مُشتقة ليي، التناظرات و متجهات كيلنغ The Lie derivative, Symmetries and Killing vecto

**محمد ابوزيد** · 08-19-2011 09:57 PM

- مُشتقة ليي للدوال القياسية

الان نريد ان نترجم المناقشة السابقة في شكل شرط على التحويلات الإحداثية المتناهية الصغر التي تأخذ الصورة العامة التالية:

$\150dpi x^{\mu}\to y^{\mu}=x^{\mu}+\epsilon V^{\mu}\qquad \qquad (3)$

لتوليد (إنتاج) تناظر للممتد المتري. في المعادلة السابقة نجد ان $\120dpi \epsilon$ تمثل مقدار متناهي الصغر و $\120dpi V^{\mu}$ عبارة عن حقل إتجاهي (متجه) و ذلك نسبة لانه على الرغم من ان الإحداثيات لا تتحول كتحول المتجهات، الا ان التغيرات المتناهية في الصغر للاحداثيات تتحول كمتجهات
$\150dpi \delta z^{\lambda}=\frac{\partial z^{\lambda}}{\partial x^{\mu}}\delta x^{\mu}\qquad \qquad (4)$
لذلك يمكن ان نتعامل مع $\120dpi \delta x^{\mu}$ على انها $\120dpi \epsilon V^{\mu}$ . الان نفترض ان لدينا دالة قياسية $\120dpi \phi(x)$ و اذا قمنا باجراء التحويل الاحداثي متناهي الصغر (3) فان الدالة القياسية سوف تعتمد على الاحداثي الجديد $\120dpi \phi(y(x))$ و هكذا يمكننا مقارنة $\120dpi \phi(y(x))$ المُعرفة في نظام الاحداثيات x مع $\120dpi \phi'(y(x))$ المُعرفة في نظام الاحداثيات الجديد y، و لما كانت الدالة القياسية غير متغيرة عند التحويل من مناط احداثي الى آخر فان $\120dpi \phi'(y(x))=\phi(x)$ . و لذلك فان

$\150dpi \phi(y(x))-\phi'(y(x))=\phi(y(x))-\phi(x)=\phi(x+\epsilon V)-\phi(x)\qquad\qquad (5)$

وباجراء تمديد (مفكوك) تايلور للدالة $\120dpi \phi(x+\epsilon V)$ حول النقطة x نحصل على

$\150dpi \phi(x+\epsilon V)=\phi(x)+\epsilon V^{\mu}\partial_{\mu}\phi(x)+\frac{\epsilon^2}{2!}V^{\mu}V^{\nu}\partial_{\mu}\partial_{\nu}\phi(x)+...$

و لما كانت $\120dpi \epsilon$ متناهية في الصغر فاننا سوف نهمل مربعها و نكتفي فقط بالحدود الاول (الرتبة الصفرية $\120dpi \epsilon^0$ ) و الثاني في المفكوك (الرتبة الاولى $\120dpi \epsilon^1$ ) اي ان :

$\150dpi \phi(x+\epsilon V)-\phi(x)=\epsilon V^{\mu}\partial_{\mu}\phi(x)$

و بالتعويض في المعادلة (5) سوف نحصل على

$\150dpi \phi(y(x))-\phi'(y(x))=\epsilon V^{\mu}\partial_{\mu}\phi(x)\qquad \qquad (6)$

وبقسمة الطرفين على $\120dpi \epsilon$ و اخذ النهاية عند $\120dpi \epsilon \to 0$ (هذا يبرر اسقاط الحد الذي يحتوي على مربع $\120dpi \epsilon$ في مفكوك تايلور) فسوف نحصل على تعريف مشتقة ليي على الدوال القياسية

$\150dpi \boxed{\pounds_{V}\phi:=\lim_{\epsilon \to 0} \frac{\phi(y(x))-\phi'(y(x))}{\epsilon}= V^{\mu}\partial_{\mu}\phi(x)\qquad \qquad (6)}$

ومن هنا نلاحظ ان مشتقة ليي على الدوال القيايسة هي ببساطة عبارة عن المشتقة الإتجاهية الاعتيادية، وهذا شئ متوقع جداً لانه اذا كانت الدالة تخضع لتناظر ما في اتجاه معين (المتجه V) فيجب ان تنعدم مشتقتها في ذالك الاتجاه اي لا تتغير قيمتها و تظل ثابة في ذلك الاتجاه.

الموضوع: مُشتقة ليي، التناظرات و متجهات كيلنغ The Lie derivative, Symmetries and Killing vecto

أدوات الموضوع

عرض

Hybrid View

رد: مُشتقة ليي، التناظرات و متجهات كيلنغ The Lie derivative, Symmetries and Killing vecto

معلومات الموضوع

الأعضاء الذين يشاهدون هذا الموضوع

المواضيع المتشابهه

تعريف دوران حقل متجهات ، أرجو ترجمته للعربية

مواقع النشر (المفضلة)

مواقع النشر (المفضلة)

ضوابط المشاركة