{2}\frac{\partial%20g_{00}} {\partial%20x^{0}}

لاحظ ان http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20x^0=t,%20\quad%20 x^1=r,%20\quad%20x^2=\theta,%20\qua d%20x^3=\phi

بالتعويض من (1.2) لمركبات g نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\Gamma^{0}_{00}=-\frac{1}{2}\frac{\partial%20(-1)}{\partial%20t}=0

عند ميو=صفر و نيو =1 نحصل على

http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\Gamma^{0}_{01}=\ frac{-1}{2}\left(\frac{\partial%20g_{01}} {\partial%20x^{0}}+\frac{\partial%2 0g_{00}}{\partial%20x^{1}}-\frac{\partial%20g_{01}}{\partial%2 0x^{0}}\right)

وبتعويض مركبات g نجد ان


http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\Gamma^{0}_{01}=\ frac{-1}{2}\left(\frac{\partial%20(0)}{\p artial%20t}+\frac{\partial%20(-1)}{\partial%20r}-\frac{\partial%20(0)}{\partial%20t} \right)=0

باستخدام الخاصية (45) نحصل على
http://www.codecogs.com/eq.latex?\large%20\Gamma^{0}_{01}=\ Gamma^{0}_{10}=0

اكمل الحل حتى تحصل على جميع المركبات لتعرف ماهى المركبات غير الصفريه لعامل كرستوفل

[محمد ابوزيد]

بسرعة مطلوب باقى الموضوع مع الشكر

ملاحظة هامة جدا:

الشرح اكثر من رائع

( مفصل جدا جدا )

[محمد ابوزيد]

ايضا يفضل وضع تحويلات الاحداثيات الكرية على الرسم لتتضح اكثر للقارىء

وتوضيح ان التفاضلات كانت عبارة عن تفاضل جزئى ولو بمثال بسيط

لتوضيح الفكرة

[الصادق]

بسرعة مطلوب باقى الموضوع مع الشكر

ملاحظة هامة جدا:

الشرح اكثر من رائع

( مفصل جدا جدا )

السلام عليكم اخى محمد ابوزيد
مشكور اخى على متابعتك ومرورك الكريم

وانشاء الله سوف اتابع الموضوع

اخوك الصادق

[tahaselim]

لقد قرأت العديد من المقدمات فى النسبية العامة ولكن شرحك فى تقديم النسبية العامة كان جامد جدا _ ما شاء الله عليك وهذا ينم عن الخبرة والتمكن من المادة العلمية والنظرة المتعمقة التى ظهرت فى الترتيب المنطقى ومحاولة وضع افكار بسيطة والدقة فى اختيار التعبيرات اللفظية

الشرح اكثر من رائع

وفقك الله اخى

[الصادق]

بارك الله فيك اخى طه وجزاك خيرا

[الصادق]

ممتد الانحناء

ماهو الانحناء؟

منحنى ام غير منحنى ؟
لكى نفهم ونستوعب معنى الانحناء نستخدم ما يُعرف بالانتقال المتوازى والانتقال المتوازى هو رسم متجه عند نقطة ما فى المنحنى ثم نرسم متجه اخر موازى له عند نقطة مجاورة ثم نكرر العملية وهكذا نرسم متجه موازى للمتجه السابق له حتى نكمل دائرة كاملة ونعود لنفس النقطة التى بدانا بها
1) فاذا كان المتجه الاخير ينطبق على المتجه الاول فان هذا يعنى ان السطح المرسوم عليه المنحى هو سطحا مستويا.
2) اما اذا كان المتجه الاخير لاينطبق على المتجه الاول اى كان يصنع معه زاوية فان هذا يدل على وجود انحناء فى السطح المرسوم عليه المنحنى.

مثال توضيحى

افترض انه لدينا سطحا كرويا كما بالرسم ادناه, الان نبدأ من نقطة A على خط الاستواء ثم نرسم متجه اختيارى عند A وننتقل الى اعلى ونرسم عند نقطة مجاورة متجه يوازى الاول ثم الى نقطة اخرى ونرسم متجه يوازى الثانى حتى نصل الى نقطة القطب الشمالى N ومنها الى نقطة B تقع على خط الاستواء واخيرا حتى نصل الى النقطة A مرة اخرى ونلاحظ ان المتجه الاخير يصنع زاوية الفا مع المتجه الاول مما يعنى ان السطح الكروى هو سطحا منحنيا وان المثلث المرسوم عليه به اكثر من 180 درجة لان الزاويا عند A و B هى 90 درجة لان خط الطول يتعامد مع خط الاستواء اما الزاوية عند راس المثلث اى عند القطب الشمالى هى اكبر من الصفر درجة وهكذا يكون مجموع زويا هذا المثلث اكبر من 180 درجة


http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/6d/Parallel_transport.png

[الصادق]

اشارة الانحناء

مما سبق فى المشاركة السابقة عرفنا ان ان السطح يكون مستويا اذا كان بعد عملية الانتقال المتوازى وجدنا ان المتجه الاخير ينطبق على المتجه الاول اى اذا كان المتجه قبل الاخير يوازى المتجه الاول وهكذا فاننا نقول ان السطح المستويا تظل فيه الخطوط المتوازية متوازية مما يعنى ان انحناه يساوى الصفر.

امااذا تقارب الخطان المتوازيان فان هذا يعنى ان للسطح انحناء موجب القيمة (لاحظ من الرسم فى المشاركة السابقة ان خطى الطول عن خط الاستواء (واحد مرسوم عند A والثانى مرسوم عند B ) يتقاربان حتى يلتقيا عند نقطة القطب الشمالى)

بينما اذا تباعدا الخطان المتوازيان فان الانحناء يكون سالبا ( السطح الذى يشبه سرج الحصان تتباعد فيه الخطوط المتوازية)

انظر الرسم ادناه

http://www.phy.syr.edu/courses/modules/LIGHTCONE/pics/curved.jpg

السطح الاول من جهة اليسار هو سطح انحناءه يساوى صفرا لتوازى مسار النملتين اما السطح فى الوسط فهو سطح انحناءه موجب لان النملتين بداتا الحركة متوزيتى المسار وسوف يتقابلان فى نقطة ما , اما السطح الاخير فى اليمين فان انحناه سالب لتباعد مسار النملتين.

[tahaselim]

مشكور على الشرح

هناك مشكلة تتعلق بثابت الانحناء فذإذا كان لدينا انحناء سالب - هندسية مكافئة - فان ذلك يوحى بان الكرة التى تحوى النقاط التى يمكن ان تشكل كون بذاته يمكنها التمدد وهذا وفق والكر ووربتسرون متريك

http://upload.wikimedia.org/math/2/3/c/23c233df7deba05c0c94eca965bcf3a5.pn g

http://upload.wikimedia.org/math/2/d/e/2dea4b6116f4178c84c171f74b47f705.pn g

http://upload.wikimedia.org/math/a/b/6/ab6bbc387c300448ca1d6a777a01ee55.pn g

[ماسينيسا2008]

كلمة شكر لا تكفيك ... بارك الله فيك يا غالي .. إلى الامام

تحياتي لك

[الصادق]

مشكور على الشرح

هناك مشكلة تتعلق بثابت الانحناء فذإذا كان لدينا انحناء سالب - هندسية مكافئة - فان ذلك يوحى بان الكرة التى تحوى النقاط التى يمكن ان تشكل كون بذاته يمكنها التمدد وهذا وفق والكر ووربتسرون متريك

http://upload.wikimedia.org/math/2/3/c/23c233df7deba05c0c94eca965bcf3a5.pn g

http://upload.wikimedia.org/math/2/d/e/2dea4b6116f4178c84c171f74b47f705.pn g

http://upload.wikimedia.org/math/a/b/6/ab6bbc387c300448ca1d6a777a01ee55.pn g

مشكور اخى طه على المداخلة

لم افهم سؤالك بالضبط

فذإذا كان لدينا انحناء سالب - هندسية مكافئة - فان ذلك يوحى بان الكرة التى تحوى النقاط التى يمكن ان تشكل كون بذاته يمكنها التمدد وهذا وفق والكر ووربتسرون متريك

ولكن اذا كان الانحناء سالبا فلن تكون لدينا كرة اصلا لان انحناء سطح الكرة موجبا وليس سالبا

[الصادق]

بارك الله فيك وجزاك خيرا اخى ماسينيسا2008

[tahaselim]

اننى اعنى لماذا تتسبب هندسة القطع المكافئ فى جعل الكون متمدد وكيف يتم ذلك على غرار الصورة التقليدية التى لدينا عند تمدد الكون الكروى
الا يوجد مثلا فيديو جيرافيك يوضح هذا

[الصادق]

تحياتى اخى طه
هندسة الكون يعبر عنها بدلالة معامل الكثافة density parameter والتى تمثل النسبة بين الكثافة الحقيقية (المُقاسة) للكون و الكثافة الحرجة- وهى اقل كثافةتستطيع ان توقف تمدد الكون. وهكذا اذا كان الكون مسطحا فان معامل الكثافة يساوى بالضبط الواحد الصحيح وفى هذه الحالة فان حالة الكون سوف تعتمد على كل من القيمة الحقيقية والقيمةالحرجة للكثافات وليس على النسبة بينهما, اما اذا كان الكون مفتوحا و سالب الانحناء فان معامل الكثافة يكون محصورا بين الواحد والصفر (سوف يتمدد الكون للابد) واخيرا اذا كان الكون مغلقا وانحناه موجب فان معامل الكثافة يكون اكبر من الواحد (سوف يتوقف تمدد الكون ويبدأ فى الانكماش مرة اخرى )

وتجدر الاشارة بان الكون الخالى من المادة والطاقة (تقريبا طبعا) اى حالة الفراغ فانه تكون لدينا هندسة دى- اسيتر
De Sitter ويرمز له بالرمز dS عندما يكون الثابت الكونى موجبا. اما اذا كان الثابت الكونى سالبا فان الهندسة تعرف بمضاد دى -اسيترِAnti De Sitter ويرمز له ب AdS وهذا الفضاء الاخير له اهمية خاصة فى نظرية الاوتار الفائقة حيث انه افضل الفضاءات للتكميم التثاقلى

ربما نتحدث عن الكوزملوجيا فى اخر الموضوع بعدما يلم القارئ بالمفاهيم اللازمة لذلك

شكر الله لك وبارك فيك

[tahaselim]

مشكور أستاذى .. شرح جميل قد درست فضاء اينستين - دى سيتير بالكورس وايضا ما يتعلق ببارامتر الكثافة ولكم كنت ابحث عن تخيل لكيفية تمدد المائع الكونى بحيث يشكل معامل مقياس المسافات الكونية دالة مع الزمن فى هندسة زائيدة المقطع .. لأن هذا سيكون مفيدا جدا لى وبالنسبة للموضوع ساحاول اكماله الاسبوع القادم نظرا لان معى شيتات .. خلاص لازم نسلم الورق قبل الامتحان_ وكان لى طلب وهو كتاب خاص بال group theory و tensor

شكرا

[الصادق]

اخى طه

بالنسبة group theory فهذا يعتمد على ماتريد بالضبط ولكن بشكل عام يمكنك الاطلاع على
Group Theory and Quantum Mechanics
By Michael Tinkham

بالنسبة للممتدات

Applied differential geometry
By William L. Burke

[tahaselim]

I want a ****book of group theory for undergraduate students

[الصادق]

I want a ****book of group theory for undergraduate students

اعتقد ان الكتاب اعلاه مناسب لل undergraduate students لان هذه المادة تدرس لطلاب الفيزياء فى ال undergraduate عموما. اطلع على الكتاب لانه يربط مفاهيم نظرية الزمر مع ميكانيكا الكم

[tahaselim]

شكرا استاذى على الطرح الجميل

[tahaselim]

Relativistic Quantum Mechanics
and Field Theory
FRANZ GROSS
College of William and Mary
Williamsburg, Virginia
and
Continuous Electron Beam Accelerator Facility
Newport News, Virginia
Wiley-

اخبرنا عن رأيك فى الكتاب ولو سمحت رشح كتاب فى ميكانيكا الكم undergraduate

[الصادق]

لم اطلع على الكتاب الاول لذا لا استطيع الحكم

بالنسبة لميكانيكا الكم ارشح لك الكتاب التالى


Quantum Theory
by: David Bohm

[قسوره]

الأستاذ المحترم الصادق لدي مجموعة اسئلة متعلقة بموضوعك هذا اريد ردك الذي اشعره يقفز بصورة تلقائية الى نفسية السائل ليكون جوابا شافيا على ما يدور برأسه ...
اسئلتي بسيطة ( ولكن البساطة دائما أعمق من التعقيد)

السؤال الأول : في الخطوة الخامسة عند بداية حديثك عن هذا الموضوع قمت بتربيع الفرق بين متجهين ما أهمية هذه الخطوة ؟ ثم لماذا أصلا يتم طرح قيمة متجه من متجه آخر ؟ وإذا كان المتجهان متساويان فأي نتيجة تتوقعها عدى الصفر وهو رقم مهلك؟
السؤال الثاني : هل لمجرد أن يقول اينشتاين أن الزمكان ينحني بجوار الكتل او المادة بشكل عام هل في هذا تفسير لماهية الجاذبية ؟؟ وهل فسرت ماهية الجاذبية حتى الآن أو ماهية القوى كلها ؟ واقصد بالماهية هناهو التعليل الشمولي لهذه القوى ، او بمعنى آخر لم تندفع المادة بعيد عن المادة في قوى التنافر وتنجذب أخرى لمادة أخرى في قوى الجذب العام وفي قوى التجاذب الكهربي ....
السؤال الثالث : هل أخفقت نظرية اينشتاين في الجاذبية في تفسير بعض قوى الجاذبية في حدود معينة.
لدي طلب أخير إذا تتفضلت بشرحه لنا فسنكون ممنونين لك ولفضائلك ، الطلب يتمثل في تطبيق معادلة الحقل لأينشتاين بصورة عملية على جسمين أو كتلتين إحداهما نفرضها كتلةالأرض والآخر جسم يسقط باتجاهها قريب من سطحها ، طبعا كتلة الأرض معروفة وكتلة الجسم نفترضها لتبسيط الحسابات على أن تكون 1 كغ.

وتقبل إحترامي وتقديري

[Tyns19]

هذه أحلى مقدمة رأيتها للنسبية العامة
بارك الله فيك على هذا المجهود....

[رجب مصطفى]

تسلم يدك أستاذنا الفاضل / الصادق

هذا الشرح من أروع ما كتب في المنتدى

نتمنى منك المزيد

[الصادق]

اخى العزيز رجب مصطفى
بارك الله فيك وجزاك خيراً
وانشاء الله سوف اكتب المزيد حول هذا الموضوع المهم جداً

[وفاء خلف]

السلام عليكم ورحمة الله وبركاته
مجهود رائع رائع رائع اخي الصادق
جزاك الله خيرا والله افدتنا كثيراً انا حتي الآن لما ادرس نسبية عامة سوف اقوم بدراستها السنة القادمة
اعتقد ان شرحك كافي ووافي وسوف يوفر علي العناء عند دراسة النسبية
فعلا اسلوبك سلس ومبسط وفي انتظار البقية
والله نفخر بوجودك بيننا في هذا المنتدي
وفقك الله واعانك
تحياتي لك

[mourade]

طلب مساعدة من الاعضاء
وجدت في كتاب الكون الاحدب ان قانون الجاذبية عند اينشتاين: G (m.m’)/r^2,00000016
ارجو منكم ان تدلوني على الطريقة التي تم بها استنباط هذا القانون.

[محمد ابوزيد]

ننتظر باقى الموضوع على احر من الجمر

ملاحظة هامة جدا

قمت بنقل الموضوع الى صفحات وورد وقمت بطباعتها

بهدف المذاكرة ان شاء الله

استاذى اشكرك

اخوكم / محمد ابوزيد

[الصادق]

حاضر اخى انشاء الله ساكمل هذا الموضوع فى وقت قريب

[dr.mohamed]

بارك الله فيك اخي الصادق بس ارجو اظهار المعادلات لأنها ليست موجوده

[gaidd]

احسنت وزادك الله علما............................... .....................

[خافقي لله]

بارك الله بعلمك وعملك وجزاك الله خيرا كثيرا

[الخيال اهم]

اخي الصادق
ماشاء الله عليك الله لايضرك
بس ابي منك خدمه
ابي الرموز اللاتينيه تفسرها لي بالعربي
مثل c سرعة الضوء
ومشكور ياخوي

[الصادق]

اخي الصادق
ماشاء الله عليك الله لايضرك
بس ابي منك خدمه
ابي الرموز اللاتينيه تفسرها لي بالعربي
مثل c سرعة الضوء
ومشكور ياخوي

بارك الله فيك

هناك الكثير جداً من الرموز التى وردت فى الموضوع لذا ارجو ان تكتب قائمة بالرموز التى لم تعرف معناه حتى استطيع ان اجيب على سؤالك

[الخيال اهم]

اخوي انا ابي منك خدمه ان تأسيسي في الرموز اللاتينية ضعيف جدا
وانا طالب في الكهرباء وحليت مسائل لاينشتاين برموز تعلمتها
مثل mass velocity speed of light الي هي قوانين النسبيه الخاصه
بس ابي منك قائمه بالرموز الفيزيائيه والرياضيه لاني ان شاء الله ابي احفضها لانها عقدتي في المسائل
ومشكور يا اخي

[الصادق]

اخى الخيال اهم
تفضل من هنا
http://www.alcyone.com/max/reference/physics/symbols.html

[الخيال اهم]

مشكور والله لايهينك
اخوي الصادق

[alkhrek2009]

مشكور على الموضوع الجميل
أود فقط أن تشرح لنا طريقة حساب المتمدد energie impulsion
http://upload.wikimedia.org/math/f/c/d/fcd4618505666bc9862c4d9fc816c3e1.pn g

مع بعض التفصيل من فضلك
شكرا مسبقا

[الصادق]

السلام عليكم اخى alkhrek2009ا
ماذا تعنى كلمة "المتمددenergie impulsion "
هل تقصد energy pulse بالانجليزية اى نبض الطاقة بالعربية؟
نسبة لاننى لا اعرف هكذا مصطلح لا استطيع التكهن اكثر لذا ارجو منك اخى التعبير باللغة الانجليزية او العربية

[alkhrek2009]

أنا أقصد Stress-energy tensor بالانجليزية
وهذا الشرح في الويكيبديا ولكن لم أجد مثالا لأفهم به
http://en.wikipedia.org/wiki/Stress-energy_tensor

[said1412]

ôكٌç و ىٍçك çلله îيٌç
مىهوï ‎و‏ çلممêçٍ

[قسوره]

ننتظر باقي التحليل يا استاذا الصادق اتحفنا ..... جعله الله في ميزان حسناتك

وتحيايتي

[محمد ابوزيد]

اهلا بك اخى العزيز الفاضل د/ الصادق

هذه هى المحاضرات السابقة معا فى صورة pdf:


http://www.herosh.com/download/2079696/______.________.__._______.______.p df.html



اخوكم / محمد ابوزيد

[محمد مصطفى]

عمل رائع اخى محمد ابوزيد وفكره رائعه تنسيق المحاضرات وجمعها فى ملف pdf

لى اقتراح ان يتم وضعها فى اول مشاركه حيتى يستطيع الجميع رؤيتها وان يت وضعها مع المرفات بالاضافه الى هذا الرابط لان الرابط سياتى يوم وتنتهى صلاحيته اما المرفقات فانها تدوم بوقت اطول هذا اقتراح

واتمنى ان تتبع نفس النهج اخى محمد ابو زيد مع المواضيع الهامه الاخرى لانه واضح لديك خبره فى التنسيق المواضيع وتحويلها الى pdf جزاك الله كل خير وجعل ذلك فى ميزان حسناتك

تحياتى

[محمد ابوزيد]

اشكرك جدا اخى محمد مصطفى

على كلماتك الرقيقة المشجعة

ساضع الرابط فى البداية ولكن بالنسبة للمرفقعات فلا استطيع قبل الرجوع الى د/حازم سكيك

لان ذلك سيؤثر على المساحة المستخدمة لرفع الملفات وعلى مساحة نقل البيانات مع تكراره


اخوكم / محمد ابوزيد

[محب الحكمة]

يا جماعة انا قرات النظرية النسبية الخاصة و العامة و انا غير متخصص لكني مطلع و عندي سؤال يختص بالنظرية النسبية العامة الا و هو

ماذا يقصد اينشتين عندما يقول (( كون منته و لكنه غير محدود))

و ما الفكرة التي اراد اثبانها عن الجاذبية في اواخر عمره --طبعا لا اقصد انحناء الفضاء بفعل الكتلة--؟؟؟

[محب الحكمة]

بسم الله الرحمن الرحيم


السلام عليكم في الحقيقة انا سعيد انه هناك انس مثلي متطلعين بالفيزياء و يبحثون عن النظرية النهائية لها شاكرلكم

سؤالي

ماذا يقصد اينشتين بمقولة
الكون منته لكنه غير محدود ؟؟

ما الفكرة التي اراد اينشتين اثباتها عن المجال الجاذبي و الجاذبية في اخر ايامه ؟

[محمد ابوزيد]

اهلا بك اخى الكريم

اذا كان لديك قطعة مستقيمة تتحرك عليها مبتدءا من نقطة البداية فانك ستصل فى النهاية الى حافتها

وبذلك تكون هذه القطعة المستقيمة محدودة ومنتهية



اما اذا كنت تتحرك على محيط دائرة او سطح كرة فانك ستبدأ من نقطة ما وتتحرك حقيقة ستعود الى نفس النقطة ولكنك ستتجاوزها

وتستمر وتعيد دورتك مرة اخرى دون مواجهة مع الحافة وسيكون الشكل فى هذه الحالة محدود ولكنه غير منته اى ليس له حافة



بالنسبة للسؤال الثانى:

اينشتين كان يفكر فى نظرية المجال الموحد

ظل على هذا النحو 34 عام الاخيرة قبل وفاته وكان تصوره كما جاء فى كتابه النسبية الخاصة والعامة

اننا سنتخلى عن التماثل بحيث يصبح المعامل على سبيل المثال g12 لا يساوى g21

وسيرفع ذلك عدد العوامل الموجودة بمصفوفة التحويل من 10 الى 16 عامل



والله اعلم

اخوكم / محمد ابوزيد

__________________

[محب الحكمة]

شاكرلك استاذي الكريم جدا جدا .

بخصوص المجال
العلماء اوجدوا المجال الكهرو ضعيف بتجارب معينة

و لكن هل اينشتين وحد المجال اجاذبي مع اي مجال اخر ؟؟؟ ان قلت لي لا
اذا ما تفسر تجربة فيلادلفيا التي جن فيها العاقل و عقل المجنون
الم يستخدم فيها مجال جاذبي مه الكهرومغناطبسي؟؟

معلش سؤال ثاني
ما تعريف النقطة رياضيا و فيزيائيا ؟!
هذا سؤال مو سخيف و ارجو ان تكون الاجابة دقيقة لان النقطة مكملة لكل كلمة و قد تكون لكل الفيزياء

استفسار
انا قرات موضوعك عم طريقة تفكير العلماء , و عندي لك بعض الاستفسارات ؟
ممكن اعرف ايميلك

[محمد ابوزيد]

اشكرك اخى محب الحكمة

( يبدو انك تقوم باعداد شىء ما)

بالنسبة لاينشتاين كما اتصور لم يكن على معرفة بالقوى النووية الضعيفة او القوية

وكان يحاول دمج النسبية بالكهرومغناطيسية

ومعلوماتى المحدودة انه فشل



بالنسبة لتجربة فيلادلفيا الشهيرة والتى وردت الانباء انها جرت بتسليط مجال كهرومغناطيسى قوى

كلها قصص بدون معادلات

واتصور ان هذا المجال القوى يمكن ان يكون قد نقلهم الى بعد اخر حقيقة لا اعرف


بالنسبة لموضوع طريقة تفكير العلماء

يمكنك طرح ملاحظاتك فى الموضوع نفسه


النقطة الهندسية ليس لها ابعاد

ولكن نظرية الاوتار اعتبرت ان الاساس وتر وليس نقطة وطول الوتر هو طول بلانك

ويمكنك ان تقوم بتطوير النقطة الى حلقة او كرة واقامت معادلات متماسكة

ننتظر جديدك



اخوكم / محمد ابوزيد

[محب الحكمة]

عندما تقول ان النقطة ليس لها ابعاد هندسية و لكن لها طول معين حجم معين كثافة معينة لابد من ذلك
لاننا لا نستطيع قوا ان النقطة حجمها صفر

اذا كان الوتر هو بنية الكون و لكنه قابل للانقسام يعني وتر يصير وترين

فكيف ذلك ؟؟

ام هل هناك طول معين لا يتعداه و لا ينقسم هذا الوتر

[محمد ابوزيد]

النقطة الهندسية ليس لها ابعاد وبالتالى ليس لها حجم

يقلبل ذلك فى الفيزياء المفردة

وهو ما ادى الى ظهور اللانهايات


اما الوتر فكما اتذكر كحلقة نصف قطرها هو طول بلانك ولا يوجد اصغر من طول بلانك وذلك عند زمن بلانك

وسرعة الضوء ويمكنك الاطلاع على موضوع لاخى الصادق خاص بكميات بلانك



اخوكم / محمد ابوزيد

[محب الحكمة]

وهو ما ادى الى ظهور اللانهايات

ال

اليس تناقضا ان يكون هناك شئ لا نهائي غير الله سبحانه

ام هل تقصد لا نهاية بمعنى انها غير معرفة؟؟؟؟

وكيف نقول لا نهائية ايعني ان كثافتها مثلا لا نهائية والكتلة ايضا ؟؟

اني لارى تناقض بمصطلح اللانهاية

[محمد ابوزيد]

وجوج الانهاية فى نظرية يعتبر نقطة ضعف لذا وجب معالجتها

وبالفعل القصود اخى هو وجود كتلة لانهائية وكثافة لانهائية وهكذا

[m.alhafez]

شكرا على الشرح الوافي تحياتي للدكتور / حازم سكيك

[m.alhafez]

تحية رقيقة من محبي الفيزياء من كوكب الارض

[PHYSIQUE]

السلام عليكمورحمة الله تعالى وبركاته من فضلكاخي الكريم لم افهم جيدا الفرق بين الكتلة المرتبطة بقوى التثاقل وكتلة القصور

[einstein.ami]

مشكور استاذى الصادق على الموضوع الرائع

واتمنى ان ارى بقية الموضوع الشيق

[einstein.ami]

هل من الممكن شرح مبسط لتينسور الجهد والطاقة ومعادلة حقل اينشتاين

[أيمن ديان]

أين ذهب العالم الصادق

تكملة الموضوع أمر ضروري بالنسبة للكثير من الناس

أرجو أن يعود سريعا ً لإكماله

[شعاع الأمل]

صراحة كل الشكلر لكم لأني أستفدت كثير من هذا الموضوع